2022-2023学年福建省厦门双十思明分校九年级数学第一学期期末质量跟踪监视模拟试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的中点，CD与BE交于点O，则S△DOE:S△BOC的值为（　　）

A． B． C． D．
2．点点同学对数据25,43,28,2□,43,36,52进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数被墨水涂污看不到了，则计算结果与涂污数字无关的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数
3．如图所示，∆ABC的顶点在正方形网格的格点上，则cosB=( )

A． B． C． D．
4．如图，在平直角坐标系中，过轴正半轴上任意一点作轴的平行线，分别交函数、的图象于点、点.若是轴上任意一点，则的面积为( )

A．9 B．6 C． D．3
5．如图，△ABC的三个顶点分别为A(1，2)、B(4，2)、C(4，4)．若反比例函数y＝在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是(　　)

A．1≤k≤4 B．2≤k≤8 C．2≤k≤16 D．8≤k≤16
6．二次函数的图像如图所示，下面结论：①；②；③函数的最小值为；④当时，；⑤当时，（、分别是、对应的函数值）．正确的个数为（ ）

A． B． C． D．
7．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：
x

…

﹣3

﹣2

﹣1

0

1

…

y

…

﹣6

0

4

6

6

…

给出下列说法：
①抛物线与y轴的交点为（0，6）；
②抛物线的对称轴在y轴的左侧；
③抛物线一定经过（3，0）点；
④在对称轴左侧y随x的增大而减增大．
从表中可知，其中正确的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．甲、乙、丙三人站成一排拍照，则甲站在中间的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．如图钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长3m，钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC逆时针转动15°到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'长度是（　　）

A．3m B． m C． m D．4m
10．菱形具有而矩形不具有的性质是（ ）
A．对边相等 B．对角相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
11．如图为O、A、B、C四点在数线上的位置图，其中O为原点，且AC=1，OA=OB，若C点所表示的数为x，则B点所表示的数与下列何者相等？（　　）

A．﹣（x+1） B．﹣（x﹣1） C．x+1 D．x﹣1
12．抛物线y＝﹣2x2经过平移得到y＝﹣2（x+1）2﹣3，平移方法是（　　）
A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 B．向左平移1个单位，再向上平移3个单位
C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 D．向右平移1个单位，再向上平移3个单位
二、填空题（每题4分，共24分）
13．在中，，，，则内切圆的半径是__________．
14．某型号的冰箱连续两次降价，每台售价由原来的2370元降到了1160元，若设平均每次降价的百分率为，则可列出的方程是________________
15．已知为锐角，且，则度数等于______度.
16．，两点都在二次函数的图像上，则的大小关系是____________．
17．如果关于x的方程x2﹣5x+k=0没有实数根，那么k的值为________
18．某一时刻，测得一根高1.5m的竹竿在阳光下的影长为2.5m．同时测得旗杆在阳光下的影长为30m，则旗杆的高为__________m．
三、解答题（共78分）
19．（8分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x+n（x＞0）的图象记为G1，将G1绕坐标原点旋转180°得到图象G2，图象G1和G2合起来记为图象G．
（1）若点P（﹣1，2）在图象G上，求n的值．
（2）当n＝﹣1时．
①若Q（t，1）在图象G上，求t的值．
②当k≤x≤3（k＜3）时，图象G对应函数的最大值为5，最小值为﹣5，直接写出k的取值范围．
（3）当以A（﹣3，3）、B（﹣3，﹣1）、C（2，﹣1）、D（2，3）为顶点的矩形ABCD的边与图象G有且只有三个公共点时，直接写出n的取值范围．
20．（8分）解方程：3x2﹣4x+1＝1．（用配方法解）
21．（8分）如图，已知等边△ABC，AB＝1．以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连结GD．

