自由锚杆纵向超声导波特性理论计算与试验研究_张小明.pdf

第 42 卷第 2 期2023 年 3 月Vol.42No.2Mar.2023JOURNAL OF HENAN POLYTECHNIC UNIVERSITY（NATURAL SCIENCE）河南理工大学学报（自然科学版）自由锚杆纵向超声导波特性理论计算与试验研究张小明，李卓然，李智，禹建功（河南理工大学 机械与动力工程学院，河南 焦作 454000）摘要：基于超声导波技术的锚杆无损检测对保障工程安全具有重要意义。利用解析勒让德多项式方法研究自由锚杆纵向超声导波传播和衰减特性，该方法克服了传统勒让德多项式方法因含有大量数值积分计算致使求解时间长的问题，计算效率得到极大提高。计算钢杆的纵向导波群速度和衰减，与已有文献结果比较，证明此方法的正确性；与传统多项式方法对比，揭示此方法的高效性。通过试验研究自由锚杆导波传播特性，测得导波群速度值，与理论结果进行比较。结果表明：自由锚杆 L（0，3）-L（0，10）模态下的衰减最小值和群速度最大值均随模态阶数增大而增大，且衰减最小值与群速度最大值在同一频率处。导波衰减值与回波振幅之间存在对应关系，衰减值越小，端面回波幅值越大。关键词：自由锚杆；纵向超声导波；勒让德多项式方法；群速度；衰减中图分类号：TB302文献标志码：A文章编号：1673-9787（2023）2-27-7Theoretical calculation and experimental study on the characteristics of longitudinal ultrasonic guided wave propagation in a free boltZHANG Xiaoming，LI Zhuoran，LI Zhi，YU Jiangong（School of Mechanical and Power Engineering，Henan Polytechnic University，Jiaozuo 454000，Henan，China）Abstract：The bolt nondestructive testing based on ultrasonic guided wave technology is of great significance to ensure the engineering safety.The propagation and attenuation characteristics of longitudinal ultrasonic guided wave in a free bolt were studied in this paper，and the group velocity and attenuation of longitudinal guided wave were solved by the presented analytical Legendre polynomial method.The presented method could overcome the deficiency that the traditional Legendre method was time-consuming caused by a large number of numerical integral calculations，and the computational efficiency was greatly improved.The group velocity and attenuation of longitudinal guided wave in a steel bolt were calculated and compared with the literature s ones to validate the presented method.Compared with the traditional polynomial method，the efficiency of the presented method was revealed.The guided wave propagation in a free bolt was also studied experimentally.The group velocity was measured and compared with the obtained theoretical results.The results showed that for L（0，3）-L（0，10）modes of the free bolt，the minimum attenuation 张小明，李卓然，李智，等.