概率论与数理统计理工类(周概容著)习题解答.pdf

SBGX概率统计(理工类)触您1解答事件的概率第1页共69页习题1随机事件及其概率习题解答(A)一、事件的关系和运算1.1 以匕。表示10次射击命中的次数，考虑事件4=匕()26,5=匕()7,。=54匕0 W 8,说明如下事件的含义：A,A+B,A+C.A+D,A-B,A-C,A-D,AC.BC 9 AD.BD.解 A=v10 5,A-B=A,A-C=6v10 8,AC=C,BC=0,AD=6v1QS,BD=5 v1Q6.1.2 说明事件4氏C。的含义：(1)自0,1,9等十个阿拉伯数字中随机选八个(允许重复)，组成一个八位电话号码(第一位数不为0).引 进事件：用二号码中不含数字，瓦=号码中含数字NO=0,1,9),A=BQB9,B=BQ+B9,C=BQ-B9,D=BQ-B9.靶子由半径为 乃 l=l-Pv=0C4=1-铝。1 0.8472=0.1528.C4 JooL7从0,1,2,10等11个数中随机取出三个，求下列事件的概率：A=三个数最大的是5；4=三个 数大于、等于和小于5的各一个；4=三个数两个大于5,一个小于7.解 从11个数中随机取出三个，总共有Ci=165种不同取法，即总共有Ci个基本事件，其中有利于A 的取法有C；=10种(三个数最大的是5,在小于5的5个数中随意取两个有C；=10种不同取法)；有利于4的取法有5x5=20种(在小于5的5个数中随意取一个，在大于5的5个数中随意取一个，有 5*5=25种不同取法)；有利于&的取法有5xC；=70种(在小于5的5个数中随意取一个，在大于5的5个数中随意取两个).于 是，最后得10 25 50P(4)=0.06,P(4)=0.15,P(4)=0.30.165 165 1651.8 考虑一元二次方程/+母+。=o,其中氏。分别是将一枚色子接连掷两次先后出现的点数.(1)求方程无实根的概率a,(2)求方程有两个不同实根的概率用.解 显然，系数5和C各有1,2,345,6等6个可能值；将一枚色子接连掷两次，总共有36个基本事件.考 虑方程的判别式/=g24C.事件无实根和有两个不同实根,等价于事件/0.下表给出了 事件/0和/0所含基本事件1个数._B 1 2 3 4 5 6 S/0含基本事件数0 0 2 3 6 617 SBGX概率统计（理工类）触您1解答事件的概率第3页共69页由对称性知/0等价，因此。二夕.易见，方程无实根的概率。和有两个不同实根的概率为17a=B-0.47.361.9 随机将分别印有123,4四张卡片排成一行.求事件A的概率：A=至少一张卡片排列的顺序号与 其数字相同.解 设从二印有上的卡片列的顺序号恰好是（%=1,2,3,4）,则A=a+4+4+4.那么，P（A）=P（i+2+A3+A4）.由一般加法公式，可见P（A1+4+A3+A4）=P（A1）+P（/12）+P（A3）+P（A4）P（A4）+P（AA3）+P（AA4）+P（4A3）+P（4A4）+P（AA4）+伊（44人3）+2（44人4）+（44人4）+2（4人3人4）2（444人4）.显然（例1.7）P（A）=P（4）=P（A）=%4）=；四张卡片排成一行，总共有4!种不同情形.四张卡片中任何两张（例如第一张和第二张）的顺序号恰好所印数 字一致，总共有lxlx2xl=2种不同情形（第一张和第二张各有一种选择，第三张剩下两种选择，第四张最后只 剩下一种选择）.因此2 1若四张中任何三张（例如，第一、第二和第三张）都分别印有1,2,3,则第四张自然印有4.因此 尸（444）=占=：3/1）；P（AA2A3A4）=一=-.1 2 3 4!24于是，有八/4、n/4 4 4 4、4 6 4 1 15 5P（A）=P（A+A）+A+A）=-1-二二一与 勺 4 12 24 24 24 81.10从0,1,9中，随意取4个数字（允许重复）排成一列，结果恰好形成一个四位数.求下列事件的概 率：A=4个数字两两不等;4二此数是奇数;A=6至少出现一次;A=6恰好出现一次.解 考虑自总体A=0,1,-,9的=4次放回抽样.基本事件的总数N=9义1。3=9000：第一位数字（不 为0）有9种选择，其余三位数字共有IO?种选择.分别以3（左=1,2,2）表示人所含基本事件的个数.