高等几何试题及答案.doc

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试卷类型： A

高等几何

使用专业年级 考试方式：开卷（ ）闭卷（√） 共 6 页

题号
一
二
三
四
五
六

合计

得分

一、 填空题（每小题4分，共20分）
1、设(1)，(-1)，()为共线三点，则 。
2、写出德萨格定理的对偶命题：
。
3、若共点四直线a,b,c,d的交比为(ab,cd)=-1，则交比(ad,bc)=______。
4、平面上4个变换群，射影群，仿射群，相似群，正交群的大小关系为：
。
5、二次曲线的点坐标方程为，则其线坐标方程为是 。
二、 选择题（每小题2分，共10分）
1.下列哪个图形是仿射不变图形？( )
A.圆 B.直角三角形
C.矩形 D.平行四边形
2. 表示( )
A.以-1/4为方向的无穷远点和以1/2为方向的无穷远点
B. 以-4为方向的无穷远点和以2为方向的无穷远点
C. 以4为方向的无穷远点和以-2为方向的无穷远点
D. 以1/4为方向的无穷远点和以-1/2为方向的无穷远点
3.两个不共底且不成透视的射影点列至少可以由几次透视对应组成？( )
A.一次 B.两次
C.三次 D.四次
4.下面的名称或定理分别不属于仿射几何学有( )：
A. 三角形的垂心 B. 梯形
C.在平面内无三线共点的四条直线有六个交点 D.椭圆
5.二次曲线按射影分类总共可分为( )
A.4类 B.5类
C.6类 D.8类
三、判断题（每小题2分，共10分）
1.仿射对应不一定保持二直线的平行性。（ ）
2.两直线能把射影平面分成两个区域。（ ）
3.当正负号任意选取时，齐次坐标表示两个相异的点。（ ）
4. 在一维射影变换中，若已知一对对应元素(非自对应元素)符合对合条件，则此
射影变换一定是对合。（ ）
5.配极变换是一种非奇线性对应。（ ）
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四、作图题（8分）
已知线束中三直线a,b,c，求作直线d，使(ab,cd)=-1。（画图，写出作法过程和根据）

五、证明题（10分）
如图，设FGH是完全四点形ABCD对边三点形，过F的两直线TQ与SP分别交AB，BC，CD，DA于T，S，Q，P.试利用德萨格定理（或逆定理）证明： TS与QP的交点M在直线GH上。

六、计算题（42分）
1. （6分）平面上经过A（-3，2）和B（6，1）两点的直线被直线x+3y-6=0截于P点，求单比(ABP)

2. （6分）已知仿射平面上直线l的非齐次坐标方程为x-2y+1=0，求
（1）l的齐次坐标方程；
（2）l上无穷远点的坐标；
（3）l上无穷远点的方程。
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3. (8分)在直线上取笛氏坐标为 2，0，3的三点作为射影坐标系的P*,P0, E，(i)求此直线上任一点P的笛氏坐标x与射影坐标λ的关系；（ii）问有没有一点，它的两种坐标相等？

4. （8分）求点列上的射影变换，它将参数为1,2,3的点分别变为参数为1,3,2的点，并求出此射影变换的自对应元素的参数。

5. (6分)求由两个射影线束，，所构成的二阶曲线的方程。

6. (8分) 试求二次曲线Γ：+2x1x3-4x2x3=0的中心与渐近线。

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一、 填空题（每小题4分，共20分）
1、 1（4分）
2、 如果两个三线形对应边的交点在一条直线上，则对应顶点的连线交于一点。（4分）
3、 2（4分）
4、 射影群包含仿射群，仿射群包含相似群，相似群包含正交群（4分）
5、 （4分）
二、 选择题（每小题2分，共10分）
1.( D),2.( C),3.(B),4.( A),5.( B)
三、 判断题（每小题2分，共10分）
1.( ×),2.( √),3.( ×),4.( √),5.( √)
四、 作图题（8分）

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页
共
4
页

作法过程：
1、设a,b,c交于点A，在c上任取一点C, （2分）
2、过C点作两直线分别与a交于B、E，与b交于F，D，（2分）
3、BD与EF交于G,4、AG即为所求的d。（2分）
根据：完全四点形的调和共轭性（2分）
五、 证明题（10分）
证明： 在三点形BTS与三点形DQP中（4分）
对应顶点的连线BD,TQ,SP三线共点，（2分）
由德萨格定理的逆定理知，（2分）
对应边的交点BT与DQ的交点G，TS与QP的交点M以及BS与DP的交点H三点共线，即TS与QP的交点M在直线GH上。（2分）
六、计算题（42分）
1. （6分）
解：设P点的坐标为（x0，yo）
（分割比）， （2分）

且P在直线x+3y-6=0上，

解得λ=1， （2分）
即P是AB中点，且（ABP）=－1 （2分）

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1. （6分）
（1） （2分）
（2）（1，1/2，0） （2分）
（3） （2分）
2. (8分)
解：笛氏坐标 0 2 3 x
射影坐标： P* P0 E λ
（i）由定义 λ=（P*P0，EP）=（2 0，3x）=
（4分）

(ii) 若有一点它的两种坐标相等，即x=λ则有，即3x2－7x=0，
∴当x=0及x=时两种坐标相等。 （4分）
3. （8分）
设射影变换的方程为： （2分）
由题意知：a+,
,6a+3b+2c+d=0
得到：
故射影变换方程为： （4分）
二重元素满足： 得=7/3或=1 （2分）
（6分）
解：由题意：
（2分）
由上式得： （2分）
故所求方程即为（2分）
6.(8分)
解：二次曲线的齐次方程为：x12+3x1x2-4x22+2x1x3－10x2x3=0，
∴二次曲线为常态的，
设中心

则中心为 （4分）
求渐近线方程：a11X2+2a12XY+a22Y2=0， X=x－ξ，Y=y－η。
从X2+3XY－4Y2=0 →（X+4Y）（X－Y）=0.
X+4Y=(x－)+4 (y+)=0→5x+20y+18=0， （2分）
X－Y=(x－)－(y+)=0→5x－5y－8=0。 （2分）

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