效用函数-哈尔滨工业大学.docx

第三章 效用函数

§3—1 效用的定义和公理系统

一、引言

·为什么要引入效用

决策问题的特点：自然状态不确定——以主观概率表示；
后果价值待定——以效用度量。

1. 无形后果，非数字量(如信誉、威信、出门带伞问题的后果)需以数值度量；
2. 即使是数值量(例如货币)表示的后果，其价值仍有待确定，后果的价值因人而异。

例一：同是100元钱，对穷人和百万富翁的价值绝然不同；对同一个人，身无分文时的100元，与已有10000元再增加100元的作用不同，这是钱的边际价值问题。

例二：

上图作为商业、经营中实际问题的数学模型有普遍意义。

有人认为打赌不如礼品，即

*由上面两个例子可知：在进行决策分析时，存在如何描述(表达)后果的实际价值，以便反 映决策人偏好次序(preference order)的问题

*偏好次序是决策人的个性与价值观的反映，与决策人所处的社会、经济地位，文化素养，心理和生理(身体)状态有关。如工资/工作时间权衡，年龄对带伞与否的影响。

* 除风险偏好之外，还有时间偏好。i. 折扣率；ii. 其他。

而效用(Utility)就是偏好的量化，是数(实值函数)。

Daniel Bernoulli 在1738年指出：

“若一个人面临从给定行动集(风险性展望集)中作选择的决策问题，如果他知道与给定行动有关的将来的自然状态，且这些状态出现的概率已知或可以估计，则他应选择各种可能后果中偏好期望值最高的行动。”

二、效用的定义

1.符号

i. afb (即aPb)读作“a优于b”(a is preferred to b)。f：严格序
a≧b (即aRb) “a不劣于b”。≧：弱序
a～b (即aIb) “a无差别于b”(I: indifference)。～：无差异

ii. 展望 (prospect): 或称“预期”，可能的前景

即各种后果及后果出现概率的组合

P=(…… )

既考虑各种后果 (consequence)
又考虑了各种后果的概率 (probability or likelihood) 分布

复合展望

所有P的集合记作p

iii. 抽奖 (lottery) 与确定当量（certainty equivalent）

抽奖L2=< ; >。

若 ~ L2
则称 确定性后果 为抽奖 L2 的确定当量

2. 效用的定义(A)

在集合p上的实值函数u，若它和p上的优先关系≥一致，即:
若 p , ≥ 当且仅当 u()≥u()
则称u为效用函数

效用函数定义在展望集上，而非后果集上。

三、效用存在性公理（理性行为公理）

Von Neumann-Morgenstern, 1944

·公理1 连通性 (Connectivity)又称可比性

p, 则 or ~ or

·公理2 传递性 (Transitivity)

p, 若, 则

·公理3 替代性公理 ( 加等量时优先关系不变)

若p, 且 0 < a < 1
则 对任何∈p ,必有 a+(1-a)a+(1-a)
或者表达成：,a>b 则 a+(1-a)b+(1-b)
即二种后果中，决策人所偏好的后果出现机会较大的情况是决策人所喜爱的。

·公理4 连续性公理 ---- 偏好的有界性

若 则 存在 0<a<1, 0<b<1, a>b
使 a+(1-a)b+(1-b)
由 a+(1-a) 可知 不是无穷劣,即 u()>-¥
由 b+(1-b) 可知 不是无穷优, 即 u()< ¥
即使是死亡，亦不至于无穷劣

例：i, 过马路

若死亡为无穷劣，则不能过马路

ii, 狂犬病疫苗

上述公理看来是合乎理性的，事实上并不尽然.

