河北省秦皇岛市090学年高二数学第二学期期末试卷-理.doc

秦皇岛市2009～2010学年第二学期期末质量检测试题
高 二 数 学 (理 科)
注意事项：1.本试卷分试题和答题纸两部分，试卷满分为150分，考试时间120分钟；
2.所有试题答案必须写在答题纸相应位置上.
一、填空题：本大题共8小题，每题4分，共32分．
1．=__________．
2．= ．
3．有3把钥匙，其中仅有一把能打开锁，逐一试开，恰好第二次打开锁的概率为___________．
4．正三角形ABC的边长为，⊙O为其内切圆，D为BC的中点，将三角形ACD沿AD折叠，使二面角B－AD－C成直二面角，则⊙O上的圆弧扫过的曲面面积为____________．
5．设随机变量服从正态分布N(2，9)，若P(>c+1)=P(<c－1)，高！考！资！源！网
则__________．
6．正四面体ABCD中，直线AB和平面BCD所成角的余弦值是___________．
7．已知，则= ．
8．如图，在边长为的正方形ABCD中的四条边上有A1、B1、C1、D1四点，分别把AB、BC、CD、DA分成1：2，得到一个小正方形A1B1C1D1，再用同样的方法在正方形A1B1C1D1内做正方形A2B2C2D2，…，这样无限的做下去，则所有这些正方形面积之和为 ．
二、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知随机变量=，且D=2，则D=
A．6 B．8 C．18 D．20
2．某校A班有40人，B班50人，现从两班中抽容量为18的样本，则从A班中抽取的人数为
A．9 B．8 C．7 D．6
3．设曲线y=ax2在点(1，a)处切线与直线2x－y－6=0平行，则a=
A．1 B． C．－ D．－1
4．已知，则等于高！考！资！源！网

A． B． C． D．

1
2
3
P
0.3
0.2
a
5．已知随机变量的分布列如右方表格，
则E的值是
A．0.5＋3a B．0.7＋3a
C．2 D．2.2高！考！资！源！网

6．下列命题中不正确的是（其中l、m表示直线，α、β、γ表示平面）
A．若l⊥m，l⊥α，m⊥β，则α⊥β
B．若α⊥γ，β∥γ，则α⊥β
C. 若l⊥m，lα，mβ，则α⊥β
D. 若l∥m，l⊥α，mβ，则α⊥β
7．若f(n)=1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n＋(n－1)＋…＋3＋2＋1，则f(2)=
A．1 B．2 C．3 D．4
8．函数在x=1处连续，则=
A． B． C． D．高！考！资！源！网

9．若棱长都为的正四棱锥S—ABCD内接于球O，则S、A两点的球面距离为
A． B． C． D．
0.0001
0.0002
0.0003
0.0004
0.0005
1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
月收入(元)
频率/组距
10．一个调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2500，3000）（元）月收入段应抽出人数为

A．5
B．10
C．25
D．50

11．设函数f(x)在x=1处连续，且，则f（1）=高！考！资！源！网

A．－1 　 B．0 C．1　 D．2
12．空间四边形ABCD中，AB=CD=3，E、F分别是BC、AD上的点，EF=，，则异面直线AB与CD所成角的大小为
A．30° B．45° C．60° D．120°

三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
1．（本小题满分10分）
求f(x)=x3－12 x＋3的单调区间和极值．

2．（本小题满分12分）
用数学归纳法证明：

3．（本小题满分12分）
一个袋中装有大小相同，质量均匀的红球2个，白球3个，黑球3个，某人有放回的从袋中取球，每次取1个球，直到取得红球或取球5次时取球结束。
（Ⅰ）求第3次取球结束的概率；
（Ⅱ）求取球次数的分布列，并求出数学期望E．

4．（本小题满分12分）高！考！资！源！网

如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，，PA =2， AB= AC=4，点D、E、F分别为BC、AB、AC的中点。
P
A
B
C
D
E
F
（I）求证：EF⊥平面PAD；
（II）求点A到平面PEF的距离．

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5．（本小题满分12分）
如图所示，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长是2，
侧棱长是，D是AC的中点．
（Ⅰ）求证：B1C//平面A1BD；
（Ⅱ）求二面角A—A1B—D的大小．

A
B
C
D
A1
B1
C1

6．（本小题满分12分）
已知函数
（Ⅰ）若f（x）在x=处取得极值，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）在定义域内为单调递增函数，求的取值范围．

