行波法与积分变换法市公开课金奖市赛课一等奖课件.pptx

,数学物理方程与特殊函数,第3章行波法与积分变换法,第三章 行波法与积分变换法,一 行波法,合用范围：,无界域内波动方程，等,1 基本思想：,先求出偏微分方程通解，然后用定解条件拟定特解。这一思想与常微分方程解法是同样。,关键环节：,通过变量变换，将波动方程化为便于积分齐次二阶偏微分方程。,第1页,第1页,第2页,第2页,一维波动方程达朗贝尔公式,行波法,第3页,第3页,结论：达朗贝尔解表示沿,x,轴正、反向传播两列波速为,a,波叠加，故称为行波法。,a.只有初始位移时，,代表以速度,a,沿,x,轴正向传播波,代表以速度,a,沿,x,轴负向传播波,4 解物理意义,b.只有初始速度时：,假使初始速度在区间 上是常数，而在此区间外恒等于,0,第4页,第4页,解：将初始条件代入,达朗贝尔公式,5 达朗贝尔公式应用,第5页,第5页,影响区域,决定区域,依赖区间,特性线,特性变换,行波法又叫特性线法,6 相关概念,第6页,第6页,7 非齐次问题处理,利用叠加原理将问题进行分解：,第7页,第7页,利用齐次化原理，若 满足：,则：,令：,第8页,第8页,从而原问题解为,第9页,第9页,第10页,第10页,双曲型方程,椭圆型方程,抛物型方程,特性方程,第11页,第11页,例1,解定解问题,解,第12页,第12页,例2,求解,解：特性方程为,令：,第13页,第13页,例3,求解,Goursat,问题,解,：令,第14页,第14页,补充作业：,解定解问题,第15页,第15页,二 积分变换法,1 傅立叶变换法,傅立叶变换性质,微分性,位移性,积分性,相同性,傅立叶变换定义,偏微分方程变常微分方程,第16页,第16页,例1,解定解问题,解,：利用傅立叶变换性质,第17页,第17页,第18页,第18页,例2,解定解问题,解,：利用傅立叶变换性质,第19页,第19页,2 拉氏变换法,拉普拉斯变换性质,微分性,相同性,拉普拉斯变换定义,偏微分方程变常微分方程,第20页,第20页,例3,解定解问题,解,：对,t,求拉氏变换,第21页,第21页,例4,解定解问题,解,：对,x,求傅氏变换,对,t,求拉氏变换,第22页,第22页,第23页,第23页,例5,解定解问题,解,：对,t,求拉氏变换,对,x,求傅氏变换,第24页,第24页,第25页,第25页,例6,求方程,满足边界条件 ，,解。,解法一：,第26页,第26页,解法二：对,y,求拉氏变换,第27页,第27页,例7,解定解问题,解,：对,t,取拉氏变换,x,取傅立叶,变换,其中,第28页,第28页,第29页,第29页,第30页,第30页,第31页,第31页,3 积分变换法求解问题环节,对方程两边做积分变换将偏微分方程变为常微分方程,对定解条件做相应积分变换，导出新方程变为定解条件,对常微分方程，求原定解条件解变换式,对解变换式取相应逆变换，得到原定解问题解,4 积分变换法求解问题注意事项,如何选取适当积分变换,定解条件中那些需要积分变换，那些不需取,如何取逆变换,思考,利用积分变换办法求解问题好处是什么？,第32页,第32页,