（1）2=9x9x8x7=4536；（2）；V2=9xl02x5=4500：第一位数字有9种、最后一位数字有5种、中间两位数字共有102种选择；（3）2V3=9X103-8X93=3168,即基本事件的总数N减去4的对立事件A=6不出现所含基本事 件的个数；（4）牝=93+3x8x92=2673：只有第一位数是6的共有9?种情形，6只出现在第2,3或4位数上的情 形各有8x92种；SBGX概率统计(理工类)触您1解答事件的概率第4页共69页三、概率的基本公式和运算法则于是，所求概率为P(A)=个=0.504；P(4)=*=0.500；P(A3)=$=0.352；P(A4)=为=0.2971.11 假设箱中黑、白、红球各有3,4,5个，12个球除颜色外完全相同.现在一个一个地从箱中取出所有 的球，求取到红球比黑球早的概率a.解 引进事件：取到红球比黑球早.以B,W和R分别表示“黑球”，“白球，和“红球，；以(WWR)表示事件前两次抽到黑球，第三次抽到白球依此类推.易见，A=(R)+(WR)+(WWR)+(WWWR),其中右侧的4个事件显然两两不相容，其概率相应为:P(R)510-,P(WR)=,P(WWR)二2 10 x9 6P(WWWR)=3x2xlx53x2x5 _110 x9x8 6110 x9x8x7 24x7 1681于是，由概率的可加性，红球比黑球早的概率为p(A)=-+-+=-0.7143.2 6 24 168 7说明我们是按古典型求的概率P(WR),P(WWR),P(WWWR),显然可以用乘法公式来求.1.12 对于随机变量X和y,求PminX,yo=.PYO=,pxo,y0,B=Y0,贝UX0,y0=A5.由条件知P(A)=g,P(5)=(，P(AB)=1,-3-4 一一 1P(A)=-,P=1 P(AB)=PX0,Y0=-.由对立事件的概率的公式和加法公式，可见PminX,Y 1=P(A+4+4)=i_p(4:4)=1一(1一”.(2)事件“A在次试验中最多出现一次”表示为vl=v=O+v=l.易见,尸俨=0=p(a 4)=P(A)P(A2)2-P(4)=(1-P)，PU=I=P(硒A)+P(A 44)=叩(i p)i，=Pvl=Pv=O+Pv=l=(l_p)+(l_p)i.说明求概率。和P可以利用，次伯努利试验恰好有左(0kn)次成功”的概率的计算公式 p=k=cPk(i-Py-k.1.17 把00,01,02,09,10,11,99等前100个数偶分别写在100张卡片上，混合均匀后随机地取出一 张卡片，设x是该卡片上两个数字之和，而y是该卡片上两个数字之积.求条件概率口X=切 y=0(加=0,1,2,18).解 易见,事件丫=0包含00,01,09,10,20,90等N1=19个基本事件.易见，事件X=01 丫=0 含1个基本事件：00；对于相=1,2,9,X=加|丫=0各含2个基本事件：On,m0.故PX=OY=O=尸X=切 y=0=.(加=1,2,9).对于根=io,n,i8,显然尸x=m|y=0=o.于是PX=mY=Q=P(A)=P(A)P(B).因此，若P(A)wO,则尸(5)=1；若P(5)wO,F(A)=O.(2)对于事件A和5,由于它们相互独立而且不相容，可见P(A)P(5)=P(A5)=0,因此，概率P(A)和P(B)至少有一个等于0.1.24 设事件A和耳(i=l,2)独立，且月=0，证明A和片+斗，用斗，男当独立.证明 由用与与不相容，可见人用与Ag不相容，故由加法公式，有P(A耳+与)=P(A 耳+AB2)=P(ABi)+P(AB2)二尸(如&四)+尸(如尸(52)=P(A)P(4)+P(-)=P(A)P(B1+B2),因此A和耳+为独立.类似可以证明A和旦-为独立.事实上，P(ABi-B2)=P(AB1-AB2)=P(AB AB)=P(ABJ=P(A)P(BJ=P 尸(4)-P(A)P(BlB2)=P(A)P-P(B=P(A)P(Bl-),因此A和耳与独立.最后，因为根据条件月层=0,即瓦当是不可能事件，而不可能事件与任何事件都独立，所以A和瓦当 独立.(B)一、单项选择题1.25 甲、乙两个篮球队进行比赛，假设有三种可能的结局：甲胜，乙胜与平局，考虑事件4=甲胜乙负,则”(A)与=甲负而乙胜.(B)与=甲和乙平局(C)员=甲胜或平局.(D)及=乙胜或平局 分析 应填(D).把“甲、乙两个篮球队比赛”视为随机试验E,其基本事件空间为A=例，电,电,其中 CDX-甲胜,3?-乙胜,0)3=平局.事件A=甲胜乙负 二 可,因此Z=电电,即才表示“旦=乙胜或平局”.于是(D)为正确选项.