自由锚杆纵向超声导波特性理论计算与试验研究 J.河南理工大学学报（自然科学版），2023，42（2）：27-33.doi：10.16186/ki.1673-9787.2021070094ZHANG X M，LI Z R，LI Z，et al.Theoretical calculation and experimental study on the characteristics of longitudinal ultrasonic guided wave propagation in a free bolt J.Journal of Henan Polytechnic University（Natural Science），2023，42（2）：27-33.doi：10.16186/ki.1673-9787.2021070094收稿日期：2021-07-24；修回日期：2021-09-09基金项目：国家自然科学基金资助项目（5197518）；河南省高校青年骨干教师培养计划项目（2018-GGJS-060）第一作者简介：张小明（1979），男，河南焦作人，博士，教授，博士生导师，主要从事超声导波无损检测方面的教学和研究工作。Email：通讯作者简介：李智（1992），男，河南洛阳人，博士生，主要从事超声无损检测研究。Email：O S I D2023 年第 42 卷河南理工大学学报（自然科学版）value and the maximum group velocity value appeared at the same frequency，and they increased with increasing the mode order.There was a relationship between the attenuation value and the echo amplitude.The smaller the attenuation value was，the larger the echo amplitude was.Key words：free bolt；longitudinal ultrasonic guided wave；Legendre polynomial method；group velocity；attenuation0引 言在矿业采掘和岩土工程领域，岩栓（锚杆）加固技术可以合理调节岩体（或煤层）的自身强度和自承能力，提高岩体整体结构的稳定性，因此，在矿山、边坡、地下、隧道等工程中得到广泛应用。锚杆加固技术应用面宽量大，且为隐蔽工程，锚固质量好坏关系着工程质量和安全。传统的锚杆锚固质量检测方法主要有拉拔试验法和取心法，这两种方法都是破坏性检测，耗时且检测成本昂贵，会对岩体产生较强扰动，降低锚杆对围岩的加固作用1。近年来，应力波反射法、超声导波法等无损检测方法得到快速发展2-3。超声导波技术对锚杆施工质量检测有潜在优势，超声导波具有多模态和频散特性，不同模态的位移分布使它们对不同形式的锚固缺陷和预应力具有不同的灵敏度。利用现代信号处理技术反演缺陷的有无或位置，获得锚杆有效锚固长度、锚固质量等工作参数，可为锚杆的施工质量控制提供依据。近年来，锚杆超声导波检测技术得到众多关注。M.D.Beard 等4研究了 L（0，1）模态超声导波在锚固锚杆中的传播，提出低频导波适合检测锚杆锚固质量；何存富等5对埋地锚杆超声导波的模态、频率选择作了深入研究，进行了钢杆中导波传播特性以及缺陷检测试验研究；CUI Y等6通过模拟和试验研究了全长黏结锚杆及部分脱黏锚杆中的导波群速度与衰减，指出采用导波检测锚杆脱黏是可行的；孙晓云等7应用有限元数值方法模拟了不同频率的模态导波在锚杆中的传播特性，并对其杆顶响应信号进行了分析；潘立业等8对不同锚杆试件进行扫频（频率 115 MHz），得到了锚杆群速度和频率之间的关系曲线；李鹏等9在实验室制作了不同类型的锚固锚杆模型，研究了高频导波在不同试件中的衰减特性；王云刚等10基于COMSOL对超声导波在不同频率下的锚固锚杆中的波传播进行数值仿真研究，研究结果为锚杆锚固质量的定量分级提供了评价方法。已有研究多将锚杆作为纯弹性材料，没有考虑黏性对波传播衰减的影响。