(1)求证：DF是⊙O的切线；
(2)求FG的长；
(3)求△FDG的面积．
22．（10分）按要求解答下列各小题．
（1）解方程：；
（2）计算：．
23．（10分）某无人机兴趣小组在操场上开展活动（如图），此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为37°，测得点C处的俯角为45°．又经过人工测量操控者A和教学楼BC距离为57米，求教学楼BC的高度．（注：点A,B,C,D都在同一平面上．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

24．（10分）先阅读下列材料，然后解后面的问题．
材料：一个三位自然数 （百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c），若满足a+c=b，则称这个三位数为“欢喜数”，并规定F（）=ac．如374，因为它的百位上数字3与个位数字4之和等于十位上的数字7，所以374是“欢喜数”，∴F（374）=3×4=1．
（1）对于“欢喜数”，若满足b能被9整除，求证：“欢喜数”能被99整除；
（2）已知有两个十位数字相同的“欢喜数”m，n（m＞n），若F（m）﹣F（n）=3，求m﹣n的值．
25．（12分）如图，∠A=∠B=50°，P为AB中点，点M为射线AC上（不与点A重合）的任意点，连接MP，并使MP的延长线交射线BD于点N，设∠BPN=α．
（1）求证：△APM≌△BPN；
（2）当MN=2BN时，求α的度数；
（3）若△BPN的外心在该三角形的内部，直接写出α的取值范围．

26．学校为奖励“汉字听写大赛”的优秀学生，派王老师到商店购买某种奖品，他看到如表所示的关于该奖品的销售信息，便用1400元买回了奖品，求王老师购买该奖品的件数.
购买件数
销售价格
不超过30件
单价40元
超过30件
每多买1件，购买的所有物品单价将降低0.5元，但单价不得低于30元

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【分析】DE为△ABC的中位线，则DE∥BC，DE＝BC，再证明△ODE∽△OCB，由相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：∵点D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∴∠ODE＝∠OCB，∠OED＝∠OBC，
∴△ODE∽△OCB，
∴，
故选：C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理，熟练掌握相似三角形的性质定理是解题的关键．
2、B
【分析】利用平均数、中位数、方差和标准差的定义对各选项进行判断．
【详解】这组数据的平均数、方差和标准差都与第4个数有关，
而这组数据从小到大排序后，位于中间位置的数是36，与十位数字是2个位数字未知的两位数无关，
∴计算结果与涂污数字无关的是中位数．
故选：B．
【点睛】
本题考查了标准差：样本方差的算术平方根表示样本的标准差，它也描述了数据对平均数的离散程度．也考查了中位数、平均数．
3、C
【分析】先设小正方形的边长为1，再建构直角三角形，然后根据锐角三角函数的定义求解即可；
【详解】解：如图，过A作AD⊥CB于D，

设小正方形的边长为1，
则BD=AD=3，AB=
∴cos∠B=；
故选C.
【点睛】
本题主要考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，掌握锐角三角函数的定义，勾股定理是解题的关键.
4、C
【分析】连接OA、OB，利用k的几何意义即得答案.
【详解】解：连接OA、OB，如图，因为AB⊥x轴，则AB∥y轴，，， ，所以.
故选C

