第7章 静电场.doc

第七章 静电场
问题
7-1 设电荷均匀分布在一空心均匀带电的球面上，若把另一点电荷放在球心上，这个电荷能处于平衡状态吗？如果把它放在偏离球心的位置上，又将如何呢？
解 我们先考虑电荷均匀分布的带电球面在球内的电场强度的分布情况，由
来判断某处点电荷是否能处于平衡状态。
对于球心处，由于球面电荷分布均匀，球面上各点的电荷在球心处的电场强度在各个方向上都是均衡的，又由于电场强度为矢量，所以其合矢量为零，
偏离球心的任一点处的电场强度可以由高斯定律求得，根据球面电荷分布的对称性，我们选取过点、与带电球同心的球面为高斯面。利用高斯定理有，所以在点处的电场强度也为零。
由上分析可知，在均匀带电的球面内任一点（球心或者偏离球心）处放一点电荷，此电荷受到的合力都为零，都能处于平衡状态。

7-2 在电场中某一点的电场强度定义为，若该点没有试验电荷，那么该点的电场强度又如何？为什么？
解 该点电场强度不会改变。因为电场强度反映的是电场本身的性质，它是电场本身的属性，与试验电荷的存在与否无关。

7-3 我们分别介绍了静电场的库仑力的叠加原理和电场强度的叠加原理。这两个叠加原理是彼此独立没有联系的吗？
解 这两个叠加原理并非彼此独立，而是相互联系的。这两个叠加原理都是矢量叠加原理，电场强度的叠加原理是由库仑力的叠加原理推导而来的。

7-4 电场线能相交吗？为什么？
解 不能相交。由电场线性质可知，电场中任一点的电场强度的方向与此处电场线切线方向。若两条电场线相交，则相对于不同的电场线，相交处的电场强度有不同的方向，而电场中一点的电场强度只能有一个确定的方向，所以电场线不能相交。

7-5 如果穿过曲面的电场强度通量，那么，能否说此曲面上每一点的电场强度也必为零呢？
解 不能。由知，穿过曲面的电场强度通量不仅与电场强度的大小有关，而且还与所取的曲面有关。若组成曲面的各个面积元的单位法线矢量与该处的电场强度之间的夹角均为，则，但曲面上各点的电场强度并不为零。

7-6 若穿过一闭合曲面的电场强度通量不为零，是否在此闭和曲面上的电场强度一定是处处不为零？
解 不一定。如右图为两个等量电荷，穿过闭合曲面的电场强度通量为，但是在曲面上点处，即两电荷的中心处，电场强度为零。

7-7 一点电荷放在球形高斯面的球心处。试讨论下列情形下电场强度通量的变化情况：（1）若此球形高斯面被一与它相切的正方形表面所代替；（2）点电荷离开球心，但仍在球内；（3）有另一个电荷放在球面外；（4）有另一个电荷放在球面内。
解 由高斯定理，通过任一闭合曲面的电场强度通量，等于该曲面所包围的所有电荷的代数和除以. 对于情况(1)、(2)、(3)，面内的电荷代数和没有变，电场强度通量不变。在第（4）种情况中，电场强度通量随面内电荷数改变而改变。

7-8 下列几个带电体能否用高斯定理来计算电场强度？为什么？作为近似计算，应如何考虑呢？（1）电偶极子；（2）长为的均匀带电直线；（3）半径为的均匀带电圆盘。
解 以上几个带电体都不能用高斯定理来计算电场强度，因为它们在空间的电场分布没有对称性，所以通常用电场强度的叠加原理直接求解。在近似计算中，对于带电直线，当考虑的场点到直线的距离远小于带电直线的长度时，可以利用高斯定理求解；对于均匀带电圆盘，当场点到圆盘的距离远小于圆盘线度时，也可以利用高斯定理求解。

7-9 电荷从电场中的点移到点，若使点的电势比点的电势低，而点的电势能又比点的电势能要大，这可能吗？说明之。
解 可能。电势能是电荷处于电场中所具有的能量，它不仅与两点间电势差有关，还与电荷有关。若电荷为负，将它从电场中的点移到点，电场力做负功，电势能增加，电荷在点的电势能比点的电势能要大。

