一类具有时滞的COVIDG19动力学模型及传播预测.pdf

引 用 格 式:D ON GQ i n g l a i,Z HOUC h u y u,L I UP i n AD y n a m i c sM o d e l o fC OV I D w i t hT i m e l a ga n dD i s s e m i n a t i o nP r e d i c t i o nJJ o u r n a l o fG a n s uS c i e n c e s,():董庆来,周楚钰,刘聘一类具有时滞的C OV I D 动力学模型及传播预测J甘肃科学学报,():d o i:/j c n k i i s s n 一类具有时滞的C O V I D 动力学模型及传播预测董庆来,周楚钰,刘聘(延安大学数学与计算机科学学院,陕西 延安 )摘要建立可用于C OV I D 疫情评估的一类具有时滞的新冠肺炎传播动力学模型(S IR模型).研究利用时滞描述感染者在核酸检测阳性前的潜伏期,考虑防控隔离和医学追踪隔离等隔离措施的效果,将感染者分为两类:一类感染者具有传染能力,另一类感染者由于被隔离其感染能力可忽略不计,构建了S IR模型,并详细讨论系统解的存在性、有界性和平衡点的分类,再利用L y a p u n o v L a S a l l e不变性原理证明了平衡点的全局稳定性.以 年 月 日 年月 日的西安市疫情数据为依据,拟合得到S IR模型的动力学参数,对西安市C OV I D 疫情进行了预测和评估.结果表明,具有时滞的S IR传染病动力学模型对疫情的理论估计与西安市疫情的实际情况较为符合,可用于C OV I D 传播行为分析,为疫情防控策略的制定提供了理论支持.关键词应用数学;C OV I D ;时滞动力学模型;稳定性;L y a p u n o v L a S a l l e不变性原理中图分类号:O ;N 文献标志码:A文章编号:()年C OV I D 在全世界迅速蔓延,在科学的疫情防控政策下,我国的疫情迅速得到控制.但是由于国外部分国家或地区的疫情并未得到有效遏制,时有输入病例引起C OV I D 在我国部分地区零星散发,大都较快得到控制,这得益于疫情防控策略的有效实施.疫情防控策略的制定依赖于对疫情发展趋势的预测和评估,依赖于有效的疫情传播模型的构建与分析.用于描述疫情传播的模型主要包括仓室模型、一般增长模型、概率分布模型、元胞自动机模型以及人工神经网络模型等.仓室模型是描述新冠肺炎疫情传播的有效工具,主要包括S I模型、S I R模型、S I S模型、S E I R模型及其变体模型等,如付吉丽等利用S I R模型得到了新冠肺炎的扩散条件;G o u n a n e等利用S I R模型描述新冠肺炎疫情传播过程,给出了每个国家/地区采用的参数(例如德国、西班牙、意大利、法国、阿尔及利亚和摩洛哥等),并根据真实数据拟合提出模型,评估了每个国家/地区针对大流行演变而采取的政府措施;喻孜等使用基于时变参数的S I R模型对疫情发展进行了预测.与S I R模型相比,S E I R模型能有效刻画潜伏状态(E)对疫情传播的影响;周涛等基于S E I R模型估计了C OV I D 的基本再生数;范如国等利用带有潜伏期的S E I R动力学模型给出了疫情拐点的预测方法;曹盛力等考虑潜伏期传播能 力和追踪隔 离 干 预 措 施 的 修 正S E I R传染病动力学模型;林俊锋引入隐形传播者的S E I R模型,并验证了该模型在拟合和预测性能上的优势;于凯等考虑到无症状感染者的筛查检测过程需要时间,建立具有延迟效应的S A I RD模型,对封城的有效性进行了评估.除了考虑潜伏状态(E)外,在模型中引入时滞描述病毒潜伏期和治疗周期也是刻画新冠肺炎病毒传播潜伏期的有效方第 卷第期 年月 甘 肃 科 学 学 报J o u r n a l o fG a n s uS c i e n c e sV o l N o A u g 收稿日期:;修回日期:基金项目:国家自然科学基金项目()作者简介:董庆来(),男,山东泰安人,博士,教授,研究方向为系统管理与可靠性分析.E m a i l:q i n g l a i d o n g c o m法.严阅等 构建了一类基于时滞动力学系统的传染病动力学模型,用以预测疫情未来的趋势;张李盈等 建立改进的离散时间多阶段时滞动力学模型,提出了一种分析C OV I D 的经验传递动力学方法;李倩等 考虑确诊滞后对病毒传播的影响,构建了C OV I D 疫情时滞模型;Y a n g等 构建了具有两个时滞的S E I Q R模型,并计算了H o p f分支的方向和稳定性.尽管具有时滞的C OV I D 传播模型是在常微分方程模型的基础上引入时滞,但是模型变成了泛函微分方程组,在模型求解上有很大难度,因此该模型与基于常微分方程的C OV I D 传播模型有着本质区别.