线段和最小值问题.doc

《求线段和最小值问题初探》导学案
班级 姓名
学习目标：
1.灵活掌握定理“两点之间线段最短”和“轴对称的性质”.
2.体会转化思想在数学中的应用，即化复杂问题为简单问题，化抽象问题为具体问题.
一、课本中的两点基本知识：
B
A
1、如图，一位小牧童，从A地出发，赶着牛群到B地，请问他应该选择怎样的路径，才能使牛群所走的路程最短？ 为什么？

B
.
2、小牧童，从A地出发，赶着牛群到河岸边L饮水，然后再到B地，请问怎样选择饮水的地点，才能使牛群所走的路程最短？请画出来，并说一说。
.

A

L

二、合作学习、展现精彩
变式1、利用等边三角形的对称性求线段和的最小值：
D
C
B
A
（2010•滨州中考）如图等边ΔABC中，

边长=1，E是边BC的中点，
BD是AC边上的高，在BD上确定一点，
.
使其到E、C的距离和最小，
这个最小值是 .

E

变式2、利用正方形的对称性求线段和的最小值：
如图，正方形ABCD的边长为8，
点E、F分别在AB、BC上，AE＝3，
CF＝1，P是对角线AC上的一个动点，
则PE＋PF的最小值是 .

变式3、利用圆的对称性求线段和的最小值：
（2000年•荆门中考）
如图，A是半圆上一个三等分点，
B是弧AN的中点，P是直径MN上一动点，
⊙O的半径为1，
则AP+BP的最小值是 。

变式4、利用坐标轴的对称性求线段和的最小值：
某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建一座泵水站，分别向河的同一侧的张村Q和李村P送水，工程人员设计图纸时，以河道上的大桥O为坐标原点，以河道所在的直线为X轴建立坐标系，Q（2，3），P（12，7），
泵水站建在距离大桥O多远的地方可使输水管道最短？泵水站坐标是

三、小结：
这一类型题的共同特征是：利用 和 的知识，将“不在同一直线上的线段和 ”转化为 ，从而做到化复杂为简单，化抽象为具体。

当堂检测：
变式7、利用抛物线的对称性求线段和的最小值：
x
y
B
A
C
O
（2008巩义市期末考试）
如图，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于两点A（-1，0），B（3，0）
（1）求抛物线的解析式；
（2）设1中抛物线交y轴于C点，
在抛物线的对称轴上是否存在点Q，
使得△QAC的周长最短，若存在，
求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

变式5、利用菱形的对称性求线段和的最小值：
（2001•海南中考）如图所示，
在边长为6的菱形ABCD中，
∠DAB=60°，E为AB的中点，
F是AC上一动点，
则EF+BF的最小值是 。

变式6、利用梯形的对称性求线段和的最小值：
（2005年•河南）如图，在梯形ABCD中，
AD∥BC，AB＝CD＝AD＝1，∠B＝60°，
直线MN为梯形ABCD的对称轴，
P为MN上一点，
那么PC＋PD的最小值为 。

四、 1、（2011•深圳中考）如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶质疑再探、勇攀高峰
点为C（l，4），交x轴于A、B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、H、F四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由；

变式8、求三条线段和的最小值：
如图，∠MON=30°，A为OM上一点，OA=1，
D为ON上一点，OD=3，C为AM上任意一点，
B为OD上任意一点，
A
O
N
M
D
.
.
那么折线ABCD的长AB+BC+CD
的最小值是多少？

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