有限精度下Skew_Tent映射的抗退化研究_高世蕊.pdf

第 31 卷 第 1 期北京电子科技学院学报2023 年 3 月Vol31 No1Journal of Beijing Electronic Science and Technology InstituteMar2023有限精度下 Skew Tent 映射的抗退化研究*高世蕊赵耿马英杰北京电子科技学院，北京市100070摘要:混沌是指确定性动力学系统在初值变化细微的情况下，经过足够多的迭代后表现出来的不可预测性、类随机性的非周期性运动。随着混沌系统在通信工程、密码学、图像加密等方向的应用，有限精度下混沌系统动力学性能退化的问题就随之出现。提高混沌系统有限精度下的动力学性能有多种方法，其中，直接提升应用环境计算精度的代价太大、实际操作性不强。文中从提高混沌系统的抗退化性能方向入手，提出一种利用 Lorenz 系统对 Skew Tent 进行参数、输出扰动，从而提高 Skew Tent 系统的抗退化性能的方法，同时也克服了 Skew Tent 系统会进入不动点的情况。随后通过对改进后的系统进行初值敏感性、回归映射、自相关性、近似熵测试以及对量化后混沌序列进行 NIST 测试，结果表明使用该方案改进后的 Skew Tent 系统具有良好的混沌性，在通信工程、混沌密码算法设计、图像加密等方面有良好的应用前景。关键词:洛伦兹映射;斜帐篷映射;抗退化;扰动;有限精度中图分类号:O415.5文献标识码:A文章编号:1672464X(2023)11929*基金项目:北京高校“高精尖”学科建设项目(项目编号:3201017);国家自然科学基金资助项目(项目编号:61772047)作者简介:高世蕊(1998)，女，硕士研究生，主要研究方向为混沌分组密码。E-mail:gao_sr2022 163com赵耿(1964)，男，通信作者，教授，博士，主要研究方向为混沌保密通信、信息安全。E-mail:zhaogeng bestieducn马英杰(1979)，女，副教授，博士，主要研究方向为通信系统、混沌保密通信。E-mail:dmzm12 163com0引言混沌是指确定性动力学系统因为对初始值敏感，在经过足够多的迭代后而表现出的不可预测的、类似随机性的非周期运动。混沌在运动的状态下是无规律可循的，与其他系统的本质区别是:在不添加其他任何反馈条件的前提下，该系统也会产生类随机的运动轨迹。可以将混沌系统的特性归结为:初值敏感性、随机性、非周期性、长期不可预测性、遍历性等。混沌系统在物理、医疗、信息安全等领域有广泛应用。但是在将混沌系统运用到实际应用中时，因为计算机等有限精度设备的限制，混沌映射会因精度受限导致动力学退化、出现短周期现象。在这种状态下，原来混沌系统的各种特性都产生严重退化，其中最严重的就是混沌的非周期性转变为短周期，这一点将导致混沌的随机性变差，无法满足密码设计的混淆、扩散原则。为了改善混沌系统的退化现象，需要提高系统在有限精度下的抗退化性能。为了改善混沌系统有限精度下的周期退化现象，众多学者对混沌系统进行改进，提出各种改善 混 沌 系 统 退 化 的 方 案。早 在 1988 年，Grebogi 证明提高混沌系统的实现精度是克服有限精度效应最直观的方法，但是直接提高精度的实现代价太大，实际操作性不强1;在文献 2北京电子科技学院学报2023 年中利用周期三定理、级联法构造出一维数字化混沌伪随机序列，大大延长了输出序列的周期;在文献 3 中提出利用映射本身的参数和状态变量相互扰动，结合非线性函数作为反馈函数破坏状态空间的模型，并用 Logistic 映射进行分析证明改进后的混沌映射的性能更优。在文献 4中提出一种互扰混沌系统，利用两个 Logistic 映射进行相互扰动，两个混沌系统互为扰动源可以起到相互增益的扰动效果，生成的混沌序列具有良好的伪随机特性。本文是利用 Lorenz 系统对 Skew Tent 系统的参数和输出进行扰动，改善了 Skew Tent 的短周期现象，提高 Skew Tent 的抗退化性能，克服了 Skew Tent 系统会进入不动点的情况。通过对改进后 Skew Tent 的轨迹图、初值条件敏感性、回归映射(吸引子)、自相关性及近似熵进行分析，对生成序列进行 NIST 测试，验证改进后系统在有限精度下确实具有良好的抗退化性能、有良好的混沌性。1抗退化混沌系统的设计方案在本文中用到的混沌系统是连续混沌系统Lorenz 映射以及一维分段 Skew tent 映射。其中，Lorenz 系统作为扰动源，Skew tent 映射作为扰动对象。