妙用整体思想求整式的值.doc

“整体思想”帮大忙

在进行整式的加减时，有些题目采用常规解法比较繁琐或根本无法解答，此时若经过适当变形，利用“整体思想”，可使问题迎刃而解，轻松取胜.
一、整体代入
例1 已知式子的值为8，那么的值是（ ）.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
分析：本题经过变形，把作为一个整体代入即可求解，简捷准确.应注意审清题意，注意平时多积累，真正理解“整体思想”.
解：由题意可得=8，则，即所以=1+1=2.故选（B）.
二、整体合并
例2 计算：.
分析：本题将当作一个整体，恰好合并为0，在此切实注意符号变化.
解：原式==
三、整体转化
例3 当时，式子的值是7，那么当时，此式子的值是 .
分析：本题利用的奇次幂与（）的奇次幂互为相反数来求解.注意将作为一个整体来转化求值.
解：当时，=7，即=12，所以当时，
所以=－12，所以=－12－5=－17.
四、整体替换
例4 三角形第一边长为，第二边长是第一边长的2倍少1，第三边长是第二边长的，求这个三角形的周长.
分析：由题意可设A=，则第二边长为2A－1，第三边长为A－1），所以周长为A+2A－1+A－1）.
解：设A=，则这个三角形的周长为：A+2A－1+A－1）=A+2A－1+A－
=A－，将A=代入A－，即A－=()－=13所以这个三角形的周长为13

妙用整体思想求整式的值

有的代数式求值往往不直接给出字母的取值，而是通过告诉一个代数式的值，且已知代数式中的字母又无法具体求出来，这时，我们应想到采用整体思想解决问题，用整体思想求值时，关键是如何确定整体。下面举例说明如何用整体思想求代数式的值。
一、直接代入
例1、如果，那么（a+b）2－4（a+b）= ．
解析：本题是直接代入求值的一个基本题型，a、b的值虽然都不知道，但我们发现已知式与要求式之间都有（），只要把式中的的值代入到要求的式子中，即可得出结果5．
（a+b）2－4（a+b）=52－4×5=5。
二、转化已知式后再代入
例2、已知a2－a－4=0，求a2－2(a2－a+3)－(a2－a－4)－a的值.
解析:仔细观察已知式所求式，它们当中都含有a2－a，可以将a2－a－4=0转化为a2－a=4，再把a2－a的值直接代入所求式即可。
a2－2(a2－a+3)－(a2－a－4)－a
=a2－a－2(a2－a+3)－(a2－a－4)
=(a2－a)－2(a2－a)－6－(a2－a)+2
=－(a2－a)－4.
所以当a2－a=4时，原式=－×4－4=－10.
三、转化所求式后再代入
例3、若，则 ．
解析：这两个乍看起来好象没有什么关系的式子，其实却存在着非常紧密的内在联系，所求式是已知式的相反数的2倍．我们可作简单的变形：由，可得，两边再乘以2，即得－12．
例4、的值为8，则 ．
解析：将要求式进行转化，“凑”出与已知式相同的式子再代入求值，即由得2×8－23=－7。
本题也可将已知式进行转化，由的值为8，得，两边再乘以2，得2，于是－7。
四、同时转化所求式和已知式，寻找共同式子
例5、已知x2－x－1＝0，试求代数式－x3+2x+2008的值.
解析：考虑待求式有3次方，而已知则可变形为x2＝x+1，这样由乘法的分配律可将x3写成x2x＝x(x+1)＝x2+x，这样就可以将3次降为2降，再进一步变形即可求解.
　因为x2－x－1＝0，所以x2＝x+1，
所以－x3+2x+2008＝－x2x+2x+2008
＝－x(x+1)+2x+2008
＝－x2－x+2x+2008
＝－x2+x+2008
＝－(x2－x－1)+2007
＝2007.
练习：
1.已知，求代数式的值．
2.当x=1时，的值为0，求当x= －1 时，的值．

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