【点睛】
本题考查了反比例函数系数k的几何意义，属于常考题型，熟知k的几何意义是关键.
5、C
【解析】试题解析：由于△ABC是直角三角形，所以当反比例函数经过点A时k最小，进过点C时k最大，据此可得出结论．
∵△ABC是直角三角形，∴当反比例函数经过点A时k最小，经过点C时k最大，
∴k最小=1×2=2，k最大=4×4=1，∴2≤k≤1．故选C．
6、C
【分析】由抛物线开口方向可得到a＞0；由抛物线过原点得c=0；根据顶点坐标可得到函数的最小值为-3；根据当x＜0时，抛物线都在x轴上方，可得y＞0；由图示知：0＜x＜2，y随x的增大而减小；
【详解】解：①由函数图象开口向上可知，，故此选项正确；
②由函数的图像与轴的交点在可知，，故此选项正确；
③由函数的图像的顶点在可知，函数的最小值为，故此选项正确；
④因为函数的对称轴为，与轴的一个交点为，则与轴的另一个交点为，所以当时，，故此选项正确；
⑤由图像可知，当时，随着的值增大而减小，所以当时，，故此选项错误；
其中正确信息的有①②③④．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=，；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2-4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2-4ac0，抛物线与x轴有一个交点；当b2-4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．
7、B
【解析】试题分析：当x=0时y=6，x=1时y=6，x=﹣2时y=0，
可得，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+6=﹣（x﹣）2+，
当x=0时y=6，
∴抛物线与y轴的交点为（0，6），故①正确；
抛物线的对称轴为x=，故②不正确；
当x=3时，y=﹣9+3+6=0，
∴抛物线过点（3，0），故③正确；
∵抛物线开口向下，
∴在对称轴左侧y随x的增大而增大，故④正确；
综上可知正确的个数为3个，
故选B．
考点：二次函数的性质．
8、B
【解析】试题分析：画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中甲站在中间的结果数为2，所以甲站在中间的概率==．故选B．

考点：列表法与树状图法．
9、B
【解析】因为三角形ABC和三角形AB′C′均为直角三角形，且BC、B′C′都是我们所要求角的对边，所以根据正弦来解题，求出∠CAB，进而得出∠C′AB′的度数，然后可以求出鱼线B'C'长度．
【详解】解：∵sin∠CAB＝
∴∠CAB＝45°．
∵∠C′AC＝15°，
∴∠C′AB′＝60°．
∴sin60°＝，
解得：B′C′＝3．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了解直角三角形的应用，解本题的关键是把实际问题转化为数学问题．
10、D
【分析】根据菱形和矩形都是平行四边形，都具备平行四边形性质，再结合菱形及矩形的性质，对各选项进行判断即可．
【详解】解：因为菱形和矩形都是平行四边形，都具备平行四边形性质，即对边平行而且相等，对角相等，对角线互相平分．
、对边平行且相等是菱形矩形都具有的性质，故此选项错误；
、对角相等是菱形矩形都具有的性质，故此选项错误；
、对角线互相平分是菱形矩形都具有的性质，故此选项错误；
、对角线互相垂直是菱形具有而矩形不具有的性质，故此选项正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行四边形、矩形及菱形的性质，属于基础知识考查题，同学们需要掌握常见几种特殊图形的性质及特点．
11、B
【解析】分析：首先根据AC=1，C点所表示的数为x，求出A表示的数是多少，然后根据OA=OB，求出B点所表示的数是多少即可．
详解：∵AC=1，C点所表示的数为x，
∴A点表示的数是x﹣1，
又∵OA=OB，
∴B点和A点表示的数互为相反数，
∴B点所表示的数是﹣（x﹣1）．
故选B．
点睛：此题主要考查了在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征和应用，要熟练掌握．
12、A
【分析】由抛物线y＝−2x2得到顶点坐标为（0，0），而平移后抛物线y＝−2（x+1）2−3的顶点坐标为（−1，−3），根据顶点坐标的变化寻找平移方法．
【详解】根据抛物线y＝−2x2得到顶点坐标为（0，0），
而平移后抛物线y＝−2（x+1）2−3的顶点坐标为（−1，−3），
∴平移方法为：向左平移1个单位，再向下平移3个单位．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了抛物线的平移，熟练掌握相关概念是解题关键.

