资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的中点，CD与BE交于点O，则S△DOE:S△BOC的值为（ ）
A． B． C． D．
2．点点同学对数据25,43,28,2□,43,36,52进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数被墨水涂污看不到了，则计算结果与涂污数字无关的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数
3．如图所示，∆ABC的顶点在正方形网格的格点上，则cosB=( )
A． B． C． D．
4．如图，在平直角坐标系中，过轴正半轴上任意一点作轴的平行线，分别交函数、的图象于点、点.若是轴上任意一点，则的面积为( )
A．9 B．6 C． D．3
5．如图，△ABC的三个顶点分别为A(1，2)、B(4，2)、C(4，4)．若反比例函数y＝在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是( )
A．1≤k≤4 B．2≤k≤8 C．2≤k≤16 D．8≤k≤16
6．二次函数的图像如图所示，下面结论：①；②；③函数的最小值为；④当时，；⑤当时，（、分别是、对应的函数值）．正确的个数为（ ）
A． B． C． D．
7．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
﹣6
0
4
6
6
…
给出下列说法：
①抛物线与y轴的交点为（0，6）；
②抛物线的对称轴在y轴的左侧；
③抛物线一定经过（3，0）点；
④在对称轴左侧y随x的增大而减增大．
从表中可知，其中正确的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．甲、乙、丙三人站成一排拍照，则甲站在中间的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．如图钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长3m，钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC逆时针转动15°到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'长度是（ ）
A．3m B． m C． m D．4m
10．菱形具有而矩形不具有的性质是（ ）
A．对边相等 B．对角相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
11．如图为O、A、B、C四点在数线上的位置图，其中O为原点，且AC=1，OA=OB，若C点所表示的数为x，则B点所表示的数与下列何者相等？（ ）
A．﹣（x+1） B．﹣（x﹣1） C．x+1 D．x﹣1
12．抛物线y＝﹣2x2经过平移得到y＝﹣2（x+1）2﹣3，平移方法是（ ）
A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 B．向左平移1个单位，再向上平移3个单位
C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 D．向右平移1个单位，再向上平移3个单位
二、填空题（每题4分，共24分）
13．在中，，，，则内切圆的半径是__________．
14．某型号的冰箱连续两次降价，每台售价由原来的2370元降到了1160元，若设平均每次降价的百分率为，则可列出的方程是__________________________________.
15．已知为锐角，且，则度数等于______度.
16．，两点都在二次函数的图像上，则的大小关系是____________．
17．如果关于x的方程x2﹣5x+k=0没有实数根，那么k的值为________
18．某一时刻，测得一根高1.5m的竹竿在阳光下的影长为2.5m．同时测得旗杆在阳光下的影长为30m，则旗杆的高为__________m．
三、解答题（共78分）
19．（8分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x+n（x＞0）的图象记为G1，将G1绕坐标原点旋转180°得到图象G2，图象G1和G2合起来记为图象G．
（1）若点P（﹣1，2）在图象G上，求n的值．
（2）当n＝﹣1时．