综上所述,部分文献在考虑时滞时仅在常微分方程中引入时滞,构建具有时滞的C OV I D 传播模型,但未从系统的稳定性等方面进行理论分析,也未将时滞和隔离效果综合考虑.本次研究基于传染病传播的仓室模型,考虑感染者在核酸检测阳性前的潜伏期以及防控隔离和医学追踪隔离等隔离措施的效果,建立具有时滞的新冠肺炎传播动力学模型(S IR模型),对系统解的存在性、有界性以及平衡点的稳定性进行分析,并对西安市C OV I D 疫情进行了预测和评估,为疫情防控提供理论支持.模型假设与构建经典S I R模型将人群分为S,I,R类:()S为易感者(S u s c e p t i b l e),当其与感染者接触时才有机会感染,因此S是潜在的可感染人群,有别于城市人口总数.()I为感染者(I n f e c t e d),具有传染能力的人群.()R为移出者(R e m o v e d),治愈或死亡的人群.由于再次患病的人群数量较少,因此假设该类人群在治愈后不再受到传染病的影响.在S I R模型基础上进一步考虑潜伏期和隔离的影响,作如下假设:()感染者分为I(传染病的隐性传播者,具有传染性)和I(隔离期间通过核酸检测发现的感染者,不具有传染性)两类;()考虑到潜伏期的影响,感染者在被检测出核酸阳性前具有天的潜伏期;()所有感染者在核酸检测阳性后均能得到及时救治,并且I和I具有相同的治愈率;()感染者经过治愈后具有免疫力不再转化为易感人群.考虑时滞和隔离的新冠肺炎疫情传播示意图如图所示.图S IR动力学传染病模型仓室传播流程F i g T h ec o m p a r t m e n t t r a n s m i s s i o no f t h eS IRd y n a m i c i n f e c t i o u sd i s e a s em o d e l基于上述假设,构建考虑时滞的C OV I D 动力学模型如下:dS(t)dt SS(t)I(t)S(t)I(t)S(t),dI(t)dtS(t)I(t)I(t)I(t),dI(t)dtS(t)I(t)I(t)I(t),dR(t)dt I(t)I(t)R(t),()其中:表示在不考虑其他人群的影响时,易感者进入系统的速率;S表示易感者的初值;表示易感者S与隐性传播者I接触后以感染率转为I;表示受隔离影响,易感者S以感染率转为I;表示感染者的恢复速率;、分别表示系统中S、I、I、R因种种原因而移出系统的比率.根据实际意义,假设式()的初始条件为S(t)(t),I(t)(t),I(t)(t),R(t)(t),t,()其中:(t)、(t)、(t)、(t)是,上的连续函数.理论分析解的存在性和有界性讨论式()满足式()的解的存在性、非负性和有界性,有如下结论.定理式()满足式()的解(S(t),I(t),I(t),R(t)在,)上存在、非负、有界,且甘 肃 科 学 学 报 年第期满足l i ms u pS(t)S.证明由泛函微分方程解的局部存在性定理知,对某个常数c,(S(t),I(t),I(t),R(t)在,c)上存在.首先证明在,c)上S(t).事实上,如果不成立,由(t)和S(t)的连续性,必存在t,使得S(t),S(t),且S(t)(tt),其中当t时,S(t)表示S(t)在tt的上右导数.因此,由式()的第一个方程,得到S(t)SS(t)I(t)S(t)I(t)S(t)S,这与S(t)矛盾.因此,对任意的t,c)有S(t)成立.其次证明在,c)上I(t).分两种情况讨论:.系统()的第二个方程化为I(t)(S(t)I(t),t.把S(t)视为参数,求积分可知I(t),t,c).如果不成立,由I(t)在,c)的连续性,必存在t,使得I(t),I(t),且I(t).因此,由系统()的第二个方程得I(t)S(t)I(t)I(t)I(t),这与I(t)矛盾.因此,对任意的t,c),有I(t)恒成立.同理可得,对任意的t,c),有I(t)恒成立.再来证明在,c)上R(t).直接 对 式()中 的 第 四 个 方 程 求 积 分 可 知R(t),t,c).证 明(S(t),I(t),I(t),R(t)在,c)上有界.事实上,由(S(t),I(t),I(t),R(t)在,c)上的非负性以及式()的第一个方程,对任意的t,c),有S(t)SS(t),因此,l i ms u pS(t)S.由式()前三个方程可以得到S(t)SS(t),I(t)SI(t)()I(t),I(t)SI(t)()I(t).由于时滞线性系统x(t)Sx(t),y(t)Sy(t)()y(t),z(t)Sy(t)()z(t),满足初始条件x(t)(t),y(t)(t),z(t)(t)(t,(t)、(t)、(t)如同式()的解在,c)上存在且唯一,因此,对任意的t,c)有S(t)x(t),I(t)y(t),I(t)z(t).