关于斜率问题的几点拓展.doc

作者:彭信军
职称: 中学一级数学教师,高一数学备课组长
学历: 湖南师范大学在职研究生
工作单位:湖南省浏阳市第二中学
邮编:410312
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关于斜率问题的几点拓展
在新课程必修(2)第三章中有斜率这一知识,下面本人就对斜率问题的几点拓展来谈谈如何培养学生对这一知识的较深认识。
1、斜率k与倾斜角的关系：
举几个特殊角求斜率，或举几个特殊斜率求倾斜角的例子，每一个学生自已自学都可以掌握，上课根本用不着多讲，如只停留在这一关系上，只是培养学生简单的记忆能力，是不能培养学生的思维能力的，达不到应有的教学效果和高考的要求。
下面从数形结合思想来加深对斜率与倾斜角关系的理解，实际上斜率与倾斜角之间是一种函数关系，且是高一年级学过的学生不易理解的分段函数关系，理解了这一关系，一方面帮助学生回顾、巩固了分段函数这一知识，对于后面的应用也能得心应手。
函数，其中且的图象如下：
k
90°°
180°

图1

图象中要明确两点：（1）在原点处为实心原点，在处为空心原点；（2）在两支图象中，第一支图象的右侧可无限向上延伸，第二支图象的左侧可向下列无限延伸。
从图象我们可认识到：（1）斜率与倾斜角构成的函数的单调性；（2）斜率整个定义域内的连续性，且能看出斜率的范围。
2、斜率k与倾斜角的关系第一层次的拓展。
例1、已知直线的斜率为k，倾斜角为，且倾斜角，求斜率k的取值范围
例2、已知直线斜率为k，倾斜角为，且斜率，求倾斜角的取值范围
这两个例题的解答借助上面的图1很易得出例1答案是：例2答案是：
3、斜率k与倾斜角的关系第二层次的拓展。
例1、已知三点A(-3,-3),B(2,-2),P(-2,1)，若直线过点P，且与线段AB有公共点，试求直线斜率k的取值范围；
例2、已知三点A(0,2),B(4,0),C(-2,1)，若直线CD与直线AB相交于第一象限，试求直线CD斜率k的取值范围；
上面两题的图象如下:
A
B
P
y
x
图2
A
B
C
y
x
图3

这两例有相同之处，它们都是直线绕一点在一定的范围内旋转,求直线旋转时斜率的变化情况；不同之处从图象可看出，图1中有一条直线的斜率旋转区域内不存在（倾斜角为90°）,图2的斜率在旋转区域内都存在.
若按图1先分析倾斜角的变化情况，再由角得到斜率的范围，这种方法只要对数形结合法很熟练，得出结论没问题；现在认真分析一下图1，不难发现：（1）若直线的斜率在倾斜角90°左右变动时，斜率的范围是分段的；（2）若直线的斜率在倾斜角不在90°左右变动时，斜率的范围是连续的。
由上面两条规律我们将图2与图3直线的变动角的范围用逆时针箭头标注。
例1解答：先由由两点式求出直线PA与直线PB的斜率, ,因直线的倾斜角在90°左右变动故求直线的斜率的变动是分段的,由此得答案为}
例2解答：先由两点式求出直线CB与直线CA的斜率得,由此得答案为
总结：得出答案后，来分析一下我们上面标注的逆时箭头有何作用，图2中，由于有一直线没有斜率，实际上我们可将箭头在过P点且与横坐标垂直的直线处分为两个箭头，故所求斜率也就分为两个部分；图3中，在所有直线变动的范围中,直线的斜率均存在且是连续的,故箭头的起始直线的斜率为最小，箭头的终止直线斜率最大。
总结了上面这一规律，就可以轻松解决下面较难的应用题。
4、斜率k与倾斜角的关系第三层次的拓展。
例1、求函数的值域
x
B
图4
A
P
y
x
L2
L1
P(5,4)
图5

y
例2、曲线与直线有两个交点，求直线的斜率k取值范围
例1解答：可看成为过定点A(2,1)与动点P的斜率，而动点P在圆心为原点，半径为1的圆上，斜率的变化范围为图4所示，由圆的切线L2的斜率变为圆的切线L1斜率且属于图3的斜率变化情况，答案为}
例2解答：曲线为圆心为点(2,3)，半径为2的半圆，直线由点斜式方程可知为过定点P(5,4)的直线，由图5可看出直线要与半圆有两个交点，直线要过定点P且在图5直线L2与半圆切线L1中变动，故直线的斜率很易求得
通过以上斜率与倾斜角知识的分层次，阶梯性的归纳与应用，并借助数形结合这一重要的数学思想，不仅让学生真正掌握斜率与倾斜角这一知识，更让学生由这一知识想到以后如何间接性和概括性的紧密联系其它知识，从而达到拓展学生思维能力的效果。

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