说明 题中事件四,当，员，用可以通过基本事件分别表示为：一=电,-2=电,-=囚电，/=。2电.SBGX概率统计(理工类)A R您1解答事件的微率 第10页共69页1.26 设A,是任意事件，满足ABuC,则(A)AuC且5uC.(B)A+BoC.(C)AuC 或 5uC(D)A+BC.分析(1)直选法 因为根据条件A5uC.所以由事件运算的对偶律，可见A+豆=AB n C,于是(B)是正确选项.(2)排除法为说明选项(A),(C),(D)不成立，只需分别举出反例.例如，设AuC,B=。,贝UA=A5uC,但是AuC且从而选项(A)错误；假设随机变量X在-2,2上均匀分布，引进事件A=-2X0,B=-2X P(C).(B)P(A 耳)P(C).(C)P(A+B)P(C).(D)P(AB)a,只要满足r=1-(1-/7)(1-pq)n a,(l-p)(l-pq)n l-a,由此得n ln(l-pq)-._ In(l-p)_于是，为使可靠性，不小于给定的a,备件的数量应满足：-L 皿1-P9)1.32 从双不同型号的皮鞋中随机取出2根(2根只.求下列事件的概率：A=取出的鞋任何两只 都不成双;5=取出的鞋恰好一对成双;。=取出的鞋恰好两对成双.解 从双(2只)鞋中随意取出2根总共有种不同取法，即基本事件的总数为N=C曹.R您1解答事件的微率第13页共69 SBGX概率统计(理工类)A页(1)为使取出的鞋无一对成双，只须先从双鞋中取出2根双，然后从每双鞋中任取一只；总共有 二22祖C,种不同取法，因此2m p(A)二上.2n(2)为使取出的鞋中只有一对成双,只须先从双鞋中任取一双,然后从其余-1双鞋中任取2(相-1)双,再从这2(根-1)双中各任取一只；总共有M=22(g)C：C：，T)种不同取法，因此“22OT)C2(MT)P(B)Q2m(3)为使取出的鞋中恰好有两双，只须先从n双鞋中任取两双，然后从其余一2双鞋中任取2(m 2)双,再从这2(根-1)双中各任取一只；总共有=22(7)C：C：2)种不同取法，因此P(C)=22(m-2)c2c2(加-2)1.33 将一枚完全对称和均匀的硬币接连掷几次.引进事件：A=正面最多出现一次,5=正面和反面 各至少出现一次.就=2,3,4的情形讨论事件A和B的独立性.解 以X”表示“将硬币掷次正面出现的次数”.易见，事件=得表示“正面恰好出现上次(反面恰好 出现女次)”，因此pX=k=c；.其次，有A=X=O+X=1,B=Xnl,n-Xnl,B=Xn=OXn=n；1 fi n+1P(A)=PXn=0+PX=l)=-+-=-fp 网=1-PXn=0-PXn=1白当时，由于A3=X=1,可见P(AB)=PXn=l=-.事件A和B独立，当且仅当尸(阴=,W.PP.由此可见，事件A和5独立，当且仅当+1=2一由于上式当n=3时成立，故当=3时事件A和B独立，但是上式当 二2和4时不成立，从而当n=2 或4时事件A和B不独立.1.34 甲、乙二人轮流射击，首先命中目标者获胜，已知其命中率分别为B和22.假设甲首先开始射击,SBGX概率统计(理工类)A R您1解答 事件的微率 第14页共69页(1)求甲和乙获胜的概率a和小；(2)求射击无休止地进行下去而不分胜负的概率7.解 设人=甲射击命中,8=乙射击命中,则比赛结果可以表示为：A,AB,ABA,ABAB,ABABA,ABABAB,ABABABA-设4=甲胜,纥=乙胜,。二比赛无休止,%=1-化，%=1-2，则a=P(A)=P(A)+(ABA)+P(ABABA)+P(ABABABA)+-=Pi+qq2Pl+qqq&q&Pi+Pi 1一(1一21)(1一22)B=P(B0)=P(AB)+P(ABAB)+P(ABABAB)+PABABABAB)+-2 3?4 3=Q1P2+d q2P2+/P2+d/P2+=心夕2工(名名)”左=0qn i-q0(1 一四)22 1一(1一21)。一夕2)i(C)=l P(4)-p(50)=l-1_q&i-q&=1-Pi-M=qqI=0 i-/%i-d%三、证明题1.35 证明事件A,一和A+8构成完全事件组.证明 首先，易见三个事件A和彳工Z两两不相容：A(AB)=(AC 区=05=0；AA+B=A(AB)=(AA)B=0B=0；(AB)(AUB)=(AB)(A B)=(AB)(BA)=A(BHB)A=0.其次，三个事件A,AB和A+B之和是必然事件：A+AB+A+B=A+AB+A B=A+A(B+B-A+A-f2.