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一、填空题一、填空题 1、设是群G的元素，且的阶为 6，则的阶为 aa8a 2、设是12阶循环群，G的所有生成元为 ()Ga.3、已知整数集ZR 关于运算2baba,abbaba构成一个有单位元的环，则环),(RR的零元为 ，单位元为 4、剩余类环7,6,5,4,3,2,1,08Z中，零因子有 ，可逆元有 5、若R 是交换环，且R 的特征是5，则对,a bR，有5()ab _.6、设Z 是整数环，则由素数 p 生成的主理想)(p 二、单项选择题二、单项选择题 1、设是群G的子群，则HGaHaH 的充分必要条件是 ；.；.HaHaea 2、设群GH都是G的子群,则 K，、是G的子群；.是的子群；HKHKG.与都是G的子群.HKHK3、设是群G到群G 一个同态映射，则下列命题不正确不正确的是 群G与群G同态；.G的子群的象是G的子群；.的核ker是G的正规子群 4、若R是一个有单位元的交换环，I是R的一个理想，则IR是域的充要条件为I 是R 的 素理想；.极大理想；.主理想 5、设R 是整环，则下列叙述不正确不正确的是 ,a bR；.a与相伴|a bba()bab或ba .是单位aa是可逆元 6、设=欧氏环，=主理想整环，U=唯一分解整环，则下列命题正确EP的是 .UP .PEUEEPU 三、计算题三、计算题 1、已知置换 1 2 3 4 5 6 7 8 9 103 4 1 6 2 5 9 7 8 10，1 2 3 4 5 6 7 8 9 105 2 1 3 6 8 9 4 7 10(1)将表示为不相连的循环置换的乘积及对换的乘积，并指出其奇偶性.(2)求的逆元 及1的阶.(3)求及.12、设三次对称群，3S3)123(Sa(1)写出由a生成的循环子群)(aH 的所有元素；(2)求的所有左陪集和所有右陪集；H(3)判断是否是的正规子群，并说明理由 H3S3、已知剩余类环，求的所有理想，并指出哪些是极大理想 9,8,7,6,5,4,3,2,1,010Z10Z4、已知ZbaibaR,5关于普通数的加法及乘法作成一个整环，求R 的所有单位及i521的所有相伴元.四、证明题四、证明题 1、证明：若H、K 都是群G的正规子群，则也是的正规子群 KH G2、证明,00abSa bR是实数域R上2阶全矩阵环的子环.)(2RM3、设H是群G的一个正规子群，令GaaHa,:证明：是G到HG的同态满射 参考答案 一、填空题一、填空题 1.3；2.571,a a aa1；3.2，0；4.2,4,6；1,3,5,7；5.5ab5；6.pZ.二、单项选择题二、单项选择题 三、计算题三、计算题 1解 解(1)1 2 3 4 5 6 7 8 9 103 4 1 6 2 5 9 7 8 10132465798 132465798132526247879(132446657998)为偶置换(2)由132465798,有1135642897132564789 2,4,312 (3)1 2 3 4 5 6 7 8 9 102 4 3 1 5 7 8 6 9 10124678 因为 132465798,(156843)(79)1(1)(5)(6)(8)(4)(3)(7)(9)(325761)(98)2 解 解(1)()(1),(123),(132)Ha (2)因为的元素(3S1),(123),(132)H，所以(1)HH,(123)HH,(.132)HH又的元素(,有 3S12),(13),(23)(12)(12),(23),(13)HN,(13)(13),(12),(23)HN,(23)(23),(13),(12)HN,故,的左陪集只有2个：H(1),(123),(132),(12),(13),(23)HN.同样，有，(1)HH(123)HH,(132)HH，(12)(12),(13),(23)HN,(13)(13),(23),(12)HN,(23)(23),(12),(13)HN，故，的右陪集也只有2个：H(1),(123),(132),(12),(13),(23)HN.(3)由(2)见，对，都有 aH aHHa，所以是的正规子群.H3S3 解 解 因为加群为循环群且101Z1010Z，而10的正整数因子有1、2、5、10，故各有且只有一个1、2、5、10阶子加群，分别为 10Z10,H 250,5,H 320,2,4,6,8H，411HZ0.易知,是的平凡理想，且易证，对1H4H10Z10(2,3),iaH irZ有 a r r aiH(可以通过列出运算表验证)，所以,也是的理想，2H3H10Z从而的所有理想为,，.10Z1H2H3H4H显然，的极大理想有10Z25H 及32H.4解 解 设5abi是R的单位，则有5cdiR使 1，两边取模的平方，得221，即2222(5)(5)abcd1，由于都是整数，所以,a b c d225ab1,于是，1,0ab，即1 所以，R的单位有1 从而1 2 5i 的相伴元有1 2 5i及12 5i.四、证明题四、证明题 1 证明 证明 对，有,a bHK,a bH且,a bK由于H、K都是群G的子群，所以 且，从而 ab，故 是G的子群 又对，有且由于1aH,ab aKa,abaH1HKaK1,aHKKHH、K都是群的正规子群，所以对 有Gg G1,gagH gag1K，从而，故是G的正规子群 1gagHKKH2 证明 证明 显然有0000S 2MR，故S是 2MR的非空子集 又对，其中00abX00cdYS,a b c dR，有,000000000000abcdacbdabcdacadXYXY，由,a b c dR，有，从而有,ac bd ac adRXYS，XYS.从而S是 2MR的子环 3 证明 证明 因为对，有aG()GHaaH，且唯一，所以是G到HG的映射.而对GaHH，,使得aG aaH，所以是满射.