第十二部分 锐角三角函数 51中.doc

课题 锐角三角函数
51中 李欣
中考要求

具体要求
知识与技能
1.了解
通过实例认识锐角三角函数。
2.理解
正确应用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中两边的比。
3.掌握
30°、45°、60°角的三角函数值，由已知三角函数值求出对应的锐角的度数。
过程与方法
通过锐角三角函数的学习过程，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想。
知识梳理
1、三角函数定义。
sinA=, cosA=, tanA=
2、 特殊角的三角函数值

30°
45°
60°
sinA

cosA

tanA

1

典例解析
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sinA、cosA、tanA、sinB、cosB、tanB的值．

解：如图（1），在Rt△ABC中，∠C=90°，据勾股定理
AB =
∴sinA=, cosA=, tanA= （余略）
例2  求下列各式的值：

(3)+tan60°-tan30°

(3)+tan60°-tan30°=
课堂检测
1. 计算
(1)sin45°+cos45°=____________；                 (2)sin30°·cos60°=___________；
=____________；                 =____________；    
2. 填空

若tanA=1,则∠A = __________°。
3. 如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且AB＝5，BC＝3．则sin∠BAC= ；sin∠ADC= ．
4. 三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sinα的值是﹙ ﹚
A． B． C． D．

3题 4题 5题 6题
5. 如图，在直角△ABC中，∠C＝90o，若AB＝5，AC＝4，则sinA＝（ ）
A． 　　B． 　　　C． 　　D．
6. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D。已知AC=，BC=2，那么sin∠ACD＝（ ）
A． B． C． D．
课后测评
1. 在△ABC中，已知AB=5，AC=3，BC=4，则下列结论中正确的是（ ）
A.sinA= B.cosB= C.tanA= D.tanB=
2. 已知α为等边三角形的一个内角，则cosα等于（ ）　
A. B. C. D.
3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则∠A=__________．
4. 计算sin45°的结果等于__________．
5. 在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosB的值等于（ ）
A. B. C. D.
6. 在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos∠B的值为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，已知一商场自动扶梯的长l为10米，该自动扶梯到达的高度h为6米，自动扶梯与地面所成的角为θ，则tanθ的值等于（ ）
A. B. C. D.

6题 7题 10题
8. 等腰三角形的面积为40,底边长4,则底角的正切值为__________．
9. 在△ABC中，若|sinA－|+(1－tanB)2=0，则∠C的度数是__________．
10. 如图，AB为⊙O的直径，CA切⊙O于A，CB交⊙O于D，若CD=2，BD=6，则sinB=（ ）
A. B. C. D.

中考链接
1.（2014广东汕尾）在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则cosB的值是（　　）
　 A． B． C． D．
2．(2014天津市) cos60°的值等于（　　）
　 A． B． C． D．
3．（2014温州）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则tanA的值是 　．

3题 6题
4. （2014株洲）计算：+（π﹣3）0﹣tan45°．
5.o（2015·江苏常州）在△ABC中，AB＝5，BC＝6，B为锐角且＝，则∠C的正弦值等于
A． B． C． D．
6. （2015·湖南永州）如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是，堤高BC=10m，则坡面AB的长度是（ ）
A．15m B．20m
C．20m D．10m

P
O
B
A
第7题
7. (2015·屯溪)如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，⊙O的半径为1，P是⊙O上的点，且位于右上方的小正方形内，则sin∠AP等于（ ）

A． 　 B． 　　 C． 　　　 D．1
8. (2015·安徽省蚌埠市)如图，直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点O (0,0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则 的值为( )
A． B． C． D．
第5题图

9.（2015·山东省枣庄）在△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则sinB的值是（　　）
A． B． C． D．

10.（2015·山东省）在△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则sinB的值是（　　）
A． B． C． D．

课堂检测
1. ； ；； 2. 30；45；60°；30°； 45   
3. 4. 5. A      6. A
课后测评
1. A 2. A 3. 30° 4. 1 5. B
6. B 7. A 8. 10 9.75° 10. C
中考链接
1. 解：∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴cosB=sinA，∵sinA=，∴cosB=．故选B．
2.解：cos60°=．故选A． 3.解：tanA==，故答案为：．
4.解：原式=4+1﹣1=4．5.C 6.C 解：Rt△ABC中，BC=10m，tanA=1：；∴AC=BC÷tanA=10m，∴=20m．故选C．7.B 8.C9.B.10.B

课题 解直角三角形及其应用
中考要求

具体要求
1. 知识与技能
理解
直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系。
掌握
解直角三角形。
灵活运用
运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题。
2. 过程与方法
通过解直角三角形的过程，体会数学在解决实际问题中的作用。
3.情感与态度
实践——理论——实践的认识过程，调动学生学习数学的积极性 ，用丰富有趣的实际问题激发学生的学习兴趣。

知识梳理
1、Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有以下关系
(1)边角之间关系

如果用表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成.