7-10 当我们认为地球的电势为零时，是否意味着地球没有净电荷呢？
解 不是，电势为零与是否有静电荷并无直接关系。

7-11 在雷雨季节，两带正、负电荷的云团间的电势差可达，在它们之间产生闪电通过的电荷。说明在此过程中闪电所消耗的电能相当于发电机在多长时间里发出的电能。
解 在此过程中闪电所消耗的电能为，它相当于发电机在，即大约内发出的电能。

7-12 已知无限长带电直线的电场强度为，我们能否利用

并使无限远处的电势为零（），来计算“无限长”带电直线附近点的电势？
解 对于电荷分布在有限空间的情况，我们通常取无限远处为参考点，但对于“无限长”带电直导线产生的电场，不能取无限远处为零电势参考点，应该在场内选择一适当的参考点。例如可以取与直导线相距为处的电势为零。

7-13 在电场中，电场强度为零的点，电势是否一定为零？电势为零的点，电场强度是否一定为零？试举例说明。
解 电场强度为零的点，电势不一定为零。例如，电荷为、半径为的均匀带电球壳内电场强度为零，但壳内各处的电势并不为零，而应与球壳表面的电势相等，大小为.
电势为零的点，电场强度不一定为零。例如，电偶极子中垂线上电势为零，但电场强度并不为零。

7-14 电场中，有两点的电势差为零，如在两点间选一路径，在这路径上，电场强度也处处为零吗？试说明。
解 不一定，由可知，两点间电势差还与路径选择有关。例如匀强电场中，对于垂直电场强度方向的平面上的任意两点电势差为零，但连接这两点的任一路径的电场强度均不为零。

习题
7-1 1964年，盖尔曼等人提出基本离子是由更基本的跨克构成，中子就是由一个带的上夸克和两个带的下夸克构成，将夸克作为经典粒子处理（夸克线度约为），中子内的两个下夸克之间相距，求它们之间的斥力。
解 由题意可知，夸克可视为经典粒子，由库仑定律

7-2 质量为，电荷为的电子以圆轨道绕氢核旋转，其初动能为，证明电子的旋转频率满足

其中是真空电容率，电子的运动可视为遵守经典力学定律。
证明 由于电子、氢核的大小（）远小于圆轨道半径（），所以可以将电子和氢核视为点电荷，电子绕氢核作圆周运动的向心力由电子、氢核间的库仑力提供，即
（1）
由上式可得电子运动的动能为
（2）
又电子旋转的角速度
（3）
由（2）（3）式可得电子的旋转频率为

7-3 在氯化铯晶体中，一价氯离子与其最邻近的八个一价铯离子构成如图所示的立方晶格结构。（1）求氯离子所受的库仑力；（2）假设图中箭头所指处缺少一个铯离子（称作晶格缺陷），求此时氯离子所受的库仑力。

解 （1）晶体中氯离子、铯离子均可视为点电荷，氯离子与铯离子相互作用力沿立方体体对角线，由对称性，氯离子所受到总的库仑力为零。
（2）由第一问可知，缺陷以外的铯离子对氯离子总的作用力与在缺陷处的铯离子对氯离子的作用力大小相等，方向相反，即

其方向如图所示。

7-4 两个点电荷所带电荷之和为，问它们各带同号电荷为多少时，相互之间的作用力最大？
解 设其中一个点电荷带电量为，由题意可知另一个点电荷带电量为，则两电荷之间的相互作用力为

由极值条件可得

此时
所以当两点电荷带等量电荷时，其相互作用力达到最大。

7-5 若电荷均匀地分布在长为的细棒上，求证：
（1）在棒的延长线，且离棒中心为处的电场强度为

（2）在棒的垂直平分线上，离棒为处的电场强度为

若棒为无限长（即），试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比较。
证明 这是求解电荷连续分布电荷体系的电场强度。如图所示建立坐标系，坐标原点在细棒中心，坐标轴沿细棒方向。电荷均匀分布的细棒上电荷线密度为，在细棒上距原点处取长度为的电荷元，因此，
则它在点产生的电场强度为