使用 MATLAB 进行运算时精度默认为是 64位，但在实际应用中运算精度会更低。为了检测不同运算精度下的系统效果，需使计算精度可控。MATLAB 中自带的 digits、vpa 函数可以实现运算精度的改变，但是运算所需时间大大增加，为了减少运算时间，本文使用的方法是运用MATLAB 中的 floor(x)函数。floor(x)函数的功能是:对 x 四舍五入到小于或等于 x 的最接近整数，即向下取整。在将混沌系统进行实际应用时，方案中实现运算精度变化的公式如下式(1)所示:x=floor(x 10d)10d(1)其中 x 表示输入，x 表示输出，d 代表所选精度。1.1Lorenz 混沌映射Lorenz 系统是美国气象学家 Lorenz 在研究大气对流模型时，所提炼的三维方程。以下为Lorenz 系统的方程:dydt=(y x)dydt=x y xzdzdt=xy z(2)其中，为系统参数。数值研究结果表明，当=10，=8/3，28 ，Lorenz 系统均处于混沌状态。由于它的变量不显含时间 t，故称为自治方程。Lorenz 混沌映射属于连续混沌映射，为了将其作为扰动源，需要对其进行离散化，所用方式为简单 Euler 算法5。简单 Euler 算法是根据倒数的定义来实现的。导数的定义为:dx(t)dt=limT0 x(tn+T)x(tn)Tdef limT0 xn+1 xnT(3)其中 T 值为离散采样时间间隔，当 T 的值趋于 0 或比较小时，(3)式可近似表示为:dx(t)dtxn+1 xnTdefxn+1 xnT(4)根据式(2)和式(4)，Lorenz 系统离散后的表达式如下:02第 31 卷有限精度下 Skew Tent 映射的抗退化研究xn+1=T (yn xn)+xnyn+1=T (xn yn xn zn)+ynzn+1=T (xn yn zn)+zn (5)其中 T=0.002。1.2Skew Tent 映射Skew Tent 映射系统是一个离散混沌映射系统，为典型的单峰映射。其公式如下:xn+1=xnq0 xn q1 xn1 qq xn 1(6)其中，q 为系统参数，q (0，1)，xn 0，1。Skew Tent 与 Logistic 互为拓扑共轭映射。q在(0，1)范围内变化时，系统处于混沌状态，q=0.5 时，系统呈现短周期状态。对于 Skew Tent 映射，初始值不能与参数相同，如果相同，系统将会变成周期系统。在应用Skew Tent 系统时，需要选用合理的系统参数 q和系统初值 x0。Skew Tent 映射的自相关函数为:aa()=limN1NN1n=0anan+=1/12=00 0(7)Skew Tent 映射在初值相同的情况下，参数分别为 0.51、0.8 时的回归映射如图 1(a)、图 1(b)所示:图 1Skew Tent 回归映射由图 1 可以看出，不论 Skew Tent 系统的参数如何变化，其回归映射都是明显的三角形，分布极其不均匀，随机性差。无论 Skew Tent 系统的参数为多少，在迭代次数足够多的情况下，理论上系统都会经过一个不动点，一旦系统状态值出现不动点状态，在迭代过程中就会落入周期长为 1 的循环。一个混沌系统的 Lyapunov 指数用来表征系统的运动特征6。Lyapunov 指数值的大小表示了系统平均发散或收敛速度。一个系统的最大Lyapunov 指数的值越大，说明在该混沌映射的长期不可预测性和对初始条件的敏感性越高7。根据 Skew Tent 系统的 Lyapunov 指数可知，当 Skew Tent 映射的参数处于 0.2 到 0.8 时，系统有良好的混沌性8。1.3扰动方案首先明确，Skew Tent 映射是一个(0，1)区间内的系统，其输入输出参数都不超出该范围，故选用 Lorenz 系统进行扰动时，需要将 Lorenz输出转到该范围。特别的:为了保证 tent 系统的混沌性，需要将参数控制在 0.2，0.8。为了检验系统在低精度下的混沌性能，需要在运算过程中加入精度运算。扰动方案原理如图 2 所示:12北京电子科技学院学报2023 年图 2扰动方案具体过程如下:(1)给 Lorenz 映射赋予初值分别是:x0=0.02，y0=0.01，z0=0.02;参数设置为:=16，=45.92，=4;(2)对 Lorenz 系统进行取精度运算，即式(5)在运算时均加精度运算:Xn+1=floor(xn+1 md)/mdYn+1=floor(yn+1 md)/mdZn+1=floor(zn+1 md)/md(8)(3)对(8)式进行模 1 运算，将 Lorenz 的输出都转化到(0，1)范围内:X1n+1=mod(Xn+1，1)Y1n+1=mod(Yn+1，1)Z1n+1=mod(Zn+1，1)(9)(4)将(9)式循环 10000 次得到 3 个处于(0，1)范围的混沌序列 X1，Y1，Z1;(5)从 X1，Y1，Z1 中选取扰动源:首先需要明确，Skew Tent 映射的参数处于 0.2，0.8时，系统有较好的混沌性能。