(2)三边之间关系 a2 +b2 =c2 (勾股定理)
(3)锐角之间关系 ∠A+∠B=90°．
2、仰角、俯角
当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．

3、坡度与坡角
 坡面的铅直高度h和水平宽度的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i表示。即ｉ＝，
把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．

4、 方位角

典例解析
例1 在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b= a=，解这个三角形．
解：在△ABC中，∠C为直角，据勾股定理 c =
tanA= ∴∠A=60° ∴∠B=90°-60°=30°
例2 如图 ，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看地平面控制点B的俯角α=16°31′，求飞机A到控制点B距离(精确到1米)（参考数据：sinα=0.2843 cosα=0.9588 tanα=0.2962)

解：在Rt△ABC中sinB=AB===4221(米)
答：飞机A到控制点B的距离约为4221米．
例3  正午10点整，一渔轮在小岛O的北偏东30°方向，距离等于10海里的A处，正以每小时10海里的速度向南偏东60°方向航行．那么渔轮到达小岛O的正东方向是什么时间？(精确到1分)．

解：由图可知，∠AOB=60°，∠OAB=90°．
∴AB=OAtan60°=10≈17.32(海里).
从点A行到B点所需时间为≈1.732小时≈1小时44分
答：船到达点B的时间为1小时44分．

例4 同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求坝底宽AD的长(精确到0.1m)．

解：作BE⊥AD，CF⊥AD，在Rt△ABE和Rt△CDF中，
∴AE=3BE=3×23=69(m)．FD=2.5CF=2.5×23=57.5(m)．
 ∴AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m)． 答：坝底宽AD的长约为132.5米。
课堂检测
1. △ABC中，∠C=90°，AB=8，cosA=，则BC的长 ．
2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝7，则BC的长为（ ）．
A.7sin35° B. C.7cos35° D.7tan35°
3. 在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，下列各式成立的是（ ）
A.b=a·sinB B.a=b·cosB C.a=b·tanB D.b=a·tanB
4、如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，cosA=，BE=4，则tan∠DBE的值是　 　．

4题 5题
5. （2014株洲）孔明同学在距某电视塔塔底水平距离500米处，看塔顶的仰角为20°（不考虑身高因素），则此塔高约为　 　米（结果保留整数，参考数据：sin20°≈0.3420，sin70°≈0.9397，tan20°≈0.3640，tan70°≈2.7475）．
6. （2014邵阳）一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到大事故船C处所需的大约时间．（温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）
6题 7题
7. （2014德州） 如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为（　　）

A．
4米
B．
6米
C．
12米
D．
24米

课后测评
1.（2014浙江湖州）如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA=，则BC的长是（　　）
　 A．2 B．8 C．2 D． 4
2. AD是ΔABC的高，AD=BD=1，DC=，则∠BAC=__________．

1题 4题 5题
3. 已知，在△ABC中，∠A= 45°，AC= ，AB= +1，则边BC的长为__________．
4. 如图，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶部A的仰角为45°，测得大树AB的底部B的俯角为30°，已知平台CD的高度为5m，则大树的高度为　 　m（结果保留根号）
5. 如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，则AB的长为　 　．
6. 河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：，则AB的长为（　　）
　 A．12 B．4米 C．5米 D．6米
7. 如图，一艘渔船位于小岛M的北偏东45°方向、距离小岛180海里的A处，渔船从A处沿正南方向航行一段距离后，到达位于小岛南偏东60°方向的B处．
（1）求渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最小距离（结果用根号表示）；
（2）若渔船以20海里/小时的速度从B沿BM方向行驶，求渔船从B到达小岛M的航行时间（结果精确到0.1小时）．（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）

6题 7题

中考链接
1.(2015.道里一模)如图，已知射线MN表示一艘轮船的航行路线，从M到N的走向为南偏东300，
在M的南偏东600方向上有一点A，A处到M处为80海里．
(1)求点A到航线MN的距离；
(2)在航线MN上有点B，且∠MABB=150，若轮船的速度为40海里/时，求轮船
从M处到B处所用时间为多少分钟．(结果保留到整数位，参考数据：=1．732)

2.（2015·湖南永州）如图，我县某校新建了一座陶铸雕塑，小林站在距离雕塑2.7米的A处自B点看雕塑头顶D的仰角为45°，看雕塑底部C的仰角为30°，求塑像CD的高度．（最后结果精确到0.1米，参考数据：）

3. （ 2014广东）如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60°（A、B、D三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：≈1.414，≈1.732）

4. （2013钦州）如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米．（i=1：是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比）
（1）求点B距水平面AE的高度BH；
（2）求广告牌CD的高度．
（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：1.414，1.732）

