参考2.多维导热问题的数值解原理.doc

直角坐标系 圆柱轴对称坐标系 极坐标系
图2-1 三种坐标系
第二章 多维导热问题
2.1 二维非稳态导热全隐格式的通用离散方程
三种二维坐标系中的网格系统见下图2-1。采用控制容积积分法导出的离散方程以二维直角坐标系下的为例，根据二维非稳态导热方程：
（2.1）
取全隐格式，假设节点之间温度线性分布，界面上热流密度均匀分布。非稳态项积分：

扩散项积分：

源项积分：

上述结果整理成：
（2.2）
其中各系数为：
（2.2）
， ，， （2.3a）
（2.3b）
（2.3c）
仍然需要记住，式（2.3a）表示的是各节点之间的热导（热阻的倒数），分子上的、代表的是各控制容积面上的面积；在二维问题中，的乘积是控制容积的体积。代表的是控制容积的热惯性。由此可见，利用上述系数计算式的物理含义，很容易写出三维导热问题的离散化方程及它的系数。
对于圆柱轴对称坐标和极坐标，同样可以利用系数的物理含义写出各系数计算式，离散方程与式（2.2）相同。不过要注意，在圆柱轴对称坐标中，选用一个弧度角的范围，极坐标取垂直于纸面一个单位长度（1m）。这样三种坐标系下的离散方程的系数可以表示为表2.1以便于编写统一的计算程序。
二维导热问题中三种坐标系中系数的通用表达式 表2.1
坐标系
直角
圆柱轴对称
极坐标
通用表达式
东西坐标

南北坐标

半 径
1

东西尺度系数
1
1

东西节点间距

南北节点间距

东西导热面积

南北导热面积

控制容积体积

()

()

上面得到的是计算域内内节点的离散化方程，对于边界节点，可以采用边界控制容积热平衡方程导出节点方程。

2.2 边界节点方程
第一类边界条件是给定边界上的温度值，所以求解区域是内接点方程组。
第二类边界条件给出的是边界上的热流密度，通常表示为

这样的表达在求解时还不能直接引入到节点上，需要根据能量守恒方程变换为
（2.4）
第三类边界条件为对流换热条件，已知参数为边界面上的对流换热系数和流体温度，表示为

同样需要经过变换后才能进行计算，一般变换成
（2.5）
容易看出，第二类和第三类边界条件根据上述表达可以用统一的方式（边界上的热流密度）离散，参见图2-2。对于P节点，若采用显格式并考虑有内热源：
图2-2 边界节点的离散图

整理后：
（2.6）
其中：
，，
， ，
，
（2.7）
若采用隐格式离散方程为：
（2.8）
方程中的系数与上相同。
这样，对于第二类边界问题，边界面上的温度被排除在外，待计算完毕后通过插值方式获得。对于第三类边界条件，容易看出，从流体到P节点的传热热阻有两部分组成，半个控制容积的导热热阻和边界面上的对流换热热阻，即边界上的热流为：
（2.9）
同样可以将边界面上的温度排除在外，最后才插值计算获得。
上述处理结果，使得内节点和靠近边界的节点的代数方程取得了相同的形式，只不过靠近边界的节点方程相应有一个系数为0。

2.3 代数方程的求解方法
求解线性方程组的两类方法是直接求解和迭代求解，直接求解是通过一次计算来获得代数方程的精确解，但计算工作量特别大；迭代计算是将计算分成许多轮次，每次计算量减少，只要迭代方式组织合理，可以获得比直接解法更好的经济性，在计算流体力学和传热学中经常采用这种方式，尤其在节点数很大时，即使收敛慢的迭代方法也可能比消元法更加有效。
在迭代计算中有两个问题，一是迭代的收敛性问题；其次是如何加快迭代速度问题。一般对如导热这一类问题，迭代收敛条件为
（2.10）
由于采用有限容积法生成的离散方程，这一条件上述条件一定是满足的。
常用的迭代方式中，Jacobi法的收敛速度最慢，Gauss-Seidel迭代比较快。交替方向线迭代方法（ADI）是最有利的迭代方法。

2.4 边界上不规则区域的处理方法
常见的处理方法有阶梯形边界逼近真实边界、坐标变换法、区域扩充法及边界节点单独建立方程法等。在采用商用软件时这些方法通常不需要我们专门去考虑。