()由式()可知(S(t),I(t),I(t)必在,c)上有界,又由式()的第四个方程直接积分得到R(t)在,c)上有界.因此,由泛函微分方程解的延拓定理可知,(S(t),I(t),I(t),R(t)在,)上存在,并且进一步可证是非负的、有界的.定理证毕.平衡点的稳定性关于平衡点的存在性有如下结论.定理式()总有一个边界平衡点E(S,);当S()时,系统存在正平衡点E(S,I,I,R),其中:S S,S,IS()()(),I(S()()(),R(S()().证明由式(),令 SS IS IS,S I II,S I II,I IR.()当IIR时,可得 SS,即S S,从而得到边界平衡点E.当IIR时,由式()的第二个方程得到S.再由式()的第一个方程得到 S()IS,解之得第 卷董庆来等:一类具有时滞的C OV I D 动力学模型及传播预测IS()()().由式()的第三个方程得到I(S()()().将I和I的表达式带入式()的第四个方程,得到R(S()().定理证毕.关于系统平衡点的稳定性有下面的结论:定理当SS()时,边界平衡点ES,()是全局稳定的.证明构造L y a p u n o v泛函VS(t)SS(t)SSvdvI(t)I(t)()I(tu)du()I(tu)du,()其中I(tu)du满足ddtI(tu)duddtI(tu)duI(t)I(t).则V关于时间t的导数为dVdt SS(t)I(t)S(t)I(t)S(t)SS(t)(SS(t)I(t)S(t)I(t)S(t)S(t)I(t)I(t)I(t)S(t)I(t)I(t)I(t)()(I(t)I(t)()(I(t)I(t)SS(t)(SS(t)(SS()I(t)()I(t)S(t)(SS(t)(SS()I(t)()I(t),当SS()时,对所有的S(t),I(t),I(t),R(t),都有dVdt,当且仅当SS,I,I,R时等号成立.因此,由文献 中的推论可知,E是全局稳定的.进一步,当SS()时,dVdt意味着S(t)S.因此,容易证明ES,()是(S(t),I(t),I(t),R(t)|V的最大不变子集.从而,由L y a p u n o v L a S a l l e不变性原理(文献 中定理)得到E也是全局稳定的.定理证毕.定理如果满足I(t)II(t)I,当I(t)I时()I(t)II(t)I,当I(t)I时()则对于任意的,若S(),正平衡点ES,I,I,R()是全局稳定的.证明构造L y a p u n o v泛函:US(t)SS(t)SSvdvI(t)I l nI(t)II(t)I l nI(t)ISII(tu)I l nI(tu)IduSII(tu)I l nI(tu)Idu,()则U沿着式()的解的导数满足dUdt|()SS(t)I(t)S(t)I(t)S(t)SSS(t)SI(t)SI(t)SS(t)I(t)I(t)I(t)II(t)S(t)I(t)IIS(t)I(t)I(t)I(t)II(t)S(t)I(t)IISII(t)II(t)Il nI(t)I(t)SII(t)II(t)Il nI(t)I(t),()其中:甘 肃 科 学 学 报 年第期ddtI(tu)Il nI(tu)IduddtI(tu)Il nI(tu)IdudduI(tu)Il nI(tu)IduI(t)II(t)Il nI(t)I(t).对式()整理得dUdt|()SSS(t)S(t)SSIl nI(t)I(t)SIl nI(t)I(t)SI IISS(t)SISIII(t)S(t)I(t)SISII(t)ISII(t)ISI IISS(t)SISIII(t)S(t)I(t)SISII(t)ISII(t)I.由于l nI(t)I(t)l nSS(t)l nII(t)S(t)I(t)SI,l nI(t)I(t)l nSS(t)l nII(t)S(t)I(t)SIl nI(t)III(t),从而dUdt|()SS(t)SSS(t)SIl nI(t)I(t)SISS(t)II(t)S(t)I(t)SISIl nI(t)I(t)SISS(t)II(t)S(t)I(t)SII(t)II(t)ISS(t)SSS(t)SISS(t)l nSS(t)SIII(t)S(t)I(t)SIl nII(t)S(t)I(t)SISISS(t)l nSS(t)SIII(t)S(t)I(t)SIl nII(t)S(t)I(t)SISII(t)III(t)l nI(t)III(t)SII(t)II(t)III(t),上式中最后一项是由于SII(t)II(t)III(t)SII(t)II(t)II(t)III(t),显然S(t)SSS(t),并且由式()和式()可得I(t)II(t)III(t).第 卷董庆来等:一类具有时滞的C OV I D 动力学模型及传播预测因为函数f(x)x l nx对任意x总是非负的,当且仅当x时等号成立,因此dUdt|().