为电荷元与点的距离。
（1）若点在棒的延长线上，细棒上各电荷元在点的电场强度均沿轴，

考虑到，所以点处电场强度大小为

（2）若点在棒的垂直平分线上，由对称性可知，点电场强度沿轴，

为电荷元与点连线与轴方向的夹角，由图可知，且，所以点处电场强度大小为

若棒为无限长（即），由上式可得

此结果与无限长均匀带电直线的电场强度分布相同，说明当空间点与带电棒的距离远远小于棒的线度（即）时，可将带电棒视为无限长带电直线。

7-6 一半径为的半圆细环上均匀地分布电荷，求环心处的电场强度。
解 如图所示，以细环圆心为原点建立坐标系，半圆细环可看作电荷均匀分布的半圆细弧线，在弧线上取弧长为的电荷元，则，它在环心（即原点）处的电场强度为

又由于圆环电荷对于轴呈对称性分布，整个半圆环在环心处的电场强度沿轴的分量为零，即，环心处电场强度只有在轴方向的分量，即

又，带入上式变换积分元可得

其方向沿轴负方向。

7-7 一半径为均匀带电的半球壳，电荷面密度为，求球心处电场强度的大小。
解 如图所示，以半球球心为原点，半球对称轴所在的直线为轴，由对

称性知，球心处总的电场强度方向平行于轴。我们在垂直于轴的方向将半球壳分割成一组平行的带电细圆环，球心处的电场强度为各个圆环在点场强的叠加。由教材可知，带电量为的细圆环在其轴线上，距离圆心为的处的场强大小为 ，方向沿圆环轴线方向。
取分割后所得的细圆环为电荷元，则，它在球心处的电场强度为

又由几何关系，圆环离球心的距离为，圆环半径为，所以，

将上式积分可得

7-8 两条无限长平行直导线相距为，均匀带有等量异号电荷，电荷线密度为。（1）求两导线构成的平面上任意一点的电场强度（设该点到其中一线的垂直距离为）；（2）求每一根导线上单位长度导线受到另一根导线上电荷作用的电场力。
解 （1）如图，点为两导线构成的平面上一点，取点到导线的垂线段所在的直线为轴，点处的电场强度可看作两无限长导线在此处场强的叠加，由习题7-5结论可知，无限长带电导线在与之相距为的位置所激发的场强为，所以点的场强为

（2）单位长度导线受到的电场力等于单位长度上的电荷与另一根导线在此处激发的电场强度，设、分别为正负带电导线单位长度所受到的电场力，则由上一问可知

由上可知，两带异号电荷的无限长导线相互吸引。

7-9 设匀强电场的电场强度与半径为的半球面对称轴平行，试计算通过此半球面的电场强度通量。
解 本题有两种解法。

方法一：由电场强度通量的定义求解，即
在球面上，不同位置处的小面元与电场强度方向的夹角也不同，要得到上式积分，我们选取球坐标系。在球坐标系中，

所以

方法二：由高斯定理求解。取半径为的圆与半球面组成的闭合曲面为高斯面，此曲面内包含的电荷量为零，所以由高斯定理有

所以通过半球面的电场强度通量为

方向与方向相反，由上式可得

7-10 地球周围的大气犹如一部大电机，由于雷雨云和大气气流的作用，在晴天区域大气电离层总是带有大量的正电荷，地球表面必然带有负电荷，晴天大气电场平均电场强度约为，方向指向地面，试求地球表面单位面积所带的电荷（以每平方厘米的电子数表示）
解 在地球表面附近取与地球同心的球面为高斯面，其半径近似为地球半径，即，设地球表面所带电荷总量为，由高斯定理

上式中电场强度指向地心，沿法线向外，则地球表面电荷面密度为

所以地球表面每平方厘米的电子数为

7-11 如图所示，一无限大均匀带电薄平板，电荷面密度为，在平板中部有一个半径为的小圆孔，求圆孔中心轴线上与平板相距为的一点的电场强度。

解 要从电场强度定义或者高斯定理直接求解此题比较复杂。由于无限大带电平板、带电圆盘在处的电场强度很容易求得，由电场强度的叠加性，我们可以将处的电场强度看作是一块面密度为的无限大均匀带电薄平板和一个半径为、面密度为的圆盘在此处的电场强度的叠加。
由教材第四节例4可知，无限大带电平板附近的电场强度为

