镜像法6题.pdf

1一个半径为a的接地导体球，在球外与球心 O 相距d1的 P 点有一个点电荷 q。试用镜像法求球外任一点的电位函数；如果导体球不接地，球外任一点电位分布有什么变化？解：(1)当点电荷 q 置于导体附近时，导体球表面感应出负电荷，球外一点的电位应由点电荷 q 和感应电荷共同产生。采用镜像法求解时，为不改变导体球外的电荷分布，镜像必须取在导体球内。又因球对称性，镜像电荷q1必定和点电荷q及球心在同一直线上P1点。这时镜像电荷q1代替导体表面的感应负电荷。在球外任一点的电位可等效为 q 与1q共同产生，但满足边界条件：在球面上电位为 0。aor1qqd2r1r1daop1qq2p1pd2R1R1d 边界条件：044)(201102RqRqp（P2为球面上任一点）121RRqq 求 q1的位置 d，d 使121RRqq=常数，则 op2p1op2p addaRR112，12dad qdaqRRq1121 球外一点的电位)1(444)(121021010drarqrdaqrqr （2）若球面不接地，即电位不为 0，则球面上感应净电荷为 0，为满足该条件，在球面内靠近 q 处距球心d处放 q1，且再需放入 12qq，因为球面电位为一常数，所以2q放在球心。rqrqrqr0220110444)()1(412110rdardarq 球面电位为100244)(dqaqa 其中，cos212211rdrdr，cos2222drrdr 2 为a的导体球带电量为 Q，在球外与球心 O 的相距d1的 P 点有一个点电荷 q。试用镜像法求球外任一点的电位函数；如果导体球接地，球外任一点电位分布有什么变化？解：设用球内一镜像电荷q代替球面上的感应电荷对球外空间电场的作用，q与q在球面处电位为 0，再设想在球心放置一电荷Qq，使球面为等电位面，且保证由球面发出的总电通量为 Q 保持不变。aorqqpdrR1d 1aqqd，21add （1）01()()4QqqqrrrR （2）)(41)(0Rqrqr 其中，2222112cos,2cosrdrdrRdrd r 3一导体球壳，内半径为 a，外半径为 b，在距球心为 h（ha）处有一点电荷 q。导体球壳接地，试求：空间任一点的电位以及 q 受到的电场力。解：由于点电荷位于导体球壳内，无论导体球壳是否接地，在内表面上分布着总电量为q的感应电荷，并且可用位于hah2 处的像电荷 haqq 来代替，且q与点电荷q在半径为 a 的球面上的总电位为零电位。baoqhbaorpqqhhRR 设球壳接地时，外表面上没有电荷，空间任意一点的电位为：)(cos21cos214)(021242212201arrhaarhrhhrqar 4一导体球壳，内半径为 a，外半径为 b，在距球心为 h（hb）并且使球壳内的电位增加bqQ04)(，即 bqQ024 （rb）处有一点电荷 q。导体球壳接地，试求：空间任一点的电位以及 q 受到的电场力。解：由于点电荷位于导体球壳外，所以感应电荷分布在球壳的外表面上。又因导体球壳接地，用位于hbh2 处的像电荷 hbqq 来代替感应电荷，空间任一点的电位：41400rhqbQhhRqbRqbhqbQh brbr 式中2122cos2rhhrR，212222cos)(2)(hbrhbrR。点电荷 q 受到的静电力等于q对 q 的作用力，因此有 baoqhbaorqqphRRh 4220hqhhqqF 6一导体球壳，内半径为 a，外半径为 b，在距球心为 h（hb）处有一点电荷 q。导体球壳不接地，且带有总电荷量为 Q 的电荷。试求：空间任一点的电位以及 q 受到的电场力。解：由于点电荷位于导体球壳外，所以感应电荷分布在球壳的外表面上。又因导体球壳不接地且带有总电荷 Q，除用位于hbh2 处的像电荷 hbqq 来代替感应电荷外，球面上还有电荷 qQ。由于导体球壳的表面是等电位，故可用位于球心处的等量电荷qQq 来代替。空间任一点的电位：41400rhqbQhhRqbRqbhqbQh brbr 式中2122cos2rhhrR，212222cos)(2)(hbrhbrR。点电荷 q 受到的静电力等于q和q 对 q 的作用力，因此有 4220hqhhqqF=2422222320bhhqhbbQhq baoqh baorqqphRRh