在利用Lorenz 的三个输出序列时，需要将数据从(0，1)转到 0.2，0.8。对 Lorenz 系统产生的序列做如式(10)中的变化(此处以 X1 为例):q=0.2+(0.80.2)X1X1(0，0.2)q=X1q=0.2+(0.80.2)X1X1 0.2，0.8X1(0.8，1)(10)得到的 q 分布图如图 3 所示，从图 3 中可以知道，在大约 1300 3130 时，q 分布较为均匀，选择此段作为种子源 Q 产生 Skew Tent 系统的参数 q;(6)选用 Y1，Z1 作为 Skew Tent 的输出图 3q 分布图扰动;最终，改进后的扰动表达式如式(11)所示:kn+1=knq+2 Z1(n)+Y1(n)kn(0，q1 kn1 q+2 Z1(n)+Y1(n)kn(q，1)(11)因所设计的扰动方式中，参数是直接由Lorenz 系统决定，故 q 每次都会变化，经过验证，在经过 10000 次迭代产生的序列没有不动点的出现。2性能分析混沌系统在低精度下会存在动力学退化的现象。在本节将会进行初值敏感性、回归映射分析、自相关、近似熵以及 NIST 测试，检验改进后系统的抗退化效果。2.1系统轨迹图分析一个系统满足混沌就需要满足多次迭代后轨迹的不可预测性、非周期性。而系统的周期性可以从轨迹图中很直观地看出。图 4 的 a、b、c、d、e 分别是 Skew Tent 系统、文献 8 中的混沌系统、文献 11 中的混沌系统、文献 12 中的混沌系统以及本文改进后系统在相同条件下的轨迹图。四个系统的运算精度均为 4，初值均为 0.3，22第 31 卷有限精度下 Skew Tent 映射的抗退化研究图 4系统轨迹图迭代次数为 1000 次。从图 4(a)中可以看出，在精度为 4 时，原始Skew Tent 系统在迭代 1000 次以内，出现了至少4 次循环，图示中一个双向箭头所指即为一个周期长，周期为 184;从(b)中可以看出，文献 8中系统大约经历 2 次循环，周期长为 341，可以看出，文献 8的系统小幅度提高了抗退化性能;从图 4(c)、图 4(d)和图 4(e)中，可以看出在迭代 1000 次过程中，文献 11、文献 12和本文的两个系统都未出现周期现象，大幅度提高了抗退化性。2.2初值敏感性对于一个混沌系统，需要有良好的初值敏感性。即对于同一系统，在只有初值发生微小改变、其余变量都相同的情况下，两个系统的轨迹会在经过多次迭代后分离、变得完全不同。对改进后的系统进行初值敏感性测试:首先保持扰动源系统 Lorenz 的初始值、参数不变，保证在迭代过程中的扰动源相同，仅改变 SkewTent 映射的初始值 k0，在迭代 100 次后，进行前后对比:改变前的初值为 k0=0.3，改变后的初32北京电子科技学院学报2023 年值 k0=0.3000000001，记录的轨迹如图 5 所示。图 5初值敏感行测试图图 6各系统的回归映射图从图 5 中可以看出在只改变初值的情况下迭代 25 次时，数值出现细微不同，在 30 次左右，轨迹开始不再重合，出现大的分别，由此可以说明改进后系统具有初值敏感性。2.3回归映射在密码学中要求随机数序列应该有较好的均匀分布特性，研究系统的回归映射是为了判断系统能否抵抗回归映射分析攻击9，10。回归映射形状的复杂度可以间接反映系统的复杂程度。图 6 中的 a、b、c、d、e 分别是原始 Skew Tent 映射、文献 8 中的系统、文献 11 中的系统、文献42第 31 卷有限精度下 Skew Tent 映射的抗退化研究 12 中的系统以及本文系统的回归映射，其中原始 Skew Tent 映射的参数为 q=0.51，各系统的初值均为 k0=0.3，计算精度均为 5，迭代均为2000 次。从图 6 中，可以看到原始系统的回归映射是一个明显的三角形;文献 8 的方案虽然扩大了输入范围，回归映射分布也有分散效果，但是在(0，1)范围上，还是有着很明显的 x 型曲线分布;文献 11 的方案虽然让分布扩散开了，但整体呈现倒 V 型;文献 12 的方案在运算精度为 5时呈现的是非常明显的抛物状;e 图显示的本方案改进后的回归映射分布在整个平面，更为均匀，突破了原始的三角形，所以改进后系统有着更好的随机性。