圆盘在在轴线上距其处的电场强度为

其中为沿平面法线向外的单位矢量，在本题中即为中心轴线方向的单位矢量。
所以在点总的电场强度为

由上式可知，当点在圆孔中心处（），
当点离圆孔很远（），，相当于带电平面上的小圆孔对其轴线上的电场强度分布没有影响。

7-12 如图所示，在电荷体密度为的均匀带电球体中，存在一个球形空腔，如将带电体球心指向球形空腔球心的矢量用表示，试证明球形空腔中任意点的电场强度为

证明 本题中带电球体由于空腔的存在不满足球对称，其电场分布也没有对称性，所以无法直接由高斯定理求解。
由题意分析可知，带有空腔的带电球体等效于一个完整的、电荷体密度为的均匀带电球体和一个电荷体密度为、球心在、且与空腔球体等大的带电小球体。则空腔内任一点处的电场强度为这两个球体在此处产生的场强的叠加。
又带电球体内部一点的电场强度为

则在空腔内部任一点总的电场强度为

又，所以

7-13 一无限长、半径为的圆柱体上电荷均匀分布，圆柱体单位长度的电荷为，用高斯定理求圆柱体内距轴线距离为处的电场强度。
解 由于圆柱体无限长，且电荷分布均匀，所以其电场强度沿垂直于轴的径线方向，而且在距轴线等距离处各点的电场强度相等。
如图，取与圆柱体同轴、半径为、长为的圆柱面为高斯面。由前面分析可知电场强度与两个底面平行，与圆柱侧面垂直。所以，通过此高斯面的电场强度通量为

又由题意可知，圆柱体内电荷体密度为，则高斯面内的总电荷量为

由高斯定理得

即

7-14 一个内外半径分别为和的均匀带电球壳，总电荷为，球壳外同心罩一个半径为的均匀带电球面，球面电荷为，求电场分布，电场强度是否为离球心距离的连续函数？试分析。
解 取以球心为原点，半径为的球面为高斯面，由于电荷呈球对称分布，所以电场强度也呈球对称分布，并且高斯面上各点电场强度大小相等，方向均沿径向方向。
由高斯定理可知

其中高斯面内包含的电荷量与有关。
当时，高斯面内电荷，则

当时，高斯面内电荷，则

当时，高斯面内电荷为，则

当时，高斯面内电荷为，则

电场强度随的分布曲线如右：
由曲线可见，电场强度在球面处有一个跃变，电场强度不连续。这一跃变的产生是由于将带电球面的厚度忽略不计的结果。

7-15 两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面，半径分别为和（），单位长度上的电荷为，求离轴线为处的电场强度：（1）；（2）；（3）
解 由于同轴圆柱面无限长，电荷分布均匀，所以其电场强度沿垂直于轴线的矢径方向，且离轴线等距离的各点大小相等，即电场强度分布是沿轴线成对称性分布的。因此我们可以取半径为、高为的同轴圆柱面为高斯面，只有通过圆柱侧面的电场强度通量不为零，即通过此高斯面总的电场强度通量为

由高斯定理

当，，故
当，，故
当，，故

7-16 如图所示，有三个点电荷、、沿一条直线等间距分布，已知其中任一点电荷所受合力均为零，且，求在固定、的情况下，将从点推到无穷远处外力所作的功。
解 将从点推到无穷远处外力所作的功等于此过程电场力作功的负值。电场力作功又可由两种方法求解。方法一是直接利用功的定义，其中是、在空间中产生的合场强。
方法二是利用电场力作功与电势能改变量的关系。
，其中是点的电势，并且令无穷远处电势为零。
由题意可知，三个点电荷受合力均为零，分析受力可得

解得
（1）由于电场力作功与路径无关，设沿轴从移动到无穷远处。、在轴上任一点激发的总的电场强度为

其方向沿轴。
所以将从移动到无穷远处，外力所作的功为

（2）由电势叠加原理，、在点的总电势为

所以将从点推到无穷远处外力所作的功为

7-17 水分子电偶极矩的大小为，求在下述情况下，距离分子为处的电势。（1）；（2）.为与之间的夹角。

解 由点电荷电势的叠加可得电偶极子在距其的点处产生的电势为

（1）当时，点在电偶极子轴线的延长线上，且
，，此时点处的电势为

对于电偶极子有，所以
（2）当时，点在电偶极子轴线的中垂线上，，此时点电势为零，即

7-18 两个同心球面的半径分别为和，各自带有电荷和，求（1）各区域电势的分布，并画出分布曲线；（2）两球面上的电势差为多少？
解 各区域电势的分布可以根据电势与电场强度积分关系来求解，也可以根据电势的叠加原理求得。
方法一 （1）由于电荷分布呈球对称，可以由高斯定理得到区域电场分布

