第七章第七节课时限时检测.doc

(时间60分钟，满分80分)
一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)
1．若平面α，β的法向量分别为a＝(－1,2,4)，b＝(x，－1，－2)，并且α⊥β，则x的值为(　　)
A．10　　　　　　　　　　B．－10
C. D．－
解析：∵α⊥β，∴a·b＝0
∴x＝－10.
答案：B
2．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为(　　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析：由于cos〈m，n〉＝－，∴〈m，n〉＝120°，所以直线l与α所成的角为30°.
答案：A
3．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是(　　)
A．(1，－1,1) B.
C. D.
解析：对于选项A， ＝(1,0,1)，则·n＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故排除A；对于选项B，＝，则·n＝·(3,1,2)＝0，验证可知C、D均不满足·n＝0.
答案：B
4．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，CC1＝2，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为(　　)
A. B.
C. D.

解析：以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A(4,0,0)，B(4,4,0)，C(0,4,0)，C1(0,4,2)，＝(－4,4,0)，＝(－4,0,2)．易知AC⊥平面DBB1D1，所以是平面DBB1D1的一个法向量．所以BC1与平面DBB1D1所成角的正弦值为|cos〈，〉|＝＝＝.
答案：C
5．(2010·海口模拟)正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－BD1－B1的大小为(　　)
A．60° B．30°
C．120° D．150°
解析：建系如图．
设A(1,0,0)，D1(0,0,1)，
B(1,1,0)，B1(1,1,1)
C(0,1,0)
则＝(－1,1,0)为平面BB1D1的一个法向量．
设n＝(x，y，z)为平面ABD1的一个法向量．
则n·＝0，n·＝0
又＝(－1,0,1)，＝(0,1,0)
∴∴
令x＝1.∴则z＝1
∴cos〈，n〉＝－，∴〈，n〉＝120°，即二面角A－BD1－B1的大小为120°.
答案：C
6.如图所示，A1B1C1－ABC是直三棱柱，∠BCA＝90°，点D1、F1分别是A1B1和A1C1的中点，若BC＝CA＝CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值为(　　)
A. B.
C. D．－
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，
设BC＝CA＝CC1＝2，则A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,2)，
A1(2,0,2)，B1(0,2,2)．
∵D1、F1为A1B1、A1C1的中点，
∴D1(1,1,2)，F1(1,0,2)，
∴＝(1，－1,2)，＝(－1,0,2)，
∴·＝(1，－1,2)·(－1,0,2)＝3，
||＝＝，||＝＝，
∴cos〈，〉＝＝＝.
答案：A
二、填空题(共3个小题，每小题5分，满分15分)
7.如图，在45°的二面角α－l－β的棱上有两点A、B，点C、D分别在α、β内，且AC⊥AB，∠ABD＝45°，AC＝BD＝AB＝1，则CD的长度为________．
解析：由＝＋＋，cos〈，〉＝cos45°cos45°＝，∴||2＝＋＋＋2(·＋·＋·)＝3＋2(0＋1×1×cos135°＋1×1×cos120°)＝2－，∴||＝.
答案：
8．若A，B，C是平面α内的三点，设平面α的法向量a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝__________.
解析：＝，＝，
由a·＝0，a·＝0，
得
解得
所以x∶y∶z＝y∶y∶＝2∶3∶(－4)．
答案：2∶3∶(－4)
9.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，M，N分别是C1D1，CC1的中点，则直线B1N与平面BDM所成角的正弦值为________．
解析：以D为坐标原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，则B1(2,2,2)，N(0,2,1)，＝(2,0,1)，又M(0,1,2)，D(0,0,0)，B(2,2,0)，则＝(2,2,0)，＝(0,1,2)，可得平面BDM的一个法向量n＝(2，－2,1)，因为cos〈n，〉＝＝，故直线B1N与平面BDM所成角的正弦值是.
答案：
三、解答题(共3个小题，满分35分)
10．(2010·新课标全国卷)如图，已知四棱锥P－ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点．
(1)证明：PE⊥BC；
(2)若∠APB＝∠ADB＝60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．
解：以H为原点，HA，HB，HP所在直线分别为x，y，z轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，
则A(1,0,0)，B(0,1,0)．
(1)证明：设C(m,0,0)，
P(0,0，n)(m<0，n>0)，
则D(0，m,0)，E(，，0)．
可得＝(，，－n)，＝(m，－1,0)．
因为·＝－＋0＝0，所以PE⊥BC.
(2)由已知条件可得m＝－，n＝1，
故C(－，0,0)，D(0，－，0)，E(，－，0)，P(0，0,1)．
设n＝(x，y，z)为平面PEH的法向量，
则即
因此可以取n＝(1，，0)．
由＝(1,0，－1)，可得|cos〈，n〉|＝，
所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为.
11．(2010·浙江高考)如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在线段AB，AD上，AE＝EB＝AF＝FD＝4.沿直线EF将△AEF翻折成△A′EF，使平面A′EF⊥平面BEF.
(1)求二面角A′－FD－C的余弦值；
(2)点M，N分别在线段FD，BC上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，使C与A′重合，求线段FM的长．
解：(1)取线段EF的中点H，连接A′H，
因为A′E＝A′F及H是EF的中点，
所以A′H⊥EF.
又因为平面A′EF⊥平面BEF，及A′H⊂平面A′EF，
所以A′H⊥平面BEF.
如图建立空间直角坐标系A－xyz，
则A′(2,2,2)，C(10,8,0)，F(4,0,0)，D(10,0,0)．
故＝(－2,2,2)，＝(6,0,0)．
设n＝(x，y，z)为平面A′FD的一个法向量，
所以
取z＝，则n＝(0，－2，)．
又平面BEF的一个法向量m＝(0,0,1)，
故cos〈n，m〉＝＝.
所以二面角的余弦值为.
(2)设FM＝x，则M(4＋x,0,0)，
因为翻折后，C与A′重合，所以CM＝A′M，
故(6－x)2＋82＋02＝(－2－x)2＋22＋(2)2，得x＝，
经检验，此时点N在线段BC上．所以FM＝.
12．(2010·厦门模拟)如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF且BE<CF，∠BCF＝，AD＝，EF＝2.
(1)求证：AE∥平面DCF；
(2)设＝λ，当λ取何值时，二面角A－EF－C的大小为？
解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC.
又BE∥CF，AB∩BE＝B，
∴平面ABE∥平面DCF.
又AE⊂平面ABE，
∴AE∥平面DCF.
(2)过点E作GE⊥CF交CF于点G，
由已知可得：EG∥BC∥AD，且EG＝BC＝AD，
∴EG＝AD＝，又EF＝2，∴GF＝1.
∵四边形ABCD是矩形，∴DC⊥BC.
∵∠BCF＝，∴FC⊥BC，又平面ABCD⊥平面BEFC，平面ABCD∩平面BEFC＝BC.
∴FC⊥平面ABCD，∴FC⊥CD.
∴分别以C为原点，CB、CD、CF所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
设BE＝m，由＝λ，得AB＝λm.
∴A(，λm,0)，E(，0，m)，F(0,0，m＋1)，
∴＝(0，－λm，m)，
＝(－，0,1)．
设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)，
由·n＝0，·n＝0，得，∴，
令y＝，可得平面AEF的一个法向量n＝(λ，，λ)．
又＝(0，λm,0)是平面CEF的一个法向量，
∴cos＝，即＝，解得λ＝，
∴当λ＝时，二面角A－EF－C的大小为.