5.(2014哈尔滨中考) 如图，AB、CD为两个建筑物，建筑物AB的高度为60米，从建筑物AB的顶点A点测得建筑物CD的顶点C点的俯角∠EAC为30°，测得建筑物CD的底部D点的俯角∠EAD为45°．
（1）求两建筑物底部之间水平距离BD的长度；
（2）求建筑物CD的高度（结果保留根号）．

6. （2014扬州）如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=（　　）

A．
3
B．
4
C．
5
D．
6
5题 6题
7. （2014孝感）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交成的锐角为α，若AC=a，BD=b，则▱ABCD的面积是（　　）

A．
absinα
B．
absinα
C．
abcosα
D．
abcosα
7题 8题
*8. （2014扬州）如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，点M、N分别在AB、AD边上，若AM：MB=AN：ND=1：2，则tan∠MCN=（　　）

A．

B．

C．

D．
﹣2

9. （2014上海）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH=2CH．
（1）求sinB的值；
（2）如果CD=，求BE的值．

10. （2014株洲）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的平分线交BC于点E，EF⊥AB于点F，点F恰好是AB的一个三等分点（AF＞BF）．
（1）求证：△ACE≌△AFE；
（2）求tan∠CAE的值．

11. （2014泰州）如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC、AB上，且DE∥AB，EF∥AC．
（1）求证：BE=AF；
（2）若∠ABC=60°，BD=6，求四边形ADEF的面积．

参考答案
课堂检测
1解：∵cosA=，∴AC=AB•cosA=8×=6，
∴BC===2．故答案是：2．

2. C 3. B
4.解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB，
∵cosA=，BE=4，DE⊥AB，∴设AD=AB=5x，AE=3x，则5x﹣3x=4，x=2，
即AD=10，AE=6，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：DE==8，
在Rt△BDE中，tan∠DBE===2，故答案为：2．
5. 解：在Rt△ABC中，AB=500米，∠BAC=20°，
∵=tan20°，∴BC=ACtan20°=500×0.3640=182（米）．故答案为：182．
6. 解：如图，过点C作CD⊥AB交AB延长线于D．
在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∠CAD=30°，AC=80海里，∴CD=AC=40海里．
在Rt△CBD中，∵∠CDB=90°，∠CBD=90°﹣37°=53°，
∴BC=≈=50（海里），
∴海警船到大事故船C处所需的时间大约为：50÷40=（小时）．

7.解：在Rt△ABC中，∵=i=，AC=12米，∴BC=6米，
根据勾股定理得：AB==6米，故选B．
课后测评
1.解：∵tanA==，AC=4，∴BC=2，故选A．
2.105° 3.2
4.解：作CE⊥AB于点E，
在Rt△BCE中，BE=CD=5m，CE==5m，
在Rt△ACE中，AE=CE•tan45°=5m， AB=BE+AE=（5+5）m．
故答案为：（5+5）．

5.解：过C作CD⊥AB于D，∴∠ADC=∠BDC=90°，
∵∠B=45°，∴∠BCD=∠B=45°，∴CD=BD，
∵∠A=30°，AC=2，∴CD=，∴BD=CD=，
由勾股定理得：AD==3，∴AB=AD+BD=3+．故答案为：3+．

6.解答：解：Rt△ABC中，BC=6米，=1：，
∴则AC=BC×=6，∴AB===12．故选A．
7.解：（1）过点M作MD⊥AB于点D，
∵∠AME=45°，∴∠AMD=∠MAD=45°，
∵AM=180海里，∴MD=AM•cos45°=90（海里），
答：渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最小距离是90海里；
（2）在Rt△DMB中，∵∠BMF=60°，∴∠DMB=30°，
∵MD=90海里，∴MB==60，
∴60÷20=3=3×2.45=7.35≈7.4（小时），
答：渔船从B到达小岛M的航行时间约为7.4小时．

中考链接
1.解：(1)如图，过点A作AK⊥MN于K，在点M的正南方向取点P
∵M到N的走向为南偏东30°，A在M的南偏东60°方向上
∴∠PMB=30°，∠PMA=60°
∴∠AMK=30 °
在Rt△AMK中 ∵sin∠AMK=
即
∴AK=40
∴A到航线MN的距离为40海里.
(第24题图)
（2） 在Rt△AMK中 ∵tan∠AMK= 即
∴MK=40
∵∠ABK=∠AMK+∠MAB=30°+15°=45° ∴∠BAK=90°﹣∠ABK=45°
∴∠ABK=∠BAK ∴BK=AK=40
∴BM=MK﹣BK=40﹣40
∴ (40﹣40) ÷40=﹣1≈1.732﹣1=0.732（小时）
0.732×60=43.92≈44（分钟）