例：Allais 悖论（Paradox 〕
例如，1953年Allais在一次学术会议上提出如下问题，请效用理论权威Savage回答

Savage的回答是A组宁择i，
B组宁择ii，

Allais指出：B组的i, ii, 均以0.89的$500,000 取代0.89的 $0，即与A组的i, ii相对应，照公理3、A、B两组中i,ii,的优先关系应当不变。

Savage当时语塞。

·效用的公理化定义

在上述公理系统中，若p上存在实值函数u，使

i. f 当且仅当 u() ＞u()
ii. u(α, ; 1-α, )= αu() +(1-α)u()——线性性
iii. 对满足上述条件的、， 必有 () =b( )+c , 其中 b, c ∈, b＞0
则u(P)称为(基数)效用函数

*关于线性：将ii. u(α, ; 1-α, )= αu() +(1-α)u() 推广到一般,
若∈p ;≥0 , i=1,2,…m; =1; 则 u( )= u()

四、基数效用与序数效用 (Cardinal & Ordinal Utility)

基数：实数：2，2.01, 100……
序数：第1，2，…

·区别：

1. 基数效用定义在展望集p上(考虑后果及其概率分布), 是实数;
序数效用定义在后果集C上，不涉及概率，可以是自然数

2. 基数效用反映偏好强度：(正线性变换下唯一)
原数列可变换为: b+c, 2b+c, 3b+c, πb+c; 其中 b, c ∈, b＞0.

而序数效用不反映偏好强度，(保序变换下唯一), 原序数列可变换为
16,9,4,1;或 8,6,4,2,或10,7,6,1等.

·序数效用的存在性公理

1.连通性(可比)
2.传递性
3.连续性：对任何确定的后果x，优势集与劣势集均为闭集。(教材：P29 §3.1)

§3.2 效用函数的构造

一、离散型的概率分布

后果元素有限

·各后果效用设定的步骤 NM法（von Neumann-Morgenstern），也称概率当量法
由公理4: 若ff ,则可找到 0<α<1, 使~α+(1-α)
第一步：
选定 , Î C , 使f
令 u()=0, u()=1
所选择的 、 应使比较易于进行.
第二步：对ff ,求α(0<α<1), 使~α+(1-α)
则 u()=u(α+(1-α))= αu()+(1-α)u()
\ u()=α
第三步：若pp, 求α(0<α<1), 使~α+(1-α)
则u()=u(α+(1-α))=αu()+(1-α)u()
\ u()=α/(α-1)
第四步：若 ff, 求α(0<α<1), 使~α+(1-α)
则u()=u(α+(1-α))= αu()
\ u()=1/α
第五步：一致性校验
设 ff 且 ,, 已知，（ffff）
由 ~α+(1-α) 求得u’()
若 u’() 与已知的 u() 不符，则反复进行二、三、四步，直到一致性校验通过.

例

设 fff
一、u()=0, u()=1
二、~0.7+0.3 u()=0.7
三、~0.4+0.6 u ()=0.4
校验 设~0.4+0.6 u’()=0.64≠0.7
重复二、三、若u () 不变 u ()=0.5 则通过校验.

二、连续型后果集

·当C为连续变量时,u(c)是光滑的，因此可分段构造，求特征点的效用，再连成光滑曲线
例1.每天学习时间的效用曲线

在10～12小时／日 处 效用最大
8小时／日处效率最高(效用／小时)
·注意：效用的唯一性(在正线性变换下唯一)使效用的值域为整个实轴，而不必限于[0,1]

§3.3 风险与效用

一、效用函数包含的内容

1.对风险的态度

风险厌恶(Risk Aversion)
风险中立(Risk Neutrality)
风险追求(Risk Proneness/Seeking) 即有冒险倾向

以上是初期对风险的解释(Pratt C.,1964)

2.对后果的偏好强度
钱的边缘价值：设某人现有积蓄为0，增加1000地的作用(价值)与有了1000元后再加1500元相等,则此人的财富的价值函数是凹函数。

若他认为1000元~(0.5,0; 0.5,2500), 则与其说此人是风险厌恶不如说他是相对风险中立。为此有必要对确定性后果的偏好强度加以量化。
3.效用表示时间偏好十分复杂，我们在第八章再介绍。

