北大随机信号分析基础课件 3.2白噪声通过线性系统的分析与等效噪声带宽.doc

3.2 白噪声通过线性系统的分析与等效噪声带宽

3.2.1 白噪声通过线性系统

设线性系统的传输函数为，输入白噪声功率谱密度为，那么系统输出的功率谱密度为

上述分析表明，若输入信号是白噪声，则输出随机信号的功率谱主要是由系统的幅频特性决定；系统只允许与其频率特性一致的频率分量通过，具有一定的选择性。

输出自相关函数为：

输出平均功率为：

3.2.2 等效噪声带宽

若在保持平均功率不变的条件下，把输出功率谱密度等效成一定带宽内为均匀的功率谱密度。若等效的功率谱密度的高度为，则这个带宽就定义为等效噪声带宽。

1．对于低通系统，用等效噪声带宽表示的等效功率传输函数为：

等效后系统输出的平均功率为：

已知

可得

又是偶函数，有

2．若系统是以为中心频率的带通系统，且功率传输函数单峰的峰值发生在处。用等效噪声带宽表示的等效功率传输函数为：

等效后系统输出的平均功率为：

已知等效前系统输出的平均功率为：

则有

等效噪声带宽是用来描述系统对信号频率的选择性，并且只与系统参量有关。

在一般的线性系统中，通常用3dB带宽来表示系统对输入确定信号频谱的选择性；而等效噪声带宽则用来描述系统对输入白噪声功率谱的选择性。它们都仅由系统本身的参数决定。

例：书104页例3.4.1

3.2.3 随机信号频带宽度

低通过程：如果随机过程的功率谱密度集中在零频附近，则称它为低通过程。
带通过程：若随机过程的功率谱密度集中在某个频率附近，则称它为带通过程。
窄带过程：当远大于随机过程功率谱所占有的带宽，则称它为窄带过程。

随机过程的带宽用它的功率谱密度来定义。

低通过程X(t)的矩形带宽B1定义为将X(t)的功率谱密度曲线下的面积等效成一个高为，宽为B1的矩形，即

低通过程X(t)的均方带宽B2定义为归一化功率谱密度的标准差

若X(t)带通过程，用代替上式中的，即可得到X(t)的矩形带宽

带通过程X(t)的均方带宽为

3.2.4 白噪声通过理想线性系统

理想系统的等效噪声带宽与系统带宽是相等的。为了讨论方便，就用来代替。

1. 白噪声通过理想低通系统

理想低通线性系统具有如下的单边幅频特性

白噪声过程N(t)的单边功率谱密度为，则它通过理想低通系统后，系统输出随机过程Y(t)的单边功率谱为：

系统输出Y(t)的自相关函数为

输出平均功率为

输出相关系数为

输出相关时间为

由上述结果可得，白噪声通过低通系统后
1）功率谱宽度变窄
2）平均功率由无限变为有限
3）相关性由不相关变为相关，相关时间与系统带宽成反比

2. 白噪声通过理想带通系统

理想带通系统的单边幅频特性为

输出随机过程Y(t)的单边功率谱为

系统输出Y(t)的自相关函数为

说明：(1)若，即理想带通系统的中心频率远大于系统的带宽，则称这样的系统为窄带系统。此时，输出的随机信号也是窄带随机信号。
(2)已知 ，其中只包含的成分。当满足时，与相比，是的慢变化函数，而则是的快变化函数。
(3)当时，则有，此式与前面推导出的低通系统输出相关函数是一样的。

输出随机过程的平均功率

相关系数

相关时间（带通系统的相关时间是由相关系数的慢变部分定义的）

从上述结果可看出，带通系统与低通系统的分析相似。

3. 白噪声通过实际线性系统

以幅频特性接近高斯曲线的带通系统为例，来分析带通系统输出的功率和起伏变化。

高斯频率特性的表示式为

式中是与系统带宽有关的量。

当输入随机信号N(t)是具有单边功率谱的白噪声时，输出随机信号的功率谱为

输出自相关函数

输出随机过程的平均功率为

相关系数

等效噪声带宽

相关时间

此处所得相关时间与带宽成反比，该结果与理想带通系统相同。不同之处是输出自相关函数的包络是高斯曲线，功率谱也是高斯曲线。

作业题：书123页3.4,3.5