图2-3 例题1附图
例题1：假设图2-3所示的矩形截面肋片，肋片根部为温度T0，肋的上下两侧及端部为对流换热条件。试研究在不同的Bi（=hδ/λ）数下肋片中的温度分布，并比较数值计算所得出的导热量与按一维假定得出的导热量的区别。
序号
Bi数
h/W/(m2·K)
Q/W
1
2
3254
2×1536.4
2
1
1627
2×1168.98
3
0.1
162.7
2×402.51
4
0.05
81.35
2×273.73
解：该问题要计算肋片的导热量，实际是肋片表面与周围流体之间的对流换热量，可以在肋片根部取得导热量的数据，所以先要计算出肋片内的温度场。计算条件按照Bi数确定，分成2、1、0.1和0.05等4组。假定L/(2δ)=4，并取肋片材料导热系数为16.27W/(m·K)，比热容为502.48J/(kg·K)，密度为8030kg/m3。L=80mm。具体参数见右表。左边界给定温度373K，周围流体温度293K。利用FLUENT求解。
1. 利用GAMBIT建立计算几何模型方法见附录１。
肋片长度为8个单位，厚度为2个单位（建模过程中根据肋片导热上下的对称情况，只画出一半，即1个厚度单位）。
2．边界条件，对流面根据上述列出的Bi数确定对流换热系数。
3. 计算结果分析：如果将该问题作为一维模型计算，当端面绝热时，端面温度为305.4K，数值计算得到的端面温度上下各为306.4K和305.8K，平均约为306.1K，两者相对差别为0.26%；导热量计算一维模型的为821.4W，数值计算的为2×400.2W，两者相对差别为2.6%。Bi=2.0 Bi=1.0
图2-4不同Bi数下肋片内部温度分布
Bi=0.1 Bi=0.05
Bi=2.0 Bi=1.0
图2-4 中心对称面上温度分布
Bi=0.1 Bi=0.05
图2-4 中心对称面上温度分布
图2-5 不同Bi数下上下两面温度分布图
所以在Bi数为0.1时，数值计算结果表明此条件下肋片可以简化为一维模型。
从计算结果分析，在Bi数小于０.1条件下，一维模型是对实际的一个近似，但肋片内的温度分布的二维属性仍然存在，即便在Bi数为0.05的条件下，肋片的上表面和中心对称面上的温度还是有微小的差异。
例题2：一钢锭，大小为0.5×0.7×1.0m，初始温度均匀为20℃，其导热系数为40.5W/(m·K)，密度7900kg/m3，比热容710.05J/(kg·K)，试确定将其置入1200℃的加热炉中4小时后的最低温度和最高温度。假设炉内烟气与钢锭之间的换热系数为348 W/(m2·K)。
图2-6 导热体
图2-7 六面体设置对话框
解：这是三维非稳态导热问题，导热体外表是对流换热条件。可以先估计，最高温度在顶角上，最低温度在中心点上角（见图2-6中顶角点和中心点）。计算区域可以按对称性选取为原物体的1/8，见图2-6 。正面、右面和顶面为对流边界面，背面、左面及底面为对称面（绝热面）。
1．利用GAMBIT建模：
1）确定导热体大小：启动GAMBIT，→→R，弹出对话框如图2-7所示。
图2-8 网格设置对话框
在宽度（Width）栏、深度（Depth）栏、高度（Height）栏中分别输入0.125、0.175和0.25；点击Apply、Close，点击Fit to Window按钮查看图形。
2）划分网格：依次点击→→按钮，打开图2-8所示对话框。点击Volumes右侧的黄色框后，用Shift+鼠标左键点击工作显示区内几何图形的边线后，在Spacing项选择Interval size，输入0.005；点击Apply、Close，所划出的网格为25×35×50。
3）设置边界类型：为方便，先将网格显示关闭，点击，在Specify Display Attributes中点击Mesh项中的Off，点击确定，点击Close；依次点击→，在Specify Boundary Types对话框中加入六个面的边界面属性，分别在Name项中给定边界面名称、Type、选定边界、点击Apply。右边界Right，属性Wall，在工作区中Shift+鼠标左键点右边界线变为红色，点击Apply；各边界面属性分别如下表：
名称
Right
Left
Top
Bottom
Front
Back
Type
Wall
Symmetry
Wall
Symmetry
Wall
Symmetry
最后点击Close，存上Mesh文件，退出GAMBIT。
三维建模的步骤比二维要少，原因是建模的开始是以面开始的，而二维要将线转化为面。
2．启用FLUENT：按条件分别确定材料、边界、初始等具体数据，下面是时间步长1秒所获得的数据：

要注意：
1）该问题可以通过精确解获得数据，顶角点温度1470K，中心点温度1431K；
2）因计算时间长，故开始计算时可以考虑两个问题：一是时间步长多少为好？二是空间步长是多少为好？

习题：
1． 将例题1实践一次，列出计算报告。
2． 将例题2实践一次，列出计算报告。

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