于是，A,48和A+)构成完全事件组.1.36 设A和B任意二事件，证明下列各关系式等价：AB=0,A+B=B.证明 设Au 3,即若A出现，则5也随之出现；从而，若5不出现，则A也不出现，因此In片.由Xn耳可见无豆二及 从而A耳=Al耳=0.设A耳=0,则由A=AB+A豆和8=+可见A+3=A+A3+才3=3.最后，若A+B=B,则由AuA+B=B,得AuB.于是，事件A和5的四个关系式等价得证.R您1解答事件的微率第15页共69 SBGX概率统计(理工类)A页1.37证明设A乃是任意二事件，证明，若P(8|A)工尸(8),则尸(A|8)二尸(A).设P(5|A)WP(5).由条件概率的定义，知乎整=P(BA)WP(B),P(AB)(3=1,2,(2)X2=000,001,010,011,100,101,110,111,其中 0正面,1反面；X(000)=0；X(001)=X(010)=X(100)=l；X(011)=X(101)=X(n0)=2；X(lll)=3.。蒋羽%泮黑黑米(，和 X(0,2)=X(2,0)=0；X(l,3)=X(3,l)=2；X(0,l)=X(l,0)=X(0,3)=X(3,0)=X(l,2)=X(2,l)=X(2,3)=X(3,2)=1.2.2 将随机变量X表示为随机试验E的基本事件的函数.(1)设E接连对同一目标射击直到恰好两次命中目标为止，X 射击的次数.设E接连进行3次射击，X 命中目标的次数.解(1)X=X(左)=q(左E。=伙=1,2,)仞 ooo ooi olo on loo 101 no 111X=X(0)I 0 1 1 2 1 2 2 3R您1解答事件的微率第16页共69 SBGX概率统计（理工类）A页2.3 已知随机变量X的分布函数为0,若X-1,F(x)=a+b arcsin x,若 一 1 4 i 1 .(1)当。力取何值时，/(1)为连续函数；(2)当尸(工)连续时，求尸|X|1/2.解 由于分布函数b(x)是连续函数，可见尸(-1)=0,尸=1;因此，将-1和1代入尸(%),得常数。和b的方程组兀)0=F(-l)=a-h l=F(l)=a+-h角阜得=1/2,8=1/兀.因止匕0,若工-1,F(x)=+arcsinx,若一1 x 1 .(2)由于分布函数/(x)是连续函数，可见p(|x4=pHxS=+4-p(4)1 1.111,-11.1 1=+arcsin-arcsin 一=2 xarcsm 二 一.2 71 2 2 7i 2 7C 2 32.4求常数a的值和事件-0.5 X 0.5的概率，已知随机变量的分布函数0,若 x -1,，若-14工0,/(%)=1 21+X 什八 r-,右0Wx 1.且尸(0.9)=1/6.解 由分布函数的基本性质，可见=F(0.9)=,a=,2 6 30,若工-1,若-1W x 0,/()=1，若06 1.F-0.5 X 0.5二尸(0.5)F(-0.5)=；_；=.2.5 向直线上掷一随机点，假设随机点落入区间（-8,0,（0和（1产）的概率分别等于0.2,0.5和0.3,并 R您1解答事件的微率第17页共69 SBGX概率统计(理工类)A页且随机点在区间(0上分布均匀.假设随机点落入(-8,0得0分，落入(1,8)得1分，落入(0坐标为了的点 得x分.试求得分X的分布函数尸(X).解 以五1，五2,83分别表示事件：随机点落入(-8,0,(0,1和(1,+8),它们构成完全事件组.由条件知 P(H)=0.2,P(H2)=0.5,P(H3)=0.3.易见PXxH1=0,若x 0；0,若x 0,PXXH2=PXXH3=%,若0 x 0；0,若1 1,|L若冗21.于是，由全概率公式，有 3/(X)=PX x=P(H JPX x|HJ k=l0,若x 0,=0.2+0.5%,若0Wx 1.易见，分布函数尸(x)既不是离散型的也不是连续型的，我们称之为离散-连续型的.二、离散型随机变量2.6 求常数C,假设随机变量X的概率分布为X=-=”=l,2,.解 由无限等比级数的求和公式，有k=l k=l 2 1 1 1/2.7 将一颗色子掷两次，以X表示两次掷出的最小点数，求X的概率分布.解 将一颗色子掷两次，有36个等可能基本事件：A=(G)%)=12,6,X有1,2,6个可能值.