①若Q（t，1）在图象G上，求t的值．
②当k≤x≤3（k＜3）时，图象G对应函数的最大值为5，最小值为﹣5，直接写出k的取值范围．
（3）当以A（﹣3，3）、B（﹣3，﹣1）、C（2，﹣1）、D（2，3）为顶点的矩形ABCD的边与图象G有且只有三个公共点时，直接写出n的取值范围．
20．（8分）解方程：3x2﹣4x+1＝1．（用配方法解）
21．（8分）如图，已知等边△ABC，AB＝1．以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连结GD．
(1)求证：DF是⊙O的切线；
(2)求FG的长；
(3)求△FDG的面积．
22．（10分）按要求解答下列各小题．
（1）解方程：；
（2）计算：．
23．（10分）某无人机兴趣小组在操场上开展活动（如图），此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为37°，测得点C处的俯角为45°．又经过人工测量操控者A和教学楼BC距离为57米，求教学楼BC的高度．（注：点A,B,C,D都在同一平面上．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
24．（10分）先阅读下列材料，然后解后面的问题．
材料：一个三位自然数 （百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c），若满足a+c=b，则称这个三位数为“欢喜数”，并规定F（）=ac．如374，因为它的百位上数字3与个位数字4之和等于十位上的数字7，所以374是“欢喜数”，∴F（374）=3×4=1．
（1）对于“欢喜数”，若满足b能被9整除，求证：“欢喜数”能被99整除；
（2）已知有两个十位数字相同的“欢喜数”m，n（m＞n），若F（m）﹣F（n）=3，求m﹣n的值．
25．（12分）如图，∠A=∠B=50°，P为AB中点，点M为射线AC上（不与点A重合）的任意点，连接MP，并使MP的延长线交射线BD于点N，设∠BPN=α．
（1）求证：△APM≌△BPN；
（2）当MN=2BN时，求α的度数；
（3）若△BPN的外心在该三角形的内部，直接写出α的取值范围．
26．学校为奖励“汉字听写大赛”的优秀学生，派王老师到商店购买某种奖品，他看到如表所示的关于该奖品的销售信息，便用1400元买回了奖品，求王老师购买该奖品的件数.
购买件数
销售价格
不超过30件
单价40元
超过30件
每多买1件，购买的所有物品单价将降低0.5元，但单价不得低于30元
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【分析】DE为△ABC的中位线，则DE∥BC，DE＝BC，再证明△ODE∽△OCB，由相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：∵点D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∴∠ODE＝∠OCB，∠OED＝∠OBC，
∴△ODE∽△OCB，
∴，
故选：C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理，熟练掌握相似三角形的性质定理是解题的关键．
2、B
【分析】利用平均数、中位数、方差和标准差的定义对各选项进行判断．
【详解】这组数据的平均数、方差和标准差都与第4个数有关，
而这组数据从小到大排序后，位于中间位置的数是36，与十位数字是2个位数字未知的两位数无关，
∴计算结果与涂污数字无关的是中位数．
故选：B．
【点睛】
本题考查了标准差：样本方差的算术平方根表示样本的标准差，它也描述了数据对平均数的离散程度．也考查了中位数、平均数．
3、C
【分析】先设小正方形的边长为1，再建构直角三角形，然后根据锐角三角函数的定义求解即可；
【详解】解：如图，过A作AD⊥CB于D，
设小正方形的边长为1，
则BD=AD=3，AB=
∴cos∠B=；
故选C.
【点睛】
本题主要考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，掌握锐角三角函数的定义，勾股定理是解题的关键.
4、C
【分析】连接OA、OB，利用k的几何意义即得答案.
【详解】解：连接OA、OB，如图，因为AB⊥x轴，则AB∥y轴，，， ，所以.
故选C.
【点睛】
本题考查了反比例函数系数k的几何意义，属于常考题型，熟知k的几何意义是关键.