因此,由文献 中的推论可知,当满足式()和式(),以及S()时,E是全局渐近稳定的.定理证毕.西安市疫情传播仿真分析模型参数赋值在S I R模型参数设置的基础上,根据实际数据对所构建模型参数进行拟合优化和合理估值,从而提高模型预测的准确性.具体赋值及说明如表所列.表模型参数及初值设置(西安市)T a b l eT h ep a r a m e t e r sa n d i n i t i a l v a l u e s e t t i n go fm o d e l(X i a n)参数及初值取值 e e e 取值说明根据实际隔离与易感数据比例调整根据实际无症状感染数据拟合优化根据实际确诊数据拟合优化平均治愈时间(d)根据隔离政策调整(“d集中隔离”)参数及初值SI I 取值 取值说明根据实际移出率(非治愈)调整根据实际移出率(非治愈)估值根据 年统计居住人口和隔离人数调整根据实际无症状人数估值(考虑时滞 d)根据实际确诊人数赋值注:德尔塔病毒的平均潜伏期为d,感染者一般在 d治愈,因此假设平均潜伏期为d,平均治愈周期为 d.仿真分析 年 月日,陕西省西安市报告一例本土确诊新冠肺炎病例,月 日西安市实行封城措施.假 设 在 此 期 间 西 安 市 人 口 总 数 保 持 不 变(年常住人口约 万),并考虑其间主要流行的新冠病毒为德尔塔病毒,因此以 年陕西省西安市的疫情统计数据为例,研究 年 月 日(t)年月 日(t)的疫情统计数据,累计确诊、累计治愈和累计无症状人群统计数据如图所示.图西安市感染人群数量趋势F i g T h e t r e n do f i n f e c t e dc a s e s i nX i a n利用所构建模型对西安市现有确诊人数进行预测,预测结果如图所示.此外,利用表的参数得到SS(),因此由定理可知,边界平衡点是全局稳定的,即疫情不会扩散.从图可以发现,理论结果与实证结果是吻合的.结果表明,以 年 月 日为初始时间,第 天至第 天现有确诊人数增幅较大,这是因为政府加大了核酸检测力度,更有效地筛查出核酸异常人员并隔离;现有确诊人数在第 天达到峰值(人),在第 天左右清零(即所有病例均治愈或死亡),即西安市本轮疫情现有确诊人数将在 年月日达到峰值,在月日清零.这是因为德尔塔毒株的传染性强,治愈过程较为漫长,但西安市于 年月日已实现社会面清零.图基于构建模型预测现有确诊人数趋势(西安市)F i g T h ep r e d i c t i o nt r e n do f t h e e x i s t i n gn u m b e ro fi n f e c t e dc a s e so nt h em o d e l(X i a n)接下来对参数进行灵敏度分析.以 年 月 日为初始时间,不同的取值下西安市现有确诊人数对比如图所示.由图可知,若取 ,则现有确诊人数将于第 天出现峰值(人);若取 ,则现有确诊人数于第 天出现峰值(人);若取 ,甘 肃 科 学 学 报 年第期则现有确诊人数于第 天出现峰值(人).这是因为表示易感人群的移出率,越小意味着易感人群与感染者接触的几率越大,导致现有确诊人数就越多,出现峰值的时间就越晚,且全面清零时间也越晚.因此,加大防控隔离和医学追踪隔离等隔离措施的强度,对于防控疫情传播具有积极作用.图不同取值下现有确诊人数对比F i g C o m p a r i n g t h en u m b e ro f e x i s t i n g i n f e c t e dc a s e sw i t hd i f f e r e n tv a l u e给定治愈率分别为 ,不同的取值下西安市现有确诊人数对比关系如图所示.以 年 月 日为初始时间,若平均治愈时间为d,则现有确诊人数将于第 天出现峰值(人);若平均治愈时间为 d,则现有确诊人数将于第 天出现峰值(人);若平均治愈时间为 d,则现有确诊人数将于第 天出现峰值(人).这是因为平均治愈时间越短,治愈率就越大,所以随着平均治愈时间的增长,现有确诊人数也会不断增长,导致现有确诊人数出现峰值的时间越晚,并且全面清零时间也越晚.图不同取值下现有确诊人数对比F i g C o m p a r i n g t h en u m b e ro f e x i s t i n g i n f e c t e dc a s e sw i t hd i f f e r e n tv a l u e 结语考虑感染者在核酸检测阳性前的潜伏期以及防控隔离和医学追踪隔离等隔离措施的效果,构建了具有时滞的新冠肺炎传播动力学模型(S IR模型),给出了平衡点的分类以及平衡点全局稳定的条件.利用西安市新冠疫情数据对模型参数进行了估计,并对其疫情发展趋势进行了预测.