2.解：在Rt△DEB中，DE=BE•tan45°=2.7米，在Rt△CEB中，CE=BE•tan30°=0.9米，则CD=DE﹣CE=2.7﹣0.9≈1.2米，故塑像CD的高度大约为1.2米．
3.解：∵∠CBD=∠A+∠ACB，∴∠ACB=∠CBD﹣∠A=60°﹣30°=30°，
∴∠A=∠ACB，∴BC=AB=10（米）．
在直角△BCD中，CD=BC•sin∠CBD=10×=5≈5×1.732=8.7（米）．
答：这棵树CD的高度为8.7米．
4.解：（1）过B作BG⊥DE于G，Rt△ABF中，i=tan∠BAH==，
∴∠BAH=30°，∴BH=AB=5；
（2）由（1）得：BH=5，AH=5，∴BG=AH+AE=5+15，
Rt△BGC中，∠CBG=45°，∴CG=BG=5+15．
Rt△ADE中，∠DAE=60°，AE=15，∴DE=AE=15．
∴CD=CG+GE﹣DE=5+15+5﹣15=20﹣10≈2.7m．
答：宣传牌CD高约2.7米．

5.解：
解答：
解：（1）根据题意得：BD∥AE，
∴∠ADB=∠EAD=45°，
∵∠ABD=90°，
∴∠BAD=∠ADB=45°，
∴BD=AB=60，
∴两建筑物底部之间水平距离BD的长度为60米；

（2）延长AE、DC交于点F，根据题意得四边形ABDF为正方形，
∴AF=BD=DF=60，
在Rt△AFC中，∠FAC=30°，
∴CF=AF•tan∠FAC=60×=20，
又∵FD=60，
∴CD=60﹣20，
∴建筑物CD的高度为（60﹣20）米．

6.解：过P作PD⊥OB，交OB于点D，
在Rt△OPD中，cos60°==，OP=12，∴OD=6，
∵PM=PN，PD⊥MN，MN=2，∴MD=ND=MN=1，
∴OM=OD﹣MD=6﹣1=5．故选C．

7.解：过点C作CE⊥DO于点E，
∵在▱ABCD中，对角线AC、BD相交成的锐角为α，AC=a，BD=b，
∴sinα=，∴EC=COsinα=asinα，∴S△BCD=CE×BD=×asinα×b=absinα，
∴▱ABCD的面积是：absinα×2=absinα．故选；A．

8.解：∵AB=AD=6，AM：MB=AN：ND=1：2，∴AM=AN=2，BM=DN=4，
连接MN，连接AC，

∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°
在Rt△ABC与Rt△ADC中，
，∴Rt△ABC≌Rt△ADC（LH）
∴∠BAC=∠DAC=∠BAD=30°，MC=NC，∴BC=AC，
∴AC2=BC2+AB2，即（2BC）2=BC2+AB2，3BC2=AB2，∴BC=2，
在Rt△BMC中，CM===2．
∵AN=AM，∠MAN=60°，∴△MAN是等边三角形，∴MN=AM=AN=2，
过M点作ME⊥ON于E，设NE=x，则CE=2﹣x，
∴MN2﹣NE2=MC2﹣EC2，即4﹣x2=（2）2﹣（2﹣x）2，
解得：x=，
∴EC=2﹣=， ∴ME==，
∴tan∠MCN== 故选A．
9.解：（1）∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，∴CD=BD，∴∠B=∠BCD，
∵AE⊥CD，∴∠CAH+∠ACH=90°，∴∠B=∠CAH，
∵AH=2CH，∴由勾股定理得AC=CH，∴CH：AC=1：，∴sinB；
（2）∵sinB，∴AC：AB=1：，
∵CD=，∴AB=2，
由勾股定理得AC=2，则CE=1，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，∴BC=4，∴BE=BC﹣CE=3．

10.（1）证明：∵AE是∠BAC的平分线，EC⊥AC，EF⊥AF，∴CE=EF，
在Rt△ACE与Rt△AFE中，
，∴Rt△ACE≌Rt△AFE（HL）；
（2）解：由（1）可知△ACE≌△AFE，∴AC=AF，CE=EF，
设BF=m，则AC=2m，AF=2m，AB=3m，∴BC===m，
∴在RT△ABC中，tan∠B===，
在RT△EFB中，EF=BF•tan∠B=，∴CE=EF=，
在RT△ACE中，tan∠CAE===；∴tan∠CAE=．
11.（1）证明：∵DE∥AB，EF∥AC，∴四边形ADEF是平行四边形，∠ABD=∠BDE，∴AF=DE，
∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠DBE，∴∠DBE=∠BDE，∴BE=DE，∴BE=AF；
（2）解：过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥BD于点H，
∵∠ABC=60°，BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠EBD=30°，∴DG=BD=×6=3，
∵BE=DE，∴BH=DH=BD=3，∴BE==2，∴DE=BE=2，
∴四边形ADEF的面积为：DE•DG=6．

锐角三角函数 第 22 页 共 22 页