二、填空题（每题4分，共24分）
13、1
【分析】先根据勾股定理求出斜边AB的长，然后根据直角三角形内切圆的半径公式：（其中a、b为直角三角形的直角边、c为直角三角形的斜边）计算即可．
【详解】解：在中，，，，
根据勾股定理可得：
∴内切圆的半径是
故答案为：1．
【点睛】
此题考查的是求直角三角形内切圆的半径，掌握直角三角形内切圆的半径公式：（其中a、b为直角三角形的直角边、c为直角三角形的斜边）是解决此题的关键．
14、
【分析】先列出第一次降价后售价的代数式，再根据第一次的售价列出第二次降价后售价的代数式，然后根据已知条件即可列出方程．
【详解】依题意得：第一次降价后售价为：2370（1-x），
则第二次降价后的售价为：2370（1-x）（1-x）=2370（1-x）2，
故．
故答案为．
【点睛】
此题考查一元二次方程的运用，解题关键在于要注意题意指明的是降价，应该是1-x而不是1+x．
15、30
【分析】根据锐角三角函数值即可得出角度.
【详解】∵，为锐角
∴=30°
故答案为30.
【点睛】
此题主要考查根据锐角三角函数值求角度，熟练掌握，即可解题.
16、＞
【分析】根据二次函数的性质，可以判断y1，y2的大小关系，本题得以解决．
【详解】∵二次函数，
∴当x＜0时，y随x的增大而增大，
∵点在二次函数的图象上，
∵-1＞-2，
∴＞，
故答案为：＞．
【点睛】
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
17、k＞
【解析】据题意可知方程没有实数根，则有△=b2-4ac＜0，然后解得这个不等式求得k的取值范围即可．
【详解】∵关于x的方程x2-5x+k=0没有实数根，
∴△＜0，即△=25-4k＜0，
∴k＞，
故答案为：k＞．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根的判别式（△=b2-4ac）判断方程的根的情况：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有：当△＜0时，方程无实数根．基础题型比较简单．
18、1．
【解析】分析：根据同一时刻物高与影长成比例，列出比例式再代入数据计算即可．
详解：∵==，解得：旗杆的高度=×30=1．
故答案为1．
点睛：本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立数学模型来解决问题．

三、解答题（共78分）
19、（1）n的值为﹣3或1；（2）①t＝2±或﹣4或0，②﹣2﹣≤k≤﹣2；（3）当n＝0，n＝5，1＜n＜3时，矩形ABCD的边与图象G有且只有三个公共点．
【分析】（1）先确定图像G2的顶点坐标和解析式，然后就P分别在图象G1和G2上两种情况讨论求解即可；
（2）①先分别求出图象G1和G2的解析式，然后就P分别在图象G1和G2上两种情况讨论求解即可；
②结合图像如图1，即可确定k的取值范围；
（3）结合图像如图2，根据分n的取值范围分类讨论即可求解．
【详解】（1）∵抛物线y＝x2﹣4x+n＝（x﹣2）2+n﹣4，
∴顶点坐标为（2，n﹣4），
∵将G1绕坐标原点旋转180°得到图象G2，
∴图象G2的顶点坐标为（﹣2，﹣n+4），
∴图象G2的解析式为：y＝﹣（x+2）2+4﹣n，
若点P（﹣1，2）在图象G1上，
∴2＝9+n﹣4，
∴n＝﹣3；
若点P（﹣1，2）在图象G2上，
∴2＝﹣1+4﹣n，
∴n＝1；
综上所述：点P（﹣1，2）在图象G上，n的值为﹣3或1；
（2）①当n＝﹣1时，则图象G1的解析式为：y＝（x﹣2）2﹣5，图象G2的解析式为：y＝﹣（x+2）2+5，
若点Q（t，1）在图象G1上，
∴1＝（t﹣2）2﹣5，
∴t＝2±，
若点Q（t，1）在图象G2上，
∴1＝﹣（t+2）2+5，
∴t1＝﹣4，t2＝0
②如图1，

当x＝2时y＝﹣5，当x＝﹣2时，y＝5，
对于图象G1，在y轴右侧，当y＝5时，则5＝（x﹣2）2﹣5，
∴x＝2+＞3，
对于图象G2，在y轴左侧，当y＝﹣5时，则﹣5＝﹣（x+2）2+5，
∴x＝﹣2﹣，
∵当k≤x≤3（k＜3）时，图象G对应函数的最大值为5，最小值为﹣5，
∴﹣2﹣≤k≤﹣2；
（3）如图2，