然而，锚杆实际为黏弹性材料，且材料黏性对波传播和衰减特性都有一定影响。基于超声导波技术的锚杆无损检测对保障工程安全具有重要意义，导波具有多模态和频散特性，其有效应用前提是准确掌握锚杆结构的波动机理，找出最佳导波模态和激励频率。勒让德正交多项式方法在许多结构（如板和空心圆柱等）中的波动和振动特性求解得到许多应用11-12。然而，该方法计算过程存在大量的数值积分计算，致使计算时间长，对于复杂结构如多层结构、复杂材料如功能梯度材料、黏弹材料等，计算更加耗时。基于此，本文提出一种解析积分勒让德多项式方法，导出所有数值积分的解析表达式，降低其计算量，以期提高计算效率。1自由锚杆波动力学模型建立考虑一均匀各向异性、无限长、外表面为自由表面的圆柱体，如图1所示。采用柱坐标系（，z，r），其外径为 b。柱坐标系下广义虎克定律为|TTzzTrrTrzTrTz=|C*11C*12C*13C*14C*15C*16C*22C*23C*24C*25C*26C*33C*34C*35C*36C*44C*45C*46symmetryC*55C*56C*66|zzrr2rz2r2z，C*ij=Cij-iij。（1）几何方程为=1ru+urr，zz=uzz，rr=urr，r=12(1rur+ur-ur)，图 1 圆柱体结构示意图Fig.1 Schematic diagram of cylinder structure28第 2 期李卓然，等：自由锚杆纵向超声导波特性理论计算与实验研究rz=12(urz+uzr)，z=12(uz+uzr)。（2）波动控制方程为Trrr+1rTr+Trzz+Trr-Tr=2urt2，Trr+1rT+Tzz+2Trr=2ut2，Trzr+1rTz+Tzzz+Trzr=2uzt2，（3）式中：Tij和ij分别为应力和应变量；i为位移量；Cij，ij和 分别为弹性常数、黏性常数和密度。考虑材料边界，材料参数可表示为C*(r)=C*(r)，(r)=(r)，（4）其中，(r)为矩形窗函数，(r)=1，0 r b0，else；将式（4）代入式（1），即求解运动方程后代入表面边界条件（r=b时，Trr=0，Tr=0，Trz=0）。1.1传统勒让德多项式方法轴向自由谐波解可表示为ur(r，z，t)=exp(ikz-it)exp(iN)U(r)，u(r，z，t)=exp(ikz-it)exp(iN)V(r)，uz(r，z，t)=exp(ikz-it)exp(iN)W(r)，（5）式中：U(r)，V(r)和W(r)分别为径向、周向和轴向的位移；k为波数；为角频率；N 为轴向波传播的周向阶数；i为虚数单位。将式（1）（2）和式（4）（5）代入式（3），可得到位移表示的波动微分方程，当材料为正交各向异性时，有r2C33U+rC33U-(N2C55+k2r2C44+C11)U+riN(C13+C55)V-iN(C55+)C11V+ir2k()C23+C44W+irk(C23-C12)W(r)+()(r)-(r-b)r2C33U+rC13U+riNC13V+ir2kC23W=-r22U()r，r2C55V+riN(C13+C55)U+iN(C11+C55)U+rC55V-()C55+N2C11+k2r2C66V-rNk(C12+)C66W(r)+()(r)-(r-b)r2C55V+riNC55U-rC55V=-r22V()r，r2C44W+ir2k(C44+C23)U+irk(C12+)C44U-rNk(C12+)C66V+rC44W-(k2r2C22+N2C66)W(r)+(r)-(r-b)r2(C44W+ikC44U)=-r22W(r)。（6）周向阶数 N=0时，即只考虑轴对称模态时，式（6）中第二式独立于其他两个方程，实际上，该式控制的是 SH波，即扭转波。本文研究轴对称纵向模态，即求解式（6）中第一式和第二式，过程如下。将U(r)，V(r)，W(r)展开成勒让德多项式级数形式：U(r)=m=0p1mQm(r)，V(r)=m=0p2mQm(r)，W(r)=m=0p3mQm(r)，（7）其中，pim(i=1，2，3)为待定多项式系数，Qm(r)=2m+1bPm(2r-bb)，Pm为第m阶勒让德多项式。将式（7）代入式（6）中的第一式和第二式，等式两边同乘以Q*j(r)，j 从 0 到 M，然后对各式的 r从 0 到 b 进行积分，利用勒让德多项式的正交性，可得k2|Aj，m11Aj，m12Aj，m21Aj，m22p1mp2m+k|Bj，m11Bj，m12Bj，m21Bj，m22p1mp2m+|Cj，m11Cj，m12Cj，m21Cj，m22p1mp2m=-2|Mjm00Mjmp1mp2m。