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秦皇岛市2009～2010学年第二学期期末质量检测试题
高 二 数 学 (理 科)参考答案
一、填空题：本大题共8小题，每题4分，共32分．
1．ln2 ； 2．； 3．； 4．；
5．2； 6．； 7．－6； 8．
二、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
CBABD CDBCC BC

三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
1．（本小题满分10分）
解：=3x2－12，………………………………………………………1分
由=0，得x=2………………………………………………………3分
x变化时，f(x)的变化情况如下表
x
(，－2)
－2
（－2，2）
2
（2，+）

＋
0
－
0
＋
f(x)

极大值19

极小值－13

………………………………………………………6分
则f(x)的单调增区间为(，－2) 、（2，+），单调减区间（－2，2）……8分
当x=－2时f(x)取得极大值19，当x=2时f(x)取得极小值－13………………10分

2．（本小题满分12分）
解：证明：（1）当n=1时，左边=，右边=，
说明n=1时等式成立；………………………………………………………3分
（2）假设当时，等式成立，高！考！资！源！网

即，…………5分
则当时，有

……………………………………………………7分
=……………………………………10分
所以，当时，等式也成立。…………………………………………11分
综合(1)(2)得：对任意的,
等式成立。………12分
3．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设“第3次取球结束”为事件A，………………………………1分
则由已知P(A)= ……………………………………………2分
=……………………………………………4分
注：没有过程扣1分
（Ⅱ）由已知随机变量的取值为1，2，3，4，5………………………4分
P(=1)=，P(=2)=，P(=3) =，P(=4)=，P(=5)=
……………………………………………9分
注：每个概率运算正确得1分
则的分布列为

1
2
3
4
5
P

…………………………………………10分
E=1×＋2×＋3×＋4×＋5×
=……………………………………………12分

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4．解法一：
（Ⅰ）∵PA⊥平面，
，……………………………………………2分
又点、分别为、的中点，
第4题图
，
在中，∵AB=AC，，，…………4分
又∵PA∩AD=A，
平面.…………………………6分
（Ⅱ）设与相交于点，连接。
∵EF⊥平面，平面平面，
过做平面，则在上，
∴线段的长为点到平面的距离，………9分
在中，，， ，
即点到平面的距离为。 …………………………………12分
说明：该问还可以用等体积转化法求解，请根据解答给分。
解法二：∵PA⊥平面ABC，，、、两两垂直，
以为原点，分别以、、所
在直线为、、轴建立如图所示空间直角坐标系，………………………1分
则，，，， ……………2分
（Ⅰ）∵=（0，0，2），=（2，2，0），=（－2，2，0），
第4题图
∴=0，=0，
，
又∵PA∩AD=A，，平面。 ………………6分
（Ⅱ）设为平面的一个法向量，
=（2，0，－2），
∴，
令，则，， ……………………………9分
∴点到平面的距离为：，
所以点到平面的距离为。…………………………………………12分

5．（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：
连接AB1交A1B于O，连接OD，…………………………1分
∵O、D分别为AB1、AC中点，则B1C//OD，……………………3分
而OD平面A1BD，
B1C平面A1BD
∴B1C//平面A1BD；…………………………………………5分
（Ⅱ）解：过D作DM⊥AB于M，过D作DN⊥A1B于N，连接MN，
则DM⊥平面A1ABB1，MN为DN在平面A1ABB1的射影，
∴MN⊥A1B，
∴∠DNM为二面角A—A1B—D的平面角，………………………8分
在正三角形ABC中，DM=，
在三角形A1DB中，A1D=2，DB=，A1B=，∴∠A1DB是直角，
∴DN=，
∴sin∠DNM =…………………………………………11分
二面角A—A1B—D的大小arcsin………………………………………12分
6．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵，∴x∈（0，＋∞）
∴，…………………………………………2分
由已知，即
∴…………………………………………4分
（Ⅱ）当a=0时，，符合题意；……………………………5分
当a＞0时，若恒成立，
则恒成立…………………………………………6分
设，
由，得，
当x变化时，g(x)的变化情况如下表
x范围

符号
－
0
＋
g(x)单调性

极小值

∴

则…………………………………………9分

当a＜0时，若恒成立，
则恒成立
如上表，a不存在，…………………………………………11分
综上所述，所求a的取值范围是………………………………12分

- 9 -