模型理论分析表明,防控隔离和医学追踪隔离等措施对疫情大面积传播有重要抑制作用,具有时滞的S IR传染病动力学模型可用于C OV I D 疫情传播行为分析,可为疫情防控策略的制定提供理论支撑.参考文献:余锦芬,宋玉凯,费菲,等基于机器学习和动力学模型的湖北省新型冠状病毒肺炎疫情分析J生物医学工程研究,():,付吉丽,黄立强,王玉文基于新型冠状病毒传播的数学模型研究J哈尔滨师范大学(自然科学学报),():G o u n a n eS,B a r k o u c hY,A t l a sA,e ta l A nA d a p t i v eS o c i a lD i s t a n c i n gS I R M o d e lf o rC o v i D D i s e a s eS p r e a d i n ga n dF o r e c a s t i n gJE p i d e m i o l o g i cM e t h o d s,(s):喻孜,张贵清,刘庆珍,等基于时变参数 S I R模型的C OV I D 疫情评估和预测J电子科技大学学报,():周涛,刘权辉,杨紫陌,等新型冠状病毒肺炎基本再生数的初步预测J中国循证医学杂志,():范如国,王奕博,罗明,等基于S E I R的新冠肺炎传播模型及拐点预测分析J电子科技大学学报,():曹盛力,冯沛华,时朋朋修正S E I R传染病动力学模型应用于湖北省 冠状病毒病(C OV I D )疫情预测和评估J浙江大学学报(医学版),():林俊锋基于引入隐形传播者的S E I R模型的C OV I D 疫情分析和预测J电子科技大学学报,():于凯,白西柯,郭煜婕基于延迟效应的S A I R D模型对新冠肺炎疫情的分析预测及防控策略研究J齐齐哈尔大学学报(自然科学版),():严阅,陈瑜,刘可伋,等基于一类时滞动力学系统对新型冠状病毒肺炎疫情的建模和预测J中国科学(数学),():张李盈,李东宸,任景莉多阶段动态时滞动力学模型的C O V I D 传播分析J武汉大学学报(信息科学版),():李倩,肖燕妮,吴建宏,等 C OV I D 疫情时滞模型构建与确诊病例驱动的追踪隔离措施分析J应用数学学报,():第 卷董庆来等:一类具有时滞的C OV I D 动力学模型及传播预测 Y a n gF a n g f a n g,Z h a n gZ i z h e n AT i m e d e l a yC OV I D P r o p a g a t i o n M o d e lC o n s i d e r i n gS u p p l yC h a i n T r a n s m i s s i o na n dH i e r a r c h i c a lQ u a r a n t i n eR a t eJ A d v a n c e si nD i f f e r e n c eE q u a t i o n s,():K u a n gY D e l a yD i f f e r e n t i a lE q u a t i o n sw i t h A p p l i c a t i o n si nP o p u l a t i o nD y n a m i c sMB o s t o n:A c a d e m i c sP r e s s,AD y n a m i c sM o d e l o fC O V I D w i t hT i m e l a ga n dD i s s e m i n a t i o nP r e d i c t i o nD ONGQ i n g l a i,Z HOUC h u y u,L I UP i n(C o l l e g eo fM a t h e m a t i c sa n dC o mp u t e rS c i e n c e,Y a n a nU n i v e r s i t y,Y a n a n ,C h i n a)A b s t r a c t T h ep u r p o s eo f t h i s e s s a y i s t oe s t a b l i s ha c l a s so f n e wc o r o n a v i r u sd i s e a s e t r a n s m i s s i o nd y n a m i cm o d e l(S IR)w i t h t i m e l a g t h a t c a nb eu s e d t oe v a l u a t e t h eo u t b r e a ko fC o r o n aV i r u sD i s e a s e (C OV I D )Ac l a s so f t r a n s m i s s i o nd y n a