（8）式（8）可简写为k2A p+k1B p+C p=-2M p，（9）式中，A，B，C 和 M 为 2（M+1）2（M+1）阶矩阵，p=p1mp2mT。式（9）并不具备一般特征值结构形式，利用线性伴随矩阵法13，可将式（9）变为以 k为特征值的计算问题。引入向量 q，q=kp，经矩阵变换，式（9）可变为A-1(M-C)p-(A-1B)q=k q。（10）联合向量 q与式（10），可得|ZI2M+2A-1()M-C-A-1BR=k R，（11）式 中，Z 和 I 分 别 为 零 矩 阵 和 单 位 矩 阵，R=R1mR4mT=p1mp2mq1mq2mT。问题转化为特征值求解问题，特征值为 k，特征向量为位移场分布。定义：k=Re（k）+iIm（k），Re（k）和 Im（k）分别为 k 的实部和虚部，则相速度为 VP=/Re（k），群速度为 Cg=/Re（k），衰减为Att=20log 10（e-1 000Im（k）14。圆柱结构中纵向导波传播模态有 3 种：纵向模态 L（0，m），扭转模态T（0，m），弯曲模态 F（N，m），m 为模数；N=0 时为轴对称模态，本文研究轴对称纵向模态 L（0，m）。1.2解析勒让德多项式方法传统勒让德多项式方法计算过程中存在大量的勒让德多项式及其导数求解计算，计算时间长。为提高计算效率，本文提出一种解析勒让德多项292023 年第 42 卷河南理工大学学报（自然科学版）式方法，导出所有积分的解析表达式，降低计算量，减少计算时间。式（11）中的积分有 5 种形式，即I1=-11tPn(t)Pm(t)dt，I2=-11tPn(t)ddtPm(t)dt，I3=-11tPn(t)d2dt2Pm(t)dt，I4=-11tPn(t)Pm(t)ddt h(t+1)-h(t-1)dt，I5=-11tPn(t)ddtPm(t)ddt h(t+1)-h(t-1)dt，（12）式中，=0，1，2，。基于勒让德多项式一阶和二阶导数并利用其正交性15，可导出其解析表达式，即I1(n，m，0)=22n+1(n，m)，I1(n，m，a)=n+12n+1I1(n+1，m，a-1)+n2n+1I。（13）I2(n，m，0)=k=0|m-12(2m-4k-1)22n+1(n，m-2k-1)=|2，k=n+1-m20，else，I2(n，m，a)=n+12n+1I2(n+1，m，a-1)+n2n+1I2(n-1，m，a-1)，（14）I3(n，m，0)=k=0|m-22()2m-4k-3(k+1)(2m-2k-1)-11Pm-2k-2(t)Pn(t)dt=|()m-n()m+n+1，k=m-n-220，else，I3(n，m，a)=n+12n+1I3(n+1，m，a-1)+n2n+1I3(n-1，m，a-1)。（15）利用 Heaviside函数特性，可得 I4和 I5，I4=(-1)aPn(-1)Pm(-1)-Pn(1)Pm(1)，（16）I5=(-1)aPn(-1)|ddtPm(t)|t=-1-Pn(1)|ddtPn(t)|t=1，（17）式 中，|ddtPn(t)|t=1=()n+22()n，|ddtPm(t)|t=-1=(-1)n+1()n+22()n。2数值计算与分析2.1方法验证编写了锚杆导波特性计算程序，锚杆直径 d=22 mm，材料为钢。文献 16 中给出的钢杆纵波波速为 5 960 m/s，横波波速为 3 260 m/s，纵波衰减为 0.003 Np/wl，横波衰减为 0.008 Np/wl，材料密度为=7 932 kg/m3等。由纵波和横波波速、纵波和横波衰减可推导出材料参数，具体公式见文献 17。本文得到锚杆的材料参数为：C11=C22=C33=281.757 GPa，C12=C13=C23=113.162 GPa，C44=C55=C66=84.298 GPa，11=22=33=0.269 GPa，12=13=23=-0.160 GPa，44=55=66=0.215 GPa，=7 932 kg/m3。将计算的锚杆纵向导波群速度和衰减与文献 16 中的结果进行比较，如图 2所示，其中红色点线为本文结果，黑色点线为文献 16 结果。可以看出，两者非常吻合。2.2计算效率计算 M 取不同值时采用传统勒让德多项式方法和解析勒让德多项式方法求解自由锚杆频散所用 CPU 时间，如表 12所示。