等边三角形(二).doc

1232 等边三角形（二） 教学目标 （一）教学知识点 1探索发现猜想证明直角三角形中有一个角为30的性质 2有一个角为30的直角三角形的性质的简单应用 （二）能力训练要求 1经历“探索发现猜想证明”的过程，引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系 2培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力 （三）情感与价值观要求 1鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲 2体验数学活动中的探索与创新、感受数学的严谨性 教学重点 含30角的直角三角形的性质定理的发现与证明 教学难点 1含30角的直角三角形性质定理的探索与证明 2引导学生全面、周到地思考问题 教学方法 探索发现法 教具准备 两个全等的含30角的三角尺； 多媒体课件； 投影仪 教学过程 提出问题，创设情境 师我们学习过直角三角形，今天我们先来看一个特殊的直角三角形，看它具有什么性质大家可能已猜到，我让大家准备好的含30角的直角三角形，它有什么不同于一般的直角三角形的性质呢？ 问题：用两个全等的含30角的直角三角尺，你能拼出一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由 由此你能想到，在直角三角形中，30角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？你能证明你的结论吗？ 导入新课 （让学生经历拼摆三角尺的活动，发现结论，同时引导学生意识到，通过实际操作探索出来的结论，还需要给予证明）生用含30角的直角三角尺摆出了如下两个三角形 其中，图（1）是等边三角形，因为ABDACD，所以AB=AC，又因为RtABD中，BAD=60，所以ABD=60，有一个角是60的等腰三角形是等边三角形 生图（1）中，B=C=60，BAC=BAD+CAD=30+30=60，所以B=C=BAC=60，即ABC是等边三角形 师同学们从不同的角度说明了自己拼成的图（1）是等边三角形由此你能得出在直角三角形中，30角所对的直角边与斜边的关系吗？ 生在直角三角形中，30角所对直角边是斜边的一半 师我们仅凭实际操作得出的结论还需证明，你能证明它吗？ 生可以，在图（1）中，我们已经知道它是等边三角形，所以AB=BC=AC而ADB=90，即ADBC根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得BD=DC=BC所以BD=AB，即在RtABD中，BAD=30，它所对的边BD是斜边AB的一半 师生共析这位同学能结合前后知识，把问题思路解释得如此清晰，很了不起下面我们一同来完成这个定理的证明过程 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半 已知：如图，在RtABC中，C=90，BAC=30求证：BC=AB 分析：从三角尺的摆拼过程中得到启发，延长BC至D，使CD=BC，连接AD 证明：在ABC中，ACB=90，BAC=30，则B=60 延长BC至D，使CD=BC，连接AD（如下图） ACB=60， ACD=90 AC=AC， ABCADC（SAS） AB=AD（全等三角形的对应边相等） ABD是等边三角形（有一个角是60的等腰三角形是等边三角形） BC=BD=AB 师这个定理在我们实际生活中有广泛的应用，因为它由角的特殊性，揭示了直角三角形中的直角边与斜边的关系，下面我们就来看一个例题 （演示课件） 例5右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，A=30，立柱BD、DE要多长？ 分析：观察图形可以发现在RtAED与RtACB中，由于A=30，所以DE=AD，BC=AB，又由D是AB的中点，所以DE=AB 解：因为DEAC，BCAC，A=30，由定理知 BC=AB，DE=AD， 所以BD=7.4=3.7（m） 又AD=AB， 所以DE=AD=3.7=1.85（m） 答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m 师再看下面的例题 例等腰三角形的底角为15，腰长为2a，求腰上的高 已知：如图，在ABC中，AB=AC=2a，ABC=ACB=15，CD是腰AB上的高 求：CD的长 分析：观察图形可以发现，在RtADC中，AC=2a，而DAC是ABC的一个外角，则DAC=152=30，根据在直角三角形中，30角所对的边是斜边的一半，可求出CD 解：ABC=ACB=15， DAC=ABC+BAC=30 CD=AC=a（在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半） 师下面我们来做练习 随堂练习 （一）课本P56练习 RtABC中，C=90，B=2A，B和A各是多少度？边AB与BC之间有什么关系？ 答案：B=60，A=30，AB=2BC （二）补充练习 1已知：如图，ABC中，ACB=90，CD是高，A=30 求证：BD=AB 证明：在RtABC中，A=30， BC=AB 在RtBCD中，B=60， BCD=30 BD=BC BD=AB 2已知直角三角形的一个锐角等于另一个锐角的2倍，这个角的平分线把对边分成两条线段 求证：其中一条是另一条的2倍 已知：在RtABC中，A=90，ABC=2C，BD是ABC的平分线 求证：CD=2AD 证明：在RtABC中，A=90，ABC=2C， ABC=60，C=30 又BD是ABC的平分线， ABD=DBC=30 AD=BD，BD=CD CD=2AD 课时小结 这节课，我们在上节课的基础上推理证明了含30的直角三角形的边的关系这个定理是个非常重要的定理，在今后的学习中起着非常重要的作用 课后作业 （一）课本P5811、12、13、14题 （二）预习P60P61，并准备活动课 1找出若干个成轴对称的汉字、英文字母、阿拉伯数字 2思考镜子对实物的改变 活动与探究 在三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30 过程：可以从证明“在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半”从辅助线的作法中得到启示 结果： 已知：如图（1），在RtABC中，C=90，BC=AB求证：BAC=30 证明：延长BC到D，使CD=BC，连结AD ACB=90， ACD=90 又AC=AC， ACBACD（SAS） AB=AD CD=BC， BC=BD 又BC=AB， AB=BD AB=AD=BD， 即ABD为等边三角形 B=60 在RtABC中，BAC=30 板书设计 1232 等边三角形（二） 一、定理的探究 定理：在直角三角形中，有一个锐角是30，那么它所对的直角边等于斜边的一半 二、范例分析 三、随堂练习 四、课时小结 五、课后作业 备课资料 参考例题 1已知，如图，点C为线段AB上一点，ACM、CBN是等边三角形 求证：AN=BM 证明：ACM与CBN是等边三角形 ACM=BCN ACM+MCN=BCN+NCM， 即ACN=MCB 在ACN和MCB中， ACNMCB（SAS） AN=BM 2一个直角三角形房梁如图所示，其中BCAC，BAC=30，AB=10cm，CB1AB，B1CAC1，垂足分别是B1、C1，那么BC的长是多少？ 解：在RtABC中，CAB=30，AB=10cm BC=AB=5cm CB1AB， B+BCB1=90 又A+B=90， BCB1=A=30 在RtACB1中，BB1=BC=2.5cm AB1=AB-BB1=10-2.5=7.5（cm） 在RtAB1C1中，A=30 B1C1=AB1=7.5=3.75（cm）