第二章-第三节解析.pptx

,单击此处编辑母版标题样式,#,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,实变函数论,主讲人：魏勇,2.3,可测集的,结构,第二章 可测集与可测函数,210.41.192.165/jp/sbhsl/index1.htm,定理,2.3.1,：若,=0,，则,E,可测,即,E,为可测集。,注意,:,并不需要逐一列举所有集,T,推论,2.3.1,可数集为可测集。,定理,.3.2,：区间 是可测集，且,证明：取,5)Borel,型集（从开集出发通过取余，取至多可数,次交或并运算得到的集合）是可测集。,1),可数集（有理数、代数数、自然数、整数、奇,数、偶数，,3,的整倍数）、余集可数的集（无理,数、超越数、非整数）。,4),型集,(,至多可数个闭集的并 ）是可测集。,3),型集,(,至多可数个开集的交 ）是可测集。,推论,2.3.1-2.3.3,2),区间、开集、闭集、完备集、,P,0,、,G,0,都是可测集。,1)开集、闭集既是,G,型集也是,F,型集；,2),有理数集是,F,型集,无理数集是 型集,3),G,型集和,F,型集都是Borel集（显然）,可数集,可看成,可数个,单点集,的并，而单点集是,闭集,；可数集是F,集,通过取余将 G,型集与 F,型集相互转化（并与交，开集与闭集互,换）得,开集也既是,G,型集又是,F,型集,证明1):当F为闭集时 ,所以F为F,集,无理数集通过有理数集取余是G,集,(a)先假定mE(2)”,因为,E,可测，所以,E,c,可测,由,(1),知,取闭集,定理,.3.4,：,（从里面接近）,闭集接近，相差任意小的正测度,F,集接近，,相差,0,测度,“,(2)=(3)”,对任意的,1/n,，,“,(3)=(1)”,证明：只证“,(1)=(2)”:,因为,E,可测，,定理,.3.5,：,由定理,.3.3,知,:,由定理,.3.4,知,:,=0,=0,=0,里外接近,可测集,的笛卡尔积仍然是可测集,可测集,的笛卡尔积仍然是可测集,(,续,),可测集,的笛卡尔积仍然是可测集,(,续,),可测集,的笛卡尔积仍然是可测集,(,续,),可测集,的笛卡尔积仍然是可测集,(,续,),存在不可测集,（见附录）,存在不是,Borel,集的可测集,（利用,Cantor,函数和不可测集构造）,参见：,实变函数,周民强,p87,