5、C
【解析】试题解析：由于△ABC是直角三角形，所以当反比例函数经过点A时k最小，进过点C时k最大，据此可得出结论．
∵△ABC是直角三角形，∴当反比例函数经过点A时k最小，经过点C时k最大，
∴k最小=1×2=2，k最大=4×4=1，∴2≤k≤1．故选C．
6、C
【分析】由抛物线开口方向可得到a＞0；由抛物线过原点得c=0；根据顶点坐标可得到函数的最小值为-3；根据当x＜0时，抛物线都在x轴上方，可得y＞0；由图示知：0＜x＜2，y随x的增大而减小；
【详解】解：①由函数图象开口向上可知，，故此选项正确；
②由函数的图像与轴的交点在可知，，故此选项正确；
③由函数的图像的顶点在可知，函数的最小值为，故此选项正确；
④因为函数的对称轴为，与轴的一个交点为，则与轴的另一个交点为，所以当时，，故此选项正确；
⑤由图像可知，当时，随着的值增大而减小，所以当时，，故此选项错误；
其中正确信息的有①②③④．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=，；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2-4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2-4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2-4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．
7、B
【解析】试题分析：当x=0时y=6，x=1时y=6，x=﹣2时y=0，
可得，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+6=﹣（x﹣）2+，
当x=0时y=6，
∴抛物线与y轴的交点为（0，6），故①正确；
抛物线的对称轴为x=，故②不正确；
当x=3时，y=﹣9+3+6=0，
∴抛物线过点（3，0），故③正确；
∵抛物线开口向下，
∴在对称轴左侧y随x的增大而增大，故④正确；
综上可知正确的个数为3个，
故选B．
考点：二次函数的性质．
8、B
【解析】试题分析：画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中甲站在中间的结果数为2，所以甲站在中间的概率==．故选B．
考点：列表法与树状图法．
9、B
【解析】因为三角形ABC和三角形AB′C′均为直角三角形，且BC、B′C′都是我们所要求角的对边，所以根据正弦来解题，求出∠CAB，进而得出∠C′AB′的度数，然后可以求出鱼线B'C'长度．
【详解】解：∵sin∠CAB＝
∴∠CAB＝45°．
∵∠C′AC＝15°，
∴∠C′AB′＝60°．
∴sin60°＝，
解得：B′C′＝3．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了解直角三角形的应用，解本题的关键是把实际问题转化为数学问题．
10、D
【分析】根据菱形和矩形都是平行四边形，都具备平行四边形性质，再结合菱形及矩形的性质，对各选项进行判断即可．
【详解】解：因为菱形和矩形都是平行四边形，都具备平行四边形性质，即对边平行而且相等，对角相等，对角线互相平分．
、对边平行且相等是菱形矩形都具有的性质，故此选项错误；
、对角相等是菱形矩形都具有的性质，故此选项错误；
、对角线互相平分是菱形矩形都具有的性质，故此选项错误；
、对角线互相垂直是菱形具有而矩形不具有的性质，故此选项正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行四边形、矩形及菱形的性质，属于基础知识考查题，同学们需要掌握常见几种特殊图形的性质及特点．
11、B
【解析】分析：首先根据AC=1，C点所表示的数为x，求出A表示的数是多少，然后根据OA=OB，求出B点所表示的数是多少即可．
详解：∵AC=1，C点所表示的数为x，
∴A点表示的数是x﹣1，
又∵OA=OB，
∴B点和A点表示的数互为相反数，
∴B点所表示的数是﹣（x﹣1）．
故选B．
点睛：此题主要考查了在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征和应用，要熟练掌握．
12、A
【分析】由抛物线y＝−2x2得到顶点坐标为（0，0），而平移后抛物线y＝−2（x+1）2−3的顶点坐标为（−1，−3），根据顶点坐标的变化寻找平移方法．
【详解】根据抛物线y＝−2x2得到顶点坐标为（0，0），
而平移后抛物线y＝−2（x+1）2−3的顶点坐标为（−1，−3），
∴平移方法为：向左平移1个单位，再向下平移3个单位．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了抛物线的平移，熟练掌握相关概念是解题关键.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、1
【分析】先根据勾股定理求出斜边AB的长，然后根据直角三角形内切圆的半径公式：（其中a、b为直角三角形的直角边、c为直角三角形的斜边）计算即可．
【详解】解：在中，，，，
根据勾股定理可得：
∴内切圆的半径是
故答案为：1．
【点睛】
此题考查的是求直角三角形内切圆的半径，掌握直角三角形内切圆的半径公式：（其中a、b为直角三角形的直角边、c为直角三角形的斜边）是解决此题的关键．
14、
【分析】先列出第一次降价后售价的代数式，再根据第一次的售价列出第二次降价后售价的代数式，然后根据已知条件即可列出方程．
【详解】依题意得：第一次降价后售价为：2370（1-x），
则第二次降价后的售价为：2370（1-x）（1-x）=2370（1-x）2，
故．
故答案为．
【点睛】
此题考查一元二次方程的运用，解题关键在于要注意题意指明的是降价，应该是1-x而不是1+x．
15、30
【分析】根据锐角三角函数值即可得出角度.
