复习参考题.doc

平面向量
[A组　高考达标]
一、选择题
1．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，＝(2,4)，＝(1,3)，则＝(　　)
A．(2,4)　　　　　　　　 B．(3,5)
C．(1,1) D．(－1，－1)
C　[＝＝－＝(2,4)－(1,3)＝(1,1)．]
2．在等腰梯形ABCD中，＝－2，M为BC的中点，则＝(　　)
【导学号：04024048】
A.＋ B.＋
C.＋ D.＋
B　[因为＝－2，所以＝2.又M是BC的中点，所以＝(＋)＝(＋＋)＝＝＋，故选B.]
3．(2017·山西四校联考)向量a，b满足|a＋b|＝2|a|，且(a－b)·a＝0，则a，b的夹角的余弦值为(　　)
A．0 B.
C. D.
B　[(a－b)·a＝0⇒a2＝b·a，|a＋b|＝2|a|⇒a2＋b2＋2a·b＝12a2⇒b2＝9a2，所以cos〈a，b〉＝＝＝.
故选B.]
4．(2017·黄山二模)已知点A(0,1)，B(－2,3)，C(－1,2)，D(1,5)，则向量在方向上的投影为(　　)
A. B．－
C. D．－
D　[由题意知＝(－1,1)，＝(3,2)，所以在方向上的投影为＝＝＝－，故选D.]
5．(2016·武汉模拟)将＝(1,1)绕原点O逆时针方向旋转60°得到，则＝(　　)
A. B.
C. D.
A　[由题意可得的横坐标x＝cos(60°＋45°)＝＝，纵坐标y＝sin(60°＋45°)＝＝，则＝，故选A.]
二、填空题
6．(2017·济南一模)设向量a与b的夹角为θ，若a＝(3，－1)，b－a＝(－1,1)，则cos θ＝________.
　[由题意知b＝(b－a)＋a＝(2,0)，所以cos θ＝＝＝.]
7．(2017·东北三省四市联考)两个单位向量a，b满足a⊥b，且a⊥(xa＋b)，则|2a－(x＋1)b|＝________.
　[因为a⊥b，所以a·b＝0，又a⊥(xa＋b)，所以a·(xa＋b)＝xa2＋a·b＝x＝0，所以|2a－(x＋1)b|2＝|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝5，所以|2a－(x＋1)b|＝.]
8．已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．
　[∵⊥，∴·＝0，
∴(λ＋)·＝0，
即(λ＋)·(－)＝λ·－λ2＋2－·＝0.
∵向量与的夹角为120°，||＝3，||＝2，
∴(λ－1)×3×2×cos 120°－9λ＋4＝0，解得λ＝.]
三、解答题
9．设向量a＝(sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈.
(1)若|a|＝|b|，求x的值；
(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．
[解](1)由|a|2＝(sin x)2＋(sin x)2＝4sin2 x，
|b|2＝(cos x)2＋(sin x)2＝1，
及|a|＝|b|，得4sin2x＝1． 4分
又x∈，从而sin x＝，
所以x＝． 6分
(2)f(x)＝a·b＝sin x·cos x＋sin2 x
＝sin 2x－cos 2x＋
＝sin＋，9分
当x＝∈时，sin取最大值1.
所以f(x)的最大值为． 12分
10．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c.已知·＝2，cos B＝，b＝3.求：
(1)a和c的值；
(2)cos(B－C)的值.
【导学号：04024049】
[解](1)由·＝2得cacos B＝2． 1分
因为cos B＝，所以ac＝6． 2分
由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accos B.
又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×2＝13.
解
得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2． 4分
因为a>c，所以a＝3，c＝2． 6分
(2)在△ABC中，sin B＝＝＝， 7分
由正弦定理，得sin C＝sin B＝×＝. 8分
因为a＝b>c，所以C为锐角，因此cos C＝＝＝．
10分
于是cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C＝×＋×＝． 12分
[B组　名校冲刺]
一、选择题
1．(2017·东莞二模)如图3­1所示，已知＝3，＝a，＝b，＝c，，则下列等式中成立的是(　　)