∵图象G2的解析式为：y＝﹣（x+2）2+4﹣n，图象G1的解析式为：y＝（x﹣2）2+n﹣4，
∴图象G2的顶点坐标为（﹣2，﹣n+4），与y轴交点为（0，﹣n），图象G1的顶点坐标为（2，n﹣4），与y轴交点为（0，n），
当n≤﹣1时，图象G1与矩形ABCD最多1个交点，图象G2与矩形ABCD最多1交点，
当﹣1＜n＜0时，图象G1与矩形ABCD有1个交点，图象G2与矩形ABCD有3交点，
当n＝0时，图象G1与矩形ABCD有1个交点，图象G2与矩形ABCD有2交点，共三个交点，
当0＜n≤1时，图象G1与矩形ABCD有1个交点，图象G2与矩形ABCD有1交点，
当1＜n＜3时，图象G1与矩形ABCD有1个交点，图象G2与矩形ABCD有2交点，共三个交点，
当3≤n＜7时，图象G1与矩形ABCD有2个交点，当3≤n＜5时，图象G2与矩形ABCD有2个交点，n＝5时，图象G2与矩形ABCD有1个交点，n＞5时，没有交点，
∵矩形ABCD的边与图象G有且只有三个公共点，
∴n＝5，
当n≥7时，图象G1与矩形ABCD最多1个交点，图象G2与矩形ABCD没有交点，
综上所述：当n＝0，n＝5，1＜n＜3时，矩形ABCD的边与图象G有且只有三个公共点．
【点睛】
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数图像的性质、二次函数的解析式以及二次函数图像上的点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键.
20、x1＝1，x2＝
【分析】首先把系数化为1，移项，把常数项移到等号的右侧，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数的一半，即可使左边是完全平方公式，右边是常数项，即可求解．
【详解】3x2﹣4x+1＝1
3（x2﹣x）+1＝1
（x﹣）2＝
∴x﹣＝±
∴x1＝1，x2＝
【点睛】
本题考查解一元二次方程的方法，解题的关键是熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤．
21、（1）详见解析；（2）；（3）
【分析】(1) 如图所示，连接OD．由题意可知∠A=∠B=∠C=60°,则OD=OB,可以证明△OBD为等边三角形,易得∠C=∠ODB=60°,再运用平行线的性质和判定以及等量代换即可完成解答.
(2)先说明OD为△ABC的中位线，得到BD=CD=6.在Rt△CDF中，由∠C=60°，得∠CDF=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得CF=CD,则AF=AC-CF=2,最后在Rt△AFG中，根据正弦的定义即可解答；
（3）作DH⊥FG，CD=6，CF=3，DF=3,FH=，DH=,最后根据三角形的面积公式解答即可．
【详解】解：（1）如图所示，连接OD.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°
∵OD=OB
∴△OBD为等边三角形，
∴∠C=∠ODB=60°，
∴AC∥OD，
∴∠CFD=∠FDO，
∵DF⊥AC，
∴∠CFD=∠FDO=20°，
∴DF是⊙O的切线

（2）因为点O是AB的中点，则OD是△ABC的中位线．
∵△ABC是等边三角形，AB=1，
∴AB= AC= BC= 1， CD=BD=BC=6
∵∠C=60°，∠CFD=20°，
∴∠CDF=30°，同理可得∠AFG=30°，
∴CF=CD=3
∴AF=1-3=2．
∴．
（3）作DH⊥FG，CD=6，CF=3，DF=3
∴FH=，DH=
∴△FDG的面积为DHFG=

【点睛】
本题考查了切线的性质、等边三角形的性质以及解直角三角形等知识，连接圆心与切点的半径是解决问题的常用方法．
22、（1）；；（2）．
【分析】（1）去括号整理后利用因式分解法解方程即可；
（2）直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．
【详解】(1)去括号得：
移项合并得：
因式分解得：
即：或
∴；
(2)