在36 个基本事件中，有禾 I于X=l的 11 个：(1,1),(1,2),-,(1,6),(2,1),(3,1),-,(6,1)；有禾 U 于X=2的 9 个：(2,2),(2,3),(2,6),(3,2),(4,2),(6,2),有利于X=6只有1个：(6,6).由此易见X的概率分布为：,1 2 3 4 5 6、Xn 9 7 5 3 1 36 36 36 36 36 36?2.8 口袋中有7个白球，3个黑球，每次从中任取一球且不再放回.(1)求4次抽球出现黑球次数X的概率分布；(2)抽球直到首次出现白球为止，求抽球次数丫的概率分布.解 随机变量X有0,1,2,3等4个可能值，若以W和B分别表示白球和黑球，贝U试验“4次抽球”相当 SBGX概率统计(理工类)A R您1解答事件的微率 第18页共69页于“含7个W和3个B”的总体的4次不放回抽样，其基本事件总数为C：o=210,其中有利于X=k(%=0,1,2,3)的基本事件个数为：*尸,因此CkPX=k=(左=0,l,2,3),或0123、0123、X35105637=31、6210307(2)随机变量y显然有1,2,3,4等4个可能值；以W左和凡分别表示第左(=1,2,3,4)次抽到白球和黑球，则“不放回抽球直到首次出现白球为止”相当于“自含7个白球3个黑球的总体的4次不放回抽样”，其基本事件总数以=10 x9x8x7=120.易见“卡器叩:2=怒嚏,PY=3=3x2x7_二 7,刊丫一书二 3x2xlx7-1；120?1 j 10 x9x8x7 120 1 2 3 4、10 x9x8y84 28 7 1 l=l-Py=0=0.4545.(1)不合格品不少于两件的概率a=PvN2=l _Pv=0 Pv=l=1-0.9830-30 x0.9829 x0.02=0.1205.(2)在已经发现一件不合格品的条件下，不合格品不少于两件的条件概率/3=Pv2v=口小，此为二君U.2651.Pv 1 Pv 1说明 本题亦可用古典概型求解.2.10 某生产线平均每三分钟生产一件产品，假设不合格品率为0.01.(1)求8小时内出现不合格品件数X的概率分布；(2)问为使至少出现一件不合格品的概率超过95%最少需要多长时间？解(1)由条件知，若每三分钟生产一件成品，则8小时内平均可以生产8X60+3=160件产品，每件产品 为不合格品的概率是P=0.01,在160件成品中不合格品的件数X显然服从参数为(160,0.01)的二项分布.(2)设川一至少出现一件不合格品所要生产产品的件数，则几件成品中不合格品的件数乙服从参数为5,R您1解答事件的微率第19页共69 SBGX概率统计(理工类)A页0.01)的二项分布；按题意，应满足条件P忆 1=1-尸化=0=1 0.99 0.95,298.0729.In 0.99于是，要使至少出现一件不合格品的概率超过95%,最少需要299X3=897分钟.2.U设 X服从泊松分布，且已知PX=1=PX=2,求PX=4.解 以X表示随意抽取的一页上印刷错误的个数，以X/k=1,2,3,4)表示随意抽取的第k页上印刷错误的 个数，由条件知X和=1,2,3,4)服从同一泊松分布，未知分布参数X决定于条件：无PX=l=PX=2,e-2.于是2=2.由于随机变量=123,4)显然相互独立，因此PXx=0,X2=0,X3=0,X4=0=PX=0PX2=0PX3=0PX4=0=2)4=。-8。00003.2.12 假设某药物产生副作用的概率为2%。.求在1000例服用该药的患者中，恰好有(M23例出现副作用的概率，并利用泊松分布求其近似值；(2)最少有一例出现副作用的概率，并利用泊松分布求其近似值.解 设乙一例服药者出现副作用的人数，=1000,p=0.002,则乙服从参数为(%P)的二项分布，近 似服从参数为2的泊松分布.恰好有0,123例出现副作用的概率相应为Pvn=0。e-2。0.1353；Pvn=1。2e-2。0.2707；4Pvn=2-2e-2-0.2707；pvn=3-ye-2-0.1804.(2)最少有一例出现副作用的概率Pvn 1=1-Pvn=0-l-e-2-0.86.2.13 某种玻璃器皿在汽车运输中的破损率为2%,现在一次运送1200件，试求，(1)破损件数X的概率分布；(2)最多破损30件的概率a,并利用泊松分布求其近似值.解1)为求破损件数X的概率分布，考虑=1200片1200次伯努利试验，每次试验成功的概率为片0.02,可见X的概率分布是参数(1200,0.02)为的二项分布.