【详解】∵，为锐角
∴=30°
故答案为30.
【点睛】
此题主要考查根据锐角三角函数值求角度，熟练掌握，即可解题.
16、＞
【分析】根据二次函数的性质，可以判断y1，y2的大小关系，本题得以解决．
【详解】∵二次函数，
∴当x＜0时，y随x的增大而增大，
∵点在二次函数的图象上，
∵-1＞-2，
∴＞，
故答案为：＞．
【点睛】
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
17、k＞
【解析】据题意可知方程没有实数根，则有△=b2-4ac＜0，然后解得这个不等式求得k的取值范围即可．
【详解】∵关于x的方程x2-5x+k=0没有实数根，
∴△＜0，即△=25-4k＜0，
∴k＞，
故答案为：k＞．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根的判别式（△=b2-4ac）判断方程的根的情况：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有：当△＜0时，方程无实数根．基础题型比较简单．
18、1．
【解析】分析：根据同一时刻物高与影长成比例，列出比例式再代入数据计算即可．
详解：∵==，解得：旗杆的高度=×30=1．
故答案为1．
点睛：本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立数学模型来解决问题．
三、解答题（共78分）
19、（1）n的值为﹣3或1；（2）①t＝2±或﹣4或0，②﹣2﹣≤k≤﹣2；（3）当n＝0，n＝5，1＜n＜3时，矩形ABCD的边与图象G有且只有三个公共点．
【分析】（1）先确定图像G2的顶点坐标和解析式，然后就P分别在图象G1和G2上两种情况讨论求解即可；
（2）①先分别求出图象G1和G2的解析式，然后就P分别在图象G1和G2上两种情况讨论求解即可；
②结合图像如图1，即可确定k的取值范围；
（3）结合图像如图2，根据分n的取值范围分类讨论即可求解．
【详解】（1）∵抛物线y＝x2﹣4x+n＝（x﹣2）2+n﹣4，
∴顶点坐标为（2，n﹣4），
∵将G1绕坐标原点旋转180°得到图象G2，
∴图象G2的顶点坐标为（﹣2，﹣n+4），
∴图象G2的解析式为：y＝﹣（x+2）2+4﹣n，
若点P（﹣1，2）在图象G1上，
∴2＝9+n﹣4，
∴n＝﹣3；
若点P（﹣1，2）在图象G2上，
∴2＝﹣1+4﹣n，
∴n＝1；
综上所述：点P（﹣1，2）在图象G上，n的值为﹣3或1；
（2）①当n＝﹣1时，则图象G1的解析式为：y＝（x﹣2）2﹣5，图象G2的解析式为：y＝﹣（x+2）2+5，
若点Q（t，1）在图象G1上，
∴1＝（t﹣2）2﹣5，
∴t＝2±，
若点Q（t，1）在图象G2上，
∴1＝﹣（t+2）2+5，
∴t1＝﹣4，t2＝0
②如图1，
当x＝2时，y＝﹣5，当x＝﹣2时，y＝5，
对于图象G1，在y轴右侧，当y＝5时，则5＝（x﹣2）2﹣5，
∴x＝2+＞3，
对于图象G2，在y轴左侧，当y＝﹣5时，则﹣5＝﹣（x+2）2+5，
∴x＝﹣2﹣，
∵当k≤x≤3（k＜3）时，图象G对应函数的最大值为5，最小值为﹣5，
∴﹣2﹣≤k≤﹣2；
（3）如图2，
∵图象G2的解析式为：y＝﹣（x+2）2+4﹣n，图象G1的解析式为：y＝（x﹣2）2+n﹣4，
∴图象G2的顶点坐标为（﹣2，﹣n+4），与y轴交点为（0，﹣n），图象G1的顶点坐标为（2，n﹣4），与y轴交点为（0，n），
当n≤﹣1时，图象G1与矩形ABCD最多1个交点，图象G2与矩形ABCD最多1交点，
当﹣1＜n＜0时，图象G1与矩形ABCD有1个交点，图象G2与矩形ABCD有3交点，
当n＝0时，图象G1与矩形ABCD有1个交点，图象G2与矩形ABCD有2交点，共三个交点，
当0＜n≤1时，图象G1与矩形ABCD有1个交点，图象G2与矩形ABCD有1交点，