二、可测价值函数
——确定性后果偏好强度的量化
定义：
在后果空间X上的实值函数v，对ω, x, y, z∈X有
i, (ω®x) f (y®z)当且仅当υ(ω)-υ(x)≥υ(y)-υ(z), 且
ii, υ对正线性变换是唯一确定的。
则称υ为可测价值函数
说明：i，(ω®x) f (y®z)表示ω,x之间偏好强度之差超过y, z之间偏好强度之差,

ii. 由定义之ii，可测价值函数具有基数性质但与基数效用不同：VF不反映决策人的风险态度。
iii. 它定在后果空间上，能起序数效用的作用但又与OUF不同：能反映后果的偏好强度.

三、相对风险态度
设 效用函数u和可测价值函数v在X上都是单调递增，且连续二次可微。
1.风险的局部测度
ì > 0 u在x 处凹, 风险厌恶
r(x)=-u”(x)/u’(x) í = 0 u在x 处线性, 风险中立
î < 0 u在x 处凸, 风险追求
2.偏好强度的局部测度
>0 在x处有递减的边际价值
m(x)=-v”(x)/v’(x)= 0 在x处有不变的边际价值
<0 在x处有递增的边际价值
3.真正的(相对)风险态度的定义
若m(x)＜r(x)称为在X'区内相对风险厌恶
m(x)=r(x)称为在X'内相对风险中立
m(x) >r(x)称为在X'内相对风险追求

四、风险酬金
k=E(x)-S 这是决策人为了避免风险而愿意损失的金额

五、货币的效用

1. 性质

i. 单调递增：愈多愈好
有界：全世界财富总量不足$, u()与u()几乎无差异
ii. x较小(相对于决策人资产而言)时, u(x)近乎线性
iii. x>0时u(x)通常是凹的 递减的边际价值
风险厌恶
x>0与x<0的形状不同, 负债较多有追求风险的倾向.

2. 钱的效用曲线的构成

设某人现有1000元存款(某商店有资产10万，企业有1000万等等)
i. NM法(见§3.2)
利用 ～α+(1-α)
ii. 修正的NM法
利用 ～0.5+0.5
例: 设u(0)=0, u(1000)=1
有300～0.5<0>+0.5<1000> u(300)=0.5
又125～0.5<0>+0.5<300> u(125)=0.25
550～0.5<300>+0.5<1000> u(550)=0.75
由0～0.5<a>+0.5<500>
设 a=-250
则u(-250)=-u(500)=-0.72
-250～0.5<b>+0.5<0>

原因：i,价值函数是S型
ii,在一定范围内相对风险态度不变
iii,负债到一定程度以上有冒险倾向

Friedmann-Savage 效用曲线(1948):

§3.4 损失、风险和贝叶斯风险

一、损失函数L
有些文献采用损失函数进行分析
∵u(c)=u(θ,a)
∴l(θ,a)=-u(θ,a) 则损失函数与效用作用相同
为了使损失值非负，可取
l(θ,a)= u(θ,a)-u(θ,a)

二、风险函数

自然状态集 Θ -----参数空间
行动集 A -----决策空间
观察值集 X -----测度空间
决策规则 δ:x→a , , Δ为策略空间
损失l(θ,a)=l(θ,δ(x))
由于X是随机变量，对给定的θ，采用决策规则δ时定义风险函数

R(θ,δ)=[ l(θ,δ(x))]
=l(θ,δ(x)) ] f (x |θ) dx 或 l(θ,δ(x)) p (x |θ)

三、贝叶斯风险

r(π，δ) = Eπ R(θ,δ)

含义：θ的先验分布为π，决策规则为δ时风险函数的期望值叫贝叶斯风险

即: r(π，δ)= R(θ,δ)
= l(θ,δ(x)) f (x |θ) dx ] π(θ) dθ
或 l(θ,δ(x)) p (x |θ)π(θ)