图3­1
A．c＝b－a B．c＝2b－a
C．c＝2a－b D．c＝a－b
A　[因为＝3，＝a，＝b，所以c＝＝＋＝＋＝＋(－)＝－＝b－a，故选A.]
2．(2017·深圳二模)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝，若n⊥(t m＋n)，则实数t的值为(　　)
A．4 B．－4
C. D．－
B　[∵n⊥(tm＋n)，∴n·(t m＋n)＝0，
即tm·n＋|n|2＝0，
∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0.
又4|m|＝3|n|，∴t×|n|2×＋|n|2＝0，
解得t＝－4.故选B.]
3．如图3­2，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，＝2，则·等于(　　)

图3­2
A．－ B．－
C．－ D．－
B　[∵＝2，圆O的半径为1，
∴||＝，
∴·＝(＋)·(＋)＝2＋·(＋)＋·＝2＋0－1＝－.]
4．△ABC外接圆的半径等于1，其圆心O满足＝(＋)，||＝||，则向量在方向上的投影等于(　　)
【导学号：04024050】
A．－ B.
C. D．3
C　[由＝(＋)可知O是BC的中点，即BC为外接圆的直径，所以||＝||＝||.又因为||＝||＝1，故△OAC为等边三角形，即∠AOC＝60°，由圆周角定理可知∠ABC＝30°，且||＝，所以在方向上的投影为||·cos∠ABC＝×cos 30°＝，故选C.]
二、填空题
5．已知平面向量a与b的夹角为，a＝(1，)，|a－2b|＝2，则|b|＝__________.
2　[由题意得|a|＝＝2，则|a－2b|2＝|a|2－4|a||b|cos〈a，b〉＋4|b|2＝22－4×2cos|b|＋4|b|2＝12，解得|b|＝2(负舍)．]
6．已知非零向量与满足·＝0, 且|－|＝2，点D是△ABC中BC边的中点，则·＝________.
【导学号：04024051】

－3　[由·＝0得与∠A的角平分线所在的向量垂直，所以AB＝AC，⊥.又|－|＝2，
所以||＝2，
所以||＝，
·＝－·＝－||2＝－3.]
三、解答题
7．已知向量a＝，b＝(2cos ωx,3)(ω>0)，函数f(x)＝a·b的图象与直线y＝－2＋的相邻两个交点之间的距离为π.
(1)求ω的值；
(2)求函数f(x)在[0,2π]上的单调递增区间．
[解] (1)因为向量a＝，b＝(2cos ωx，3)(ω>0)，所以函数f(x)＝a·b＝4sincos ωx＝4cos ωx＝2·cos2ωx－2sin ωxcos ωx＝(1＋cos 2ωx)－sin 2ωx＝2cos＋， 4分
由题意可知f(x)的最小正周期为T＝π，
所以＝π，即ω＝1． 6分
(2)易知f(x)＝2cos＋，当x∈[0,2π]时，2x＋∈，8分
故2x＋∈[π，2π]或2x＋∈[3π，4π]时，函数f(x)单调递增， 10分
所以函数f(x)的单调递增区间为和． 12分
8．已知△ABC的周长为6，且||，||，||成等比数列，求：
(1)△ABC面积S的最大值；
(2)·的取值范围.
【导学号：04024052】
[解]　设||，||，||依次为a，b，c，则a＋b＋c＝6，b2＝ac． 2分
在△ABC中，cos B＝＝≥＝，故有0＜B≤， 4分
又b＝≤＝，从而0＜b≤2． 6分
(1)S＝acsin B＝b2sin B≤·22·sin ＝，当且仅当a＝c，且B＝，
即△ABC为等边三角形时面积最大，即Smax＝． 8分
(2)·＝accos B＝＝＝＝－(b＋3)2＋27． 10分
∵0＜b≤2，∴2≤·＜18，
即·的取值范围是[2,18)． 12分

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