由于=1200,p=0.002,显然满足泊松定理的条件，可见 X近似服从参数为24的泊松分布.2)最多破损30件的概率(利用泊松分布累积概率数值表)30a=PX 3的概率P(A)=PX 3=设4=X%3,则由条件知A，4,4相互独立且P(4)=2/3(1,2,3).若事件5=对乂的3次独立观测中至 少两次的观测值大于3,则豆=对X的3次独立观测中，观测值都不大于3或恰好一次大于3；那么B=A A A+AAA+AAA+AAA；a=P(B)=-P(F)=i-P(AAA)+P(4&A)+P(A4 A)+P(A&A)_7_20 27-27解法2设丫3次独立试验事件4=乂3出现的次数，则丫服从参数为(3,p)的二项分布，其中 p=2/3.因此a=P(B)=Py=2+Py=3r 2/1、3 4 8 20=3p2(l-p)+p=-=9 27 272.15 某加油站每周的销售量X(单位：IO4L)是随机变量，其概率密度/(%)=5(1-%)4,若0cxV=5(l-x)4dx=(1 x)5=a v)5.由此可见 V=l V3不。0.6019(IO,L)=6019L.2.16 假设随机变量XN(108,9),求事件A=101.1 X 117.6的概率；(2)满足尸X b=0.025 的常数b.解 由条件知，随机变量T T X 108,1、U=-N(0,l).(I)由标准正态分布函数0(%)数值表(附表I),可见事件4=X 117.6的概率产101.16117.6二-1:。8号1。羊外=P2.3 U b=P-b X-b b=1-P0 X 2b1 f-108 X108 2/7-1081=1-P-I 3 3 3 Ji 小12一108、小,i 小(2一108、=-+0(-36)工1一。-3 J 3 J由标准正态分布水平a双侧分位数(附表3),可见2/7-108 A 1-0(%05)=。.。25,2/7-1083wo.o5-1-96,b-3x1.96+1082=56.94.1 03 J2.17设随机变量XN(3,4),分别求常数G和。2使之满足：(1)PXC1；(2)PXC2.解(1)由XN(3,4),可见什，u G=3.于是。=3.(2)同理PXC29PX C2=2 _2PX C2,PX C2=|,l=*g=训甘 科f=i，,？=。&由此及标准正态分布函数值表(附表1),可见=0.6666；见0.43)=0.6664-0.6666；-0.43,C2-2x0.43+3=3.86.2 2 SBGX概率统计（理工类）A R您1解答事件的微率 第22页共69页于是 G。3.86.2.18假设某年级学生”概率论与数理统计”考试的成绩（百分制）服从正态分布N（,C2）；考试成绩75分以下者占34%,而90分以上的考生占14%,试求分布参数解以X表示该年级随意一个学生”概率论与数理统计”的考试成绩，由条件知XN（出,而且0.34=PX 75=产丁 90=90卜_.（90）；由此及标准正态分布函数值表（附表1）,得关于4和。的方程组：0.34=0 卜0.14=1 摩M|=0.86；75 /_-=ML _ 0.41b:75,乡。-J 0.1/+1.08CT=90；解方程组，得以。79.13。79,10.072.2.19 假设收音机的有效使用时间（单位：年）服从参数为0.125的指数分布.现在某人买了一台旧收音机，试求收音机还能使用8年以上的概率。.解 以X表示使用的年限，由条件知X服从参数为4=0.125的指数分布.不妨假设收音机至少已经使用 了 t0年.熟知参数为2=0.125的指数分布函数为/(%)二1-eA 若x0,0,若兀/0+8|Xr0=PX 8=1-F(x)=。一 38=e-1=0.3679。0.37.于是，还能使用8年以上的概率。0.37.2.20 某仪器上装有三只同样电气元件，其寿命同服从参数为4=1/600的指数分布.已知这各元件的状态相 互独立，求在安装后工作的前200个小时里，至少有一只元件损坏的概率a.解 以X/k=1,2,3）表示第左只元件的寿命，X左都服从同一指数分布，参数为2=1/600；从而X左的 分布函数为/(%)=1-e 一而，若0,0，若x 200=。一 丽=。一；oc 尸(A+4+4)=1 P(A A2 A3)=1 P(4)P(W)P(A)=1 片=0.63.四、随机变量的函数2.21 设随机变量X服从二项分布5(3。4),求随机变量Y=X(X-2)的概率分布.解 由于随机变量X有0,123等4个可能值，可见y有-1,0,3等3个可能值.