由表 1可知，传统多项式法的积分时间和总 CPU 时间随 M 增大而显著增加，积分计算占总 CPU 时间 98%以上，意味着减少积分时间可极大提高计算效率。由表 2可知，随着 M 增大，积分时间占比由 68.556%降到 27.087%。对比表 12，M=20 时，积分计算时间从 656.469 s 降到 1.515 s，解析勒让德多项式图 2 锚杆群速度和衰减曲线Fig.2 Group velocity and attenuation curves of a free bolt30第 2 期李卓然，等：自由锚杆纵向超声导波特性理论计算与实验研究方法可极大提高计算效率。2.3导波群速度与衰减利用解析勒让德多项式法计算自由锚杆（d=18 mm）的导波群速度、相速度和衰减，分别如图34 所示。由图 3（a）可以看出，在 2 MHz 频率内有多个轴对称模态，除 L（0，1）模态没有截止频率外，其余模态都存在截止频率；L（0，2）模态的截止频率为 0.2 MHz，且在 0.2 MHz 以下只存在一个模态，在频率 00.2 MHz 内可激励单一的导波模态信号。在 0.2 MHz 以上，每个频率都存在至少 3个模态，并且每个模态都存在频散。除 L（0，1）模态外，其他模态的群速度先增大后减小，最后趋于一个稳定值。每个模态都有一个最大群速度值，且随模态阶数增大最大群速度值也增大，其对应频率也不断增大，导波试验时可选择最大对应频率作为激励频率，传播速度快，便于信号识别，衰减小，可增大检测深度。由图 4 可以发现，L（0，1）模态的衰减曲线呈近似线性上升趋势，在频率 150 kHz 以下衰减值极小；图 3（b）表明，当频率小于 90 kHz时，相速度频散很小（图 3（b）中红色标记处），即在该频率范围内衰减和频散都很小，适合用于检测。当频率继续增大，该模态相速度将逐渐减小并最终收敛于瑞利波波速，同时衰减不断增大。除 L（0，1）模态外，其他模态都在某频率出现衰减最小值，如L（0，4）模态衰减最小值处频率为0.63 MHz，L（0，5）模态衰减最小值处频率为 0.85 MHz。导波模态的衰减最小值也随模态阶数的增大而增大，因此在进行锚杆导波检测时，应选择衰减最小值处的频率作为激励频率。对比图 3（a）和图 4 可知，L（0，3）-L（0，10）模态下，自由锚杆的衰减曲线的最小值和群速度曲线的最大值呈现一定的对应关系，本文将在锚杆导波传播检测试验中进一步揭示其关系。3结果与分析锚杆超声导波检测试验装置如图 5 所示，主要 包 括 非 线 性 超 声 波 测 试 系 统（RITEC RAM-5000 SMAP）、数字示波器（TDS3032B）、信号采样器（SS-40）阻抗、锚杆、双功器（RDX-EM2）、大功率衰减器（RA-31）、超声探头和计算机等。锚杆直 径 18 mm、长 2 m，超 声 波 探 头 中 心 频 率 为1 MHz，激励信号为汉宁窗调制的正弦信号。试验可测得群速度VEG=2L/dt，（18）式中：L为杆长；dt为底端反射回波时间。表 1 传统勒让德多项式方法 CPU计算时间Tab.1 CPU calculation time of the traditional Legendre polynomial method项目积分时间/s总 CPU计算时间/s占比/%52.8282.86098.8811039.86040.06399.49315211.687212.18799.76420656.469657.48499.846表 2 解析勒让德多项式方法 CPU计算时间Tab.2 CPU calculation time of the analytical Legendrepolynomial method项目积分时间/s总 CPU计算时间/s占比/%50.3750.54768.556100.5781.48438.949150.9053.04629.711201.5155.59327.087图 3 锚杆群速度、相速度频散曲线Fig.3 Group velocity and phase velocity dispersion curves of a free bolt图 4 锚杆衰减曲线Fig.4 Attenuation curves of a free bolt312023 年第 42 卷河南理工大学学报（自然科学版）其相对误差=|VTG-VEG|/VTG。