m i cm o d e l(S IR)w i t ht i m e l a gw a sc o n s t r u c t e dt od e s c r i b et h e i n c u b a t i o np e r i o do f i n f e c t e dp a t i e n t sb e f o r ep o s i t i v en u c l e i ca c i dt e s t C o n s i d e r i n gt h ee f f e c to f i s o l a t i o nm e a s u r e ss u c ha sp r e v e n t i v ea n dc o n t r o l i s o l a t i o na n dm e d i c a l f o l l o w u pi s o l a t i o n,t h e i n f e c t e dp a t i e n t sw a sd i v i d e d i n t ot w oc a t e g o r i e s(o n ew i t h i n f e c t i o u s a b i l i t ya n do n ew i t hn e g l i g i b l e i n f e c t i o u s a b i l i t yd u e t o i s o l a t i o n)T h ec l a s s i f i c a t i o no fe x i s t e n c e,b o u n d e d n e s sa n de q u i l i b r i u mp o i n t so fu n d e r s t a n d i n gi sd i s c u s s e di nd e t a i l T h eg l o b a l s t a b i l i t yo f e q u i l i b r i u mp o i n t s i sp r o v e db y t h eL y a p u n o v L a S a l l e i n v a r i a n c ep r i n c i p l e T h ed y n a m i cp a r a m e t e r so f t h eS IRm o d e lw e r e f i t t e d t oo b t a i n t h ep r e d i c t i o na n de v a l u a t i o no f t h eC OV I D e p i d e m i c i nX i a nb a s e do nt h ee p i d e m i cd a t af r o m D e c e m b e r,t oJ a n u a r y,T h et h e o r e t i c a le s t i m a t i o no f t h ee p i d e m i cb yt h eS IRi n f e c t i o u sd i s e a s ed y n a m i cm o d e lw i t ht i m e l a gw a s i ng o o da g r e e m e n tw i t ht h ea c t u a ls i t u a t i o no f t h ee p i d e m i c i nX i a n T h eS IRi n f e c t i o u sd i s e a s ed y n a m i c sm o d e lw i t ht i m e l a gc a nb eu s e d t oa n a l y z e t h e t r a n s m i s s i o nb e h a v i o r o fC OV I D ,a n dc a np r o v i d e t h e o r e t i c a l s u p p o r tf o r t h ed e v e l o p m e n to f e p i d e m i cp r e v e n t i o na n dc o n t r o l s t r a t e g i e s K e yw o r d s A p p l i e dm a t h e m a t i c s;C OV I D ;D y n a m i c sm o d e lw i t ht i m e l a g;S t a b i l i t y;L y a p u n o v L a S a l l ei n v a r i a n c ep r i n c i p l e(本文责编:毛鸿艳)甘 肃 科 学 学 报 年第期