易见(0 1 2 3)X(0.63 3 X 0.62 X 0.4 3 x 0.6 x 0.42 0.43J_(0 1 2 3、一10.216 0.432 0.288 0.0641由y=x(x2)可见X=0,X=2nY=X(X2)=0,X=lnY=X(X2)=1,X=3nY=X(X 2)=3；py=l=pX=l=0.432,py=3=PX=3=0.064,Py=0=PX=0+PX=2=0.504；于是，y=x(x-2)的概率分布为0 3(0.432 0.504 0.064J2.22 设随机变量X服从-1,2上的均匀分布，求随机变量丫的分布律，其中-1,若X0,Y=0,若X=0,1,若xo.解 由于x服从-1,2上的均匀分布，知随机变量y的概率分布为py=l=pX0=PlX 0=po x 2=；-1 1)y1 2 2.23 求随机变量Y=InX的概率密度g(y)，其中随机变量X的概率密度为2 f(x)=0,若x 0.SBGX概率统计(理工类)A R您1解答事件的微率 第24页共69页解 设G(y)为随机变量y=lnX的分布函数，则对于任意y(-8y+8),有G(y)=PY y=Pln X y=PX ey=J。兀(1+x)/、d、2ey/、g(y)=-G(y)=(-oo y+oo).dy 7i(l+e y)2.24 对圆片的直径进行测量，测量值尺在5,6上均匀分布，求圆面积S的密度函数g(s).解 圆面积S是直径测量值尺的话是的函数：由于尺在5,6上取值，而在5,6之外尺=0,因此直径为7?圆面积表示为S=工兀底若尺 6,40,若氏/5,6.易见圆面积S的值属于区间6.25兀,9兀,其分布函数为G(s)=PS s=；兀尺2 J=p 尺 4s兀dr,由于圆面积S的值属于区间6.25兀,9兀,可见对于sc 6.25兀,9兀,有于是，圆面积S的密度函数为1g(s)=1 VTIS若6.25兀 9兀,0,若不然.2.25 由统计物理学知，气体分子运动的绝对速度X服从麦克斯韦(Maxwell)分布，其密度为号。北/(%)=0,若0.求分子动能丫=mX?12的概率密度g(y),其中m是分子的质量.解G(y)为丫=加1/2的分布函数，则当y0时，G(y)=0.当y0时，有于是g(y)=G(y)=m37icr3(8 y +).R您1解答事件的微率第25页共69 SBGX概率统计(理工类)A页g(y)=若y0,若y 0.2.26 设电流强度/是一随机变量，在9AHA之间均匀分布；已知此电流通过2Q的电阻时消耗的功率为W=2I求W的概率密度.解 电流/在区间(9,11)上均匀分布，其概率密度为“、:，若(9,11),0,若x任(9,11).由于y=2/(9%11)是单调连续函数，它有唯一反函数：当9/11时，162W=2/(9%11)的值域为(162,242).于是，由随机变量的函数的概率密度公式(2.8),功率W=的概率密度为一、单项选择题2.27 设/(%)是连续型随机变量X的概率密度，则/(%)一定是(A)可积函数.(B)连续函数.(C)可导函数.(D)0 /(x)尸(1),故选项(C)也 是错误选项.于是选项(A)(B)(C)都是应排除的错误选项.2.29 设随机变量X服从指数分布，Y=minX,2,则随机变量丫的分布函数(A)是连续函数.(B)至少有两个间断点.(C)是阶梯函数.(D)恰好有一个间断点.分析 应填(D).事实上，因为X的分布函数尸(x)=0(x40),尸(幻=1-。一(10)是连续函数.设G(y)是丫=111,乂,2的分布函数，贝UG(y)=Py4y=V%：；1，右y”因为G(2)=1而F(2)=1-e-24 W1,所以G(y)在y=2处恰好有一个间断点.2.30 设耳(x),F2(x)是随机变量的分布函数，力(x),f2(x)是相应的概率密度，则(A)片(%)+%(%)是分布函数.(B)尸i(x)尸2(%)是分布函数.(C)力(x)+/2(x)是概率密度.(D)力(x)/2(x)是概率密度.分析 应该选(B).该题宜用直选法，亦可采用排除法.(1)直选法 设尸(X)=G(X)尸2(%)只需证明尸(%)具有分布函数的三条基本性质.由分布函数 耳(x)和F2(x)的基本性质，可见0 W F(x)0,f(x)=0,若%0；0,若y仇=m).