选择 L（0，5），L（0，6），L（0，7）3个模态中衰减最小且群速度最大处频率为激励频率，其端面回波时域波形如图 6 所示。激励频率分别为 0.85，1.07，1.26 MHz，其理论群速度值分别为 4.649，4.884，5.097 km/s，由图 6和式（18）可得试验群速度值，为 4.638，4.848，5.079 km/s，相对误差分别为 0.24%，0.74%，0.35%。由图 6可以看出，频率为 0.85 MHz时，第二次端面回波幅值为 0.155 V，频率为 1.07，1.26 MHz时的第二次端面回波幅值分别为 0.142，0.088 V。随着频率增大，第二次端面回波幅值逐渐减小，证明了理论结果的正确性。进一步试验研究激励频率0.87 MHz的L（0，5）模态端面回波时域波形，如图 7（a）所示。可以看出，该频率下的第二次端面回波幅值小于图 6（a）中的 0.85 MHz 回波幅值，说明衰减越大，振幅越小。由图 7（b）只能看到第一次端面回波，幅值较其他频率明显减小，同时出现了频散现象（表现为接收信号波包的弥散和波形的畸变）。这是由于导波在传播过程中能量被杆体吸收，使第二次端面回波衰减严重，回波时间无法正确分辨，该频率不利于锚杆的长距离测量。4结 论（1）提出的解析勒让德多项式法可将复杂的波动控制方程转化为以波数为特征值的特征计算问题，获得导波完整解，计算效率大大提高，该方法可扩展用于复杂围岩-锚杆多层结构的导波特性计算。（2）自由锚杆 L（0，3）-L（0，10）模态下的衰减图 5 锚杆超声导波检测试验装置Fig.5 Experimental device for ultrasonic guided wavedetection of a free bolt图 6 不同激励频率下的锚杆端面反射回波Fig.6 End reflection echoes of a free bolt with different excitation frequencies图 7 不同激励频率下 L（0，5）模态端面反射回波Fig.7 End reflection echoes for L（0，5）with different excitation frequencies32第 2 期李卓然，等：自由锚杆纵向超声导波特性理论计算与实验研究最小值和群速度最大值均随模态阶数的增大而增大，且衰减最小值与群速度最大值出现在同一频率处。（3）导波理论衰减值与试验回波振幅之间存在一定关系，即衰减值越小，端面回波幅值越大。某一频率端面回波幅值达到最大时，该频率对应导波模态的衰减为最小，且随着频率增大，衰减最小值增大，相应的端面回波振幅减小。参考文献：1 肖同强，李化敏，李海洋，等.不同锚固长度下锚杆拉拔特性研究 J.采矿与安全工程学报，2017，34（6）：1075-1080.XIAO T Q，LI H M，LI H Y，et al.Pull-out properties of bolt with different anchorage length J .Journal of Mining and Safety Engineering，2017，34（6）：1075-1080.2 刘黎，陈义群，章成广，等.锚杆锚固质量弹性波检测技术研究现状 J.煤矿安全，2019，50（1）：136-139.LIU L，CHEN Y Q，ZHANG C G，et al.A review of elastic wave detection of rock bolt anchoring qualityJ.Safety in Coal Mines，2019，50（1）：136-139.3 LEI M，LI W，LUO M，et al.An automatic extraction algorithm for measurement of installed rock bolt length based on stress wave reflectionJ.Measurement，2017：S026322411730469.4 BEARD M D，LOWE M J S.Non-destructive testing of rock bolts using guided ultrasonic wavesJ.International Journal of Rock Mechanics and 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