2.4自相关性自相关特性用来描述同一序列中不同时刻状态值之间的相关程度。对于原始 Skew Tent 系统来说，在迭代足够大趋于无穷时，产生的序列自相关系数是0.083，且是在无精度限制的情况下。在有限精度且迭代次数有限时，Skew Tent 的自相关系数无法达到 0.083。图 7、图 8 中的 a、b、c、d、e分别是原始 Skew Tent 系统、文献 8 中的系统、文献 11 中系统、文献 12 中系统以及本文系统在计算精度为 4、6 时的自相关对比图。图 7精度为 4 时的自相关系数52北京电子科技学院学报2023 年图 8精度为 6 时的自相关系数经过分析:在精度为 4 和 6 时，各系统除在相同时刻的自相关为 1，其余不同时刻的最大系数如表 1、表 2 所示:表 1计算精度为 4 时的自相关系数计算精度为 4 时的自相关系数Skew Tent文献 8 文献 11 文献 12改进后系统0.74250.65160.17450.10380.0867表 2计算精度为 6 时的自相关系数计算精度为 6 时的自相关系数Skew Tent文献 8 文献 11 文献 12改进后系统0.12120.12340.15260.11200.0880从表 1、表 2 可以看出，在相同精度下，本文改进后系统的自相关系数更低、性能更好，在低精度下更接近 0.083。2.5近似熵近似熵(Approximate Entropy，ApEn)是由Steven M Pincus 于 1991 年提出13，用来衡量离散时间序列的复杂性和稳定性的非线性动力学参数，越复杂的时间序列对应的近似熵越大14。给定相同的初值，相同的迭代次数，对比相同精度下各个系统的近似熵。图 9 是原始 SkewTent、文献 8 中的系统、文献 11 中的系统、文献 12 中的系统以及本文改进后的系统在不同62第 31 卷有限精度下 Skew Tent 映射的抗退化研究精度下的近似熵。横轴代表的是运算精度，可以看出随着运算精度的变化，本文改进后的系统近似熵处于 2 左右，始终高于其余四个系统。因此本文的系统在低精度下仍有较强实用性。图 9近似熵2.6NIST 测试如果要将本文改进后的 Skew Tent 系统应用到加密方向，就要保证系统的输出序列有良好的随机特性。为了测试改进后的 Skew Tent 映射生成的序列伪随机性能，需要对系统的输出进行二进制转化。本文中用到的测试方案为 SP80022。美国国家标准与技术研究所(NIST)特别出版物(SP)80022 测试是用于测试二进制序列的随机性15。SP 80022 统计性测试包含 15个不同的测试，测试对象必须是同一序列，序列的长度为 n，输出相应的 P-value 值。显著水平(即随机性达标的最低门限值)常被设置为0.01。输出的 P-value 值与 比较，当 P-value 值大于 0.01，则证明所测试的序列随机性达标，否则证明序列随机性不合格。本文对混沌序列进行量化的方式如下16:(1)生成 108长度的混沌序列;(2)将序列中的数据转为 32 位无符号整数，如公式(12)所示:Kn=UINT32(floor(kn*(232)(12)(3)对数据取相同的比特位，构成 108长度的 0、1 序列 i，i=1，2，332;(4)取 i进行 NIST 测试。以下是对 3的测试结果:表 3第 3 bit 位的 NIST 测试测试项目3的测试结果结论Frequency0.834308通过Block Frequency0.897763通过Cumulative Sums0.978072通过uns0.595549通过Longest un0.129620通过ank0.678686通过FFT0.455937通过NonOverlapping Template0.983453通过Overlapping Template0.699313通过Universal0.319084通过Approximate Entropy0.066882通过andom Excursions0.997823通过andom Excursions Variant0.987896通过Serial0.202268通过Linear Complexity0.455937通过通过表 3 可以看出，选取第 3 bit 位组成的序列，可以通过 NIST 测试，可证明改进后的系统具有良好的随机性。3结束语本文利用离散后的 Lorenz 系统扰动 SkewTent 系统的参数和输出。