由全概率公式可见，对于根=0,1,2，有PX=m=YjPX=mX-Y=nPX+Y=n n=m oo j n oo j n二玛夕加(1 p)f e-2=eEc：p(l p)f 土 n=m _ _ n=m =5-(1-P)j=(Te-2gX(1_)对m(n-m)!LV m 白 女!”_(5-(而)mml ml于是，一日内到过该商店的顾客中购物的人数x服从参数为加的泊松分布.同理，y服从参数为2。-p)的泊松分布.2.34 假设运载火箭在飞行中进入仪器舱的宇宙线粒子数服从参数为2的泊松分布，而进入仪器舱的粒子 到达仪器的要害部位的概率为p.试求到达要害部位的粒子数的概率分布.解设x是进入仪器舱的宇宙线粒子数，则由条件知x服从参数为2的泊松分布，其中到达要害部位的粒 子数关于X二孔的条件概率分布是参数为(凡p)的二项分布(参数为(0,P)的二项分布是只有0 个可能值的 退化分布)：P=kX=n=(%=0J,2,)，其中q=l-p.由全概率公式可见，对于左=0,1,2,，有OO OO p=k=Y,P=kX=nPX=n=ZCpkqLk-几n=k n=k!_(痴 弋(白尸_(小 弋(网广_(4“k&(n-k)k 占 ml k于是，N服从参数为电的泊松分布.235设汽车发动机无故障工作的时间服从指数分布，已知平均无故障工作的时间为100个小时，试求其实 际无故障工作的时间不少于80个小时的概率.解 以X表示汽车发动机无故障工作的时间，则由条件知X服从指数分布，分布参数2=0.01.熟知这里 指数分布的分布函数为F(x)=1 e-=1 e-o-olx(xO).SBGX概率统计(理工类)A R您1解答事件的微率 第29页共69页因此无故障工作的时间不少于80个小时的概率 PX 80=l-PX 80=1 F(80)=1-(1-e-0-01x8)=e-0-8-0.4493.2.36假设随机变量X在区间(0,5)上均匀分布，试求一元二次方程4 d+4X/+X+2=0(1)有两个不同实根的概率。；(2)有重根的概率/.解 因为随机变量X在区间(0,5)上均匀分布，所以其分布函数为0,若x 0,F(x)=PX%=1,若0 x 5.一元二次方程的判别式为/=16X2 16X 32=16(X 2)(x+1).(1)一元二次方程有两个不同实根，当且仅当/=16(X2)(X+l)0.由于X在区间(0,5)上均匀分布，显然X+l0,因此/0当且仅当X-20,可见该一元二次方程有两个不同实根，当且仅当X 2.于是一元二次方程有两个不同实根的概率为3a=PA0=PX 2=l-F(2)二不.(2)一元二次方程有重根，当且仅当/=16(%-2)(%+1)=0,即当且仅当X=2.因此所给一元二次方 程有重根的概率为J3=PA=0=PX=2=0,因为连续型随机变量等于任何给定值的概率都等于0.2.37 由于加工误差，钢球半径R是随机变量，其概率密度为o,若不然.试求钢球的体积V=4兀氏3/3和表面积S=4nR2的概率密度gl和心.解 求钢球体积V的概率密度4(。).由于半径R的值域为(0,1),可见当。4兀/3时 gi(o)=0.设0。4兀/3,则体积V的分布函数为Gi(o)=PV=&rj=P R=6(r(l-r)dr=3fI3,271.二五R您1解答事件的微率第30页共69 SBGX概率统计(理工类)A页于是，钢球的体积V的概率密度为I3v.什八 4兀-1，右0 o，4兀 332兀3v7，若不然.34兀0(2)求钢球表面积5=4兀店的概率密度比(S).g2(s)=0.设054兀，则体积S的分布函数为由于半径R的值域为(0,1),可见当540和54兀时G2（5）=PS s=P4兀R2 S=PR4兀：4兀 rQ_ r）”-3二6-232修曰-于是钢球表面积S=4兀尺2的概率密度为92（5）=34兀1-士，若s4兀，0，若不然.三、证明题2.38 设巴(%)和尸2(%)是随机变量的分布函数，和+=是非负常数，证明：F(x)=aFx(x)+bF2(x)也可以做随机变量的分布函数.证明 只需验证尸(%)=耳(%)+方%(%)满足分布函数的三条基本性质.由条件知Q和8是非负常数且 a+b=l.由于耳(x)和(x)都是分布函数，可见:(1)对于任意x,有0 F(x)=aF、(x)+bF2(JC)a+b=l；对于任意实数占%，由于耳(西)G(%)。=1，2),可见F(xJ=+/?工(%)片(%2)+乙(%2)-尸(%2)，即尸(X)单调不减.(2)由分布函数的一般性质，知耳(%)和外(%)都右连续，可见尸(%)也右连续.(3)由于片(%)和乙(x)都是分布函数，知lim Ft(x)=