由可得，当时

当时，电势为

当时，电势为

区域电势分布曲线如右：

（2）两球面间的电势差为

方法二 （1）半径为的均匀带电球面在各区域产生的电势为

由叠加原理可得，两个同心球面在各区域产生的电势为

（2）两球面间的电势差为

7-19 一半径为的无限长带电细棒，其内部的电荷均匀分布，电荷密度为，现取棒表面为零电势，求空间电势分布并画出电势分布曲线。
解 由于带电细棒无限长，且电荷均匀分布，所以其产生的电场和电势呈轴对称分布。取高为，半径为且与细棒同轴的圆柱面为高斯面，由高斯定理可得细棒内外的电场强度分布
当时

当时

若取棒表面为零电势，则空间电势分布为
当时
当时
电势随空间位置的分布曲线为

7-20 一圆盘半径，圆盘均匀带电，电荷面密度.(1)求轴线上的电势分布；（2）根据电场强度和电势梯度的关系求电场分布；（3）计算离盘心处的电势和电场强度。
解 （1） 如图所示，将均匀带电圆盘分割成一组同心带电细圆环，则轴线上任一点的电势为这一组细圆环在此处产生的电势的叠加。
取半径为、宽度为的带电细圆环在轴线上点处产生的电势为

将上式半径从积分可得点处总电势为

（2）轴线上任一点电场强度为

其方向沿轴方向。
（3）当场点离盘心的距离为时，由（1）（2）可得

7-21 两根很长的同轴圆柱面（，），带有等量异号电荷，两者的电势差为，求：（1）圆柱面单位长度上带有多少电荷？（2）两圆柱面之间的电场强度。
解 由7-15题可知，两同轴圆柱面之间的电场强度为

所以两柱面之间的电势差为

由上两式可得

7-22 轻原子核（如氢及其同位素氘、氚的原子核）结合成为较重的原子核的过程叫做核聚变，在此过程中可以释放巨大的能量。例如四个氢原子核（质子）结合成一个氦原子核时，可以放出的能量，即

这类聚变反应提供了太阳发光、发热的能源。如果我们能够在地球上实现核聚变，就能获得丰富的廉价能源，但是要实现核聚变难度相当大，只有在极高的温度下，原子热运动的速率非常大时，才能使原子核相碰而结合，故核聚变反应又称热核反应。试估算：（1）一个质子（）以怎样的动能（用电子伏特表示）才能从很远处到达与另一个质子相接触的距离；（2）平均热运动动能达到此值时，气体温度有多高（质子的平均半径约为）.
解 （1）质子上的电荷可以近似成球对称分布，则质子空间中距离质子中心为处的电势为

另一质子从无穷远处向该质子运动的过程中，要克服库仑斥力作功，动能减少、电势能增加。要使两质子可以相碰，则运动质子的初始动能不能低于到达碰撞处时的电势能，即

由以上两式可得，运动质子的动能为

（2）由上一问可知，若氢分子平均热运动动能达到此初始动能大小时，由分子动理论可知

此时气体温度为

可见此温度是非常大的。

7-23 在一次典型的闪电中,两个放电点间的电势差约为,被迁移的电荷约为,如果释放出来的能量都用来使冰变为的水，则可熔解多少冰。
（冰的熔解热）
解 闪电释放出的能量被冰吸收融化成水，可被融化的冰的质量为

7-24 在玻尔的氢原子模型中，电子沿半径为的圆周绕原子核旋转，（1）若把电子从原子中拉出来需要克服电场力作多少功？（2）电子的电离能为多少？
解 （1）电子绕核作圆周运动时的电势能为

所以若把电子从原子中拉出来需要克服电场力作功

（2）电子在轨道上做圆周运动的向心力由静电力提供，即

所以电子运动的动能为

电子总能量为

电子的电离能为