选取 Lorenz 系统的一项输出作为 Skew Tent 的参数扰动，选取 Lorenz系统的另外两项输出作为输出扰动。将作为参数扰动的输出值转到 0.2，0.8范围，选取离散 Lorenz 系统输出中随机性较好的一段作为Skew Tent 的种子源 Q。因为 Skew Tent 系统的参数是由 Lorenz 的一个输出决定，q 是动态变化的，Skew Tent 出现不动点的可能性降为 0，系统不会陷入周期为 1 的循环。但是本文提出系统参数扰动部分的选取，会因作为扰动源的 Lorenz系统的初值影响，导致 Q 发生变化。通过对系统进行初值敏感性、回归映射、自相关性、近似熵的对比测试，对产生的二进制序列进行 NIST 测试，证明本文提出系统即使在低运算精度下仍然72北京电子科技学院学报2023 年具有较好的混沌性，在通信工程、混沌密码算法设计、图像加密等方面有良好的应用前景。参考文献1 吕金虎，陈关荣，张锁春一个统一混沌系统及其研究 J 中国科学院研究生院学报，2003(1):1231292 王传福 数字化混沌系统的动力学分析与伪随机序列生成算法设计 D 哈尔滨:黑龙江大学，20203 Liu L F，Xiang H Y，Li X J A novel pertur-bation method to reduce the dynamical degra-dation of digital chaotic mapsJ NonlinearDynamics，2021(prepublish)4 Luo Y L，Han S M，Liu J X，et al HashHardwareGeneratorBasedonMutualPerturbed Logistic Map C 21st IEEE Inter-nationalConferenceonHighPerformanceComputing and Communications，2019:3533585 禹思敏混沌系统与混沌电路原理、设计及其在通信中的应用 M 西安:西安电子科技大学出版社20116 Tsafack Nr，Nkapkop J D D，Kengne J，et alA Multidimensional Hyperjerk Oscillator:Dy-namics Analysis，Analogue and EmbeddedSystems Implementation，and Its 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paper，improving the anti-degradation performance of chaotic sys-tem is first discussed and a method utilizing the Lorenz system to perturb the parameters and output ofthe Skew Tent is proposed，to improve the anti-degradation performance of Skew Tent system as well asavoid the condition that the Skew Tent system gets into the fixed point Then，the improved system istested in many respects including the initial value sensitivity，the chaotic return mapping，the autocor-relation and the approximate entropy In addition，the NIST test of the quantized chaotic sequence isperformed Test results show that the improved Skew Tent system has great chaos and a promising appli-cation prospect in communication engineering，chaotic cipher algorithm design，image encryption，etcKeywords:Lorenz mapping;Skew Tent mapping;anti-degeneration;perturbation;finite accuracy(责任编辑:张艳硕)92