当1＜n＜3时，图象G1与矩形ABCD有1个交点，图象G2与矩形ABCD有2交点，共三个交点，
当3≤n＜7时，图象G1与矩形ABCD有2个交点，当3≤n＜5时，图象G2与矩形ABCD有2个交点，n＝5时，图象G2与矩形ABCD有1个交点，n＞5时，没有交点，
∵矩形ABCD的边与图象G有且只有三个公共点，
∴n＝5，
当n≥7时，图象G1与矩形ABCD最多1个交点，图象G2与矩形ABCD没有交点，
综上所述：当n＝0，n＝5，1＜n＜3时，矩形ABCD的边与图象G有且只有三个公共点．
【点睛】
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数图像的性质、二次函数的解析式以及二次函数图像上的点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键.
20、x1＝1，x2＝
【分析】首先把系数化为1，移项，把常数项移到等号的右侧，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数的一半，即可使左边是完全平方公式，右边是常数项，即可求解．
【详解】3x2﹣4x+1＝1
3（x2﹣x）+1＝1
（x﹣）2＝
∴x﹣＝±
∴x1＝1，x2＝
【点睛】
本题考查解一元二次方程的方法，解题的关键是熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤．
21、（1）详见解析；（2）；（3）
【分析】(1) 如图所示，连接OD．由题意可知∠A=∠B=∠C=60°,则OD=OB,可以证明△OBD为等边三角形,易得∠C=∠ODB=60°,再运用平行线的性质和判定以及等量代换即可完成解答.
(2)先说明OD为△ABC的中位线，得到BD=CD=6.在Rt△CDF中，由∠C=60°，得∠CDF=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得CF=CD,则AF=AC-CF=2,最后在Rt△AFG中，根据正弦的定义即可解答；
（3）作DH⊥FG，CD=6，CF=3，DF=3,FH=，DH=,最后根据三角形的面积公式解答即可．
【详解】解：（1）如图所示，连接OD.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°
∵OD=OB
∴△OBD为等边三角形，
∴∠C=∠ODB=60°，
∴AC∥OD，
∴∠CFD=∠FDO，
∵DF⊥AC，
∴∠CFD=∠FDO=20°，
∴DF是⊙O的切线
（2）因为点O是AB的中点，则OD是△ABC的中位线．
∵△ABC是等边三角形，AB=1，
∴AB= AC= BC= 1， CD=BD=BC=6
∵∠C=60°，∠CFD=20°，
∴∠CDF=30°，同理可得∠AFG=30°，
∴CF=CD=3
∴AF=1-3=2．
∴．
（3）作DH⊥FG，CD=6，CF=3，DF=3
∴FH=，DH=
∴△FDG的面积为DHFG=
【点睛】
本题考查了切线的性质、等边三角形的性质以及解直角三角形等知识，连接圆心与切点的半径是解决问题的常用方法．
22、（1）；；（2）．
【分析】（1）去括号整理后利用因式分解法解方程即可；
（2）直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．
【详解】(1)去括号得：
移项合并得：
因式分解得：
即：或
∴；
(2)
．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-因式分解法，特殊角的三角函数值，正确分解因式、熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
23、4米
【分析】由题意过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F，并利用解直角三角形进行分析求解即可.