．
点睛】
本题考查了解一元二次方程-因式分解法，特殊角的三角函数值，正确分解因式、熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
23、4米
【分析】由题意过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F，并利用解直角三角形进行分析求解即可.
【详解】解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F．

由题意得，AB=57，DE=30，∠A=37°，∠DCF=45°．
在Rt△ADE中，∠AED=90°，
∴tan37°=≈0.1．
∴AE=2．
∵AB=57，
∴BE=3．
∵四边形BCFE是矩形，
∴CF=BE=3．
在Rt△DCF中，∠DFC=90°，
∴∠CDF=∠DCF=45°．
∴DF=CF=3．
∴BC=EF=30－3=4．
答：教学楼BC高约4米．
【点睛】
本题考查解直角三角形得的实际应用，利用解直角三角形相关结合锐角三角函数进行分析.
24、（1）详见解析；（2）99或2．
【解析】（1）首先由题意可得a+c=b，将欢喜数展开，因为要证明“欢喜数”能被99整除，所以将展开式中100a拆成99a+a，这样展开式中出现了a+c，将a+c用b替代，整理出最终结果即可；
（2）首先设出两个欢喜数m、n，表示出F（m）、F（n）代入F（m）﹣F（n）=3中，将式子变形分析得出最终结果即可.
【详解】（1）证明：∵为欢喜数，
∴a+c=b．
∵=100a+10b+c=99a+10b+a+c=99a+11b，b能被9整除，
∴11b能被99整除，99a能被99整除，
∴“欢喜数”能被99整除；
（2）设m=，n=（且a1＞a2），
∵F（m）﹣F（n）=a1•c1﹣a2•c2=a1•（b﹣a1）﹣a2（b﹣a2）=（a1﹣a2）（b﹣a1﹣a2）=3，a1、a2、b均为整数，
∴a1﹣a2=1或a1﹣a2=3．
∵m﹣n=100（a1﹣a2）﹣（a1﹣a2）=99（a1﹣a2），
∴m﹣n=99或m﹣n=2．
∴若F（m）﹣F（n）=3，则m﹣n的值为99或2．
【点睛】
做此类阅读理解类题目首先要充分理解题目，会运用因式分解将式子变形.
25、（1）证明见解析；（2）α=50°；（3）40°＜α＜90°．
【解析】（1）根据AAS即可证明△APM≌△BPN；
（2）由（1）中的全等得：MN=2PN，所以PN=BN，由等边对等角可得结论；
（3）三角形的外心是外接圆的圆心，三边垂直平分线的交点，直角三角形的外心在直角顶点上，钝角三角形的外心在三角形的外部，只有锐角三角形的外心在三角形的内部，所以根据题中的要求可知：△BPN是锐角三角形，由三角形的内角和可得结论．
【详解】（1）∵P是AB的中点，
∴PA=PB，
在△APM和△BPN中，
，
∴△APM≌△BPN；
（2）由（1）得：△APM≌△BPN，
∴PM=PN，
∴MN=2PN，
∵MN=2BN，
∴BN=PN，
∴α=∠B=50°；
（3）∵△BPN的外心在该三角形的内部，
∴△BPN是锐角三角形，
∵∠B=50°，
∴40°＜∠BPN＜90°，即40°＜α＜90°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外接圆圆心的位置等，综合性较强，难度适中，解题的关键是熟练掌握三角形外心的位置.
26、王老师购买该奖品的件数为40件．
【解析】试题分析：根据题意首先表示出每件商品的价格，进而得出购买商品的总钱数，进而得出等式求出答案．
试题解析：∵30×40=1200＜1400，
∴奖品数超过了30件，
设总数为x件，则每件商品的价格为：[40﹣（x﹣30）×0.5]元，根据题意可得：
x[40﹣（x﹣30）×0.5]=1400，
解得：x1=40，x2=70，
∵x=70时，40﹣（70﹣30）×0.5=20＜30，
∴x=70不合题意舍去，
答：王老师购买该奖品的件数为40件．
考点：一元二次方程的应用．