又对，有 ，,a bGab()()abb()(HaH bH(a即保持运算，从而是G到GH的同态满射 一、填空题一、填空题 1是一个非空集合,上的一个代数运算是指AAAAA到 的一个映射 2 整数集Z关于运算构成一个群,则其单位元为5a bab 5 ,3的逆元为 7 3设为的子群,则的所有右陪集的个数为(1),(13)H 3SH 3 4设是数域上的一元多项式环,F xF xF x,由x生成的主理想()x ()|()f x x f xF x 5模9的剩余类环9Z的零因子有3 6、,可逆元有1 2 4 5 7 8、6举出主理想整环的一个例子：整数环Z 二、单项选择题二、单项选择题 1下列说法不正确不正确的是()整数环Z是无零因子环 循环群的子群是循环群 每个元素的阶都是有限的群必定是有限群 2下列说法正确正确的是()模m剩余类集mZ关于剩余类乘法构成一个Abel群 若群G中每个元素都满足2ae,则G是交换群 在一般的环中以下运算性质成立：22()2abaabb2 3设G为群,HG,则下列哪个不是不是,a bGaHbH的充要条件()1a bH1b aH abH 4下列映射不是不是群同态映射的是()设为一般线性群,()nGL RR为非零实数乘群.令 :(),|nGL RRAA|设Z为整数加群,令:,ZZ nn 设G为群,是G的正规子群,令H:/,GG H aaH 5.设G是群,有()个元素,则不能肯定是交换群.GG6 4 7 6.设1:GG2是群同态映射,那么错误错误的命题是()的同态核是的正规子群 1G 的正规子群的像是的正规子群 1G2G 的子群的逆像是的子群 2G1G三、计算题三、计算题 1设 12345671234567,57631426415237(1)将写成不相连循环的乘积以及对换的乘积、并指出的奇偶性；(2)求1以及1的阶；(3)求1.解解(1)(15)(27)(364)(15)(27)(36)(64),为偶置换.(2)由(15)(27)(364),有.1(15)(27)(463)因为,所以.3,2,261|6(3)因为(163)(245),故.1(361)(542)11111111111()(1)(5)(2)(7)(3)(6)(4).(34)(57)(612)2写出4次交错群4A的所有元素,并且(1)求关于Klein四元子群4A4(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)B 的所有左培集；(2)写出关于Klein四元子群4A4B的左培集分解.解解 为4元偶置换的全体,故 4A 41,123,132,124,142,134,143,234,243,1234,1324,1423A (1)因为,由拉格朗日定理知44|12,|4AB4444|:3|AABB.即关于Klein四元子群4A4B的左培集的个数为3.44(1)(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23),BB .(2)由(1)知4B.3求出模6的剩余类环4(123)(123),(134),(243),(142),B 4(124)(124),(132),(143),(234)B 444(1)(123)(124)ABB6Z的所有理想、并指出哪些是极大理想和素理想 解解 若60,1,2,3,4,5Z.I是6Z的一个理想,那么I是加群6Z的一个子群,而加群6Z是循环群,所以它的子群也是循环群,于是有 12(0)0,(1)(5),GG 6Z .显然,是3(2)(4)0,2,4,G 4(3)0,3G 12,G G6Z的平凡理想.6Z是交换环,36,aGrZ易知.故为3 a rG3G6Z的一个理想.同理,4G也是6Z的一个理想.显然,为34,G G6Z的极大理想.又因为6Z是一个有单位元的交换环,故它的极大理想都是素理想,即 3,G4G为素理想.因为而1230,G12,3,GG1故不是素理想.1G6Z的所有素理想为.34,G G4设33|,RZaba bZ关于复数的加法和乘法构成一个整环 (1)求R的所有可逆元构成的集合；()U R (2)求13的所有相伴元.解解(1)设(),U R则存在使得1()U R11.设13,3,abcd其中,a b c dZ则有 (3)(3)abcd1.等式两边取模的平方得 22|3|3|abcd111.即 .2222(3)(3)abcd因此,从而.即223ab0,1ba 1或1.故()1,1U R.(2)由(1)知,13的所有相伴元为13、13.四、证明题四、证明题 1设G为群且,子集HG()|N HxG xHHx,证明:且是的一个正规子群.()N HGH(N H)证明证明 因为故,即,eHHeH()eN H()N HG.,(a bN H),aHHa bHHb有.于是 ()()()()abHa bHa HbaH bHa bHab,111()()aaH aaHa a1111()(a a Haa H aa1),即,那么,.11Haa H因此,.于是,1,abH aH()N HG.有,故,hH hHHhH()hN H,即,而,故.()HN H(),N HG HG()HN H 又因为(),xN HxHHx,故.()HN H2设是两个群G到G的满同态,证明：若G为交换群,则G也是交换群.证明证明 因为,a bG是满射,存在,a bG使得(),()aa bb.因为G为交换群,故.abba又因为是群G到G的群同态映射,故 ()()()()()()a bababbabab a.由于的任意性,故是交换群.,a bG3.设,abRa b c dZcd是Z上的二阶矩阵环.证明：,0abSa b ddZ是R的子环.证明证明 因为故.00,00SSR 112212,00ababSdd 有 112212121212000ababaabbSdddd,1122121 2121212000ababa aa bbdSddd d.所以S是R的子环.