【详解】解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F．
由题意得，AB=57，DE=30，∠A=37°，∠DCF=45°．
在Rt△ADE中，∠AED=90°，
∴tan37°=≈0.1．
∴AE=2．
∵AB=57，
∴BE=3．
∵四边形BCFE是矩形，
∴CF=BE=3．
在Rt△DCF中，∠DFC=90°，
∴∠CDF=∠DCF=45°．
∴DF=CF=3．
∴BC=EF=30－3=4．
答：教学楼BC高约4米．
【点睛】
本题考查解直角三角形得的实际应用，利用解直角三角形相关结合锐角三角函数进行分析.
24、（1）详见解析；（2）99或2．
【解析】（1）首先由题意可得a+c=b，将欢喜数展开，因为要证明“欢喜数”能被99整除，所以将展开式中100a拆成99a+a，这样展开式中出现了a+c，将a+c用b替代，整理出最终结果即可；
（2）首先设出两个欢喜数m、n，表示出F（m）、F（n）代入F（m）﹣F（n）=3中，将式子变形分析得出最终结果即可.
【详解】（1）证明：∵为欢喜数，
∴a+c=b．
∵=100a+10b+c=99a+10b+a+c=99a+11b，b能被9整除，
∴11b能被99整除，99a能被99整除，
∴“欢喜数”能被99整除；
（2）设m=，n=（且a1＞a2），
∵F（m）﹣F（n）=a1•c1﹣a2•c2=a1•（b﹣a1）﹣a2（b﹣a2）=（a1﹣a2）（b﹣a1﹣a2）=3，a1、a2、b均为整数，
∴a1﹣a2=1或a1﹣a2=3．
∵m﹣n=100（a1﹣a2）﹣（a1﹣a2）=99（a1﹣a2），
∴m﹣n=99或m﹣n=2．
∴若F（m）﹣F（n）=3，则m﹣n的值为99或2．
【点睛】
做此类阅读理解类题目首先要充分理解题目，会运用因式分解将式子变形.
25、（1）证明见解析；（2）α=50°；（3）40°＜α＜90°．
【解析】（1）根据AAS即可证明△APM≌△BPN；
（2）由（1）中的全等得：MN=2PN，所以PN=BN，由等边对等角可得结论；
（3）三角形的外心是外接圆的圆心，三边垂直平分线的交点，直角三角形的外心在直角顶点上，钝角三角形的外心在三角形的外部，只有锐角三角形的外心在三角形的内部，所以根据题中的要求可知：△BPN是锐角三角形，由三角形的内角和可得结论．
【详解】（1）∵P是AB的中点，
∴PA=PB，
在△APM和△BPN中，
，
∴△APM≌△BPN；
（2）由（1）得：△APM≌△BPN，
∴PM=PN，
∴MN=2PN，
∵MN=2BN，
∴BN=PN，
∴α=∠B=50°；
（3）∵△BPN的外心在该三角形的内部，
∴△BPN是锐角三角形，
∵∠B=50°，
∴40°＜∠BPN＜90°，即40°＜α＜90°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外接圆圆心的位置等，综合性较强，难度适中，解题的关键是熟练掌握三角形外心的位置.
26、王老师购买该奖品的件数为40件．
【解析】试题分析：根据题意首先表示出每件商品的价格，进而得出购买商品的总钱数，进而得出等式求出答案．
试题解析：∵30×40=1200＜1400，
∴奖品数超过了30件，
设总数为x件，则每件商品的价格为：[40﹣（x﹣30）×0.5]元，根据题意可得：
x[40﹣（x﹣30）×0.5]=1400，
解得：x1=40，x2=70，
∵x=70时，40﹣（70﹣30）×0.5=20＜30，
∴x=70不合题意舍去，
答：王老师购买该奖品的件数为40件．
考点：一元二次方程的应用．
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