结晶学 第三章 晶体对称性理论.pdf

1第三章 晶体的对称性理论第三章 晶体的对称性理论2什么是对称性？为了清晰对称性理论，我们迫切需要定义“对称图形”这一概念！生活当中许多物品具有一定的对称性；生活当中许多物品具有一定的对称性；晶体的外形和各种性质常具有一定的对称性；晶体的外形和各种性质常具有一定的对称性；选取单位的外形对称性（宏观对称性）应能充分反应空间点 阵的对称性选取单位的外形对称性（宏观对称性）应能充分反应空间点 阵的对称性33.1 对称性概念，对称动作和对称要素3.1 对称性概念，对称动作和对称要素3.1.1 基本概念1、等同图形：1、等同图形：几何学上，将具有对称形象的物体的各部分称为等同图形。等同图形分为相等图形和不相等图形2、相等图形：2、相等图形：完全迭合的等同图形。或称全等图形，例如:花瓣、雪花3、不相等图形：3、不相等图形：互成镜像的等同而不相等图形。例如:左右手4、对称图形：4、对称图形：由两个或两个以上的等同图形构成，并且很有规律地重复着。对称图形中既包括相等图形又包括不相等图形。45、对称动作：将对称图形中某一部分中的任意点带到一个等同部分中的相应点上去，使新图形与原图形重合的动作。如：旋转、反映、倒反、平移6、对称要素：进行对称动作时，必须依据的几何元素，如点、线、面等。7、对 称 性：物体中各等同部分在空间排列的特殊规律性。8、阶 次：对称图形中所包括的等同部分的数目，它代表着对称程度的高低。53.1 对称性概念，对称动作和对称要素1、是否对称图形？2、等同图形？3、对称动作？4、对称要素？3、对称图形阶次？是如图分割3旋转120旋转轴（直线）是如图分割3旋转120旋转轴（直线）举例：三叶小风扇63.1 对称性概念，对称动作和对称要素举例：吉大唐敖庆楼1、是否对称图形？2、等同图形？3、对称图形阶次？4、对称动作？5、对称要素？是如图分割2反映反映面7举例：一朵花，有五个花瓣对称图形：花等同图形：一个花瓣，是相等图形阶 次：5 对称动作：旋 转对称要素：直线8举例：一只蝴蝶两片翅膀对称图形：蝴蝶等同图形：一片翅膀不相等图形阶次：2对称动作：反映对称要素：平面9举例：雪花图案：六个角。对称图形：雪花 等同图形：一个角，相等图形阶次：6 6 对称要素：直线 对称动作：旋转自然界八种雪花的图案10早在公元前的西汉时代，韩诗外传中就 指出：“凡草木花多五出，雪花独六出凡草木花多五出，雪花独六出。”雪的基 本形状是六角形。但在不同的环境下，却可表现 出各种样的形态。世界上有不少雪花图案收集者，他们收集了 各种雪花图案。有人花了毕生精力拍摄了成千上 万张雪花照片，发现将近有六千种彼此不同的雪 花，但他死前认为这不过是大自然落到他手中的 少部分雪花而已。以致于有人说沒有两朵大小和 形状完全相同的雪花。(http:/ 规律。复杂的对称图形，常常含有多种对称要素，这些对称 要素的数量和分布就决定了各等同部分的数量和分布规律。1、是否对称图形？2、等同图形？3、对称图形阶次？4、对称动作？5、对称要素？3.1 对称性概念，对称动作和对称要素正八面体、正六面体（观察模型，找出全部对称要素）143.1 对称性概念，对称动作和对称要素我们不难发现有两类等同图形：等同图形中包括可以完全迭合的图形叫做相等图形，以及互 成镜像的等同而不相等图形，（又称左右手图形）15小结：对称图形等同部分对称动作对称要素阶次相等图形左右手图形图形被均匀分割成几个部分，依据一定的几何元素(点、线、面等)将整个图形进行一定的变换动作后，每个部分都能与原 图形的某个其它部分重合。这样的图形叫做对称图形。16一、旋转对称动作：旋转，符号：L(a)，a为基转角；对称要素：旋转轴，符号：n（轴次，旋转一周重复次数）；例如：三叶小风扇中有3。对应的对称动作有：L()。例如：正八面体中有2、3、4。对应的对称动作有：L()、L()、L()。32223242规律：n2=阶次：n；等同图形：旋转只能使相等图形重合。（绕轴旋转a角度）17二、反映面（以此面为镜面，两侧互为镜像）对称动作：反映，符号：M；对称要素：反映面，符号：m；规律：两个等同部分的对应点之间连线的中点必在反映面上。例如：理化楼建筑有m，对应的对称动作为M。例如：正八面体中有许多m，对应的对称动作为M。阶次：2；等同图形：一次反映只能使左右手图形重合。18三、对称中心（如照相）对称动作：倒反，符号：I；对称要素：对称中心，符号：i；例如：如图3.1.2的图形具有一个i。对应的对称动作为L。例如：正八面体中有一个i。对应的对称动作为L。C CA AB BCCAABBO O规律：两个等同部分的对应点之间 连线的中点必在对称中心上。阶次：2；等同图形：一次倒反只能使左右手图形重合。图3.1.219四、点阵（按照点阵中的平移向量移动）对称动作：平移，符号：T；例如：每一种三维晶体都有一个Tmnp。阶次：；等同图形：平移可使相等图形重合。对称要素：点阵，符号：Tmnp；20五、反 轴(按 轴 旋转a角，再 按 轴 上点倒反)对称动作：旋转倒反(复合)，符号：L(a)I，a为基转角；旋转轴的轴次与基转角的关系为：n2=阶 次：如果n是偶数，反轴的阶次为n；如果n是奇数，反轴的阶次为2n。等同图形：一次旋转倒反只能使左右手图形重合。对称要素：反轴，符号：n（轴次）；例如：1、右图图形具有3312345672142、正四面体有22六、螺旋 轴(先绕 轴 旋转a角，沿 轴 向平移T)对称动作：螺旋旋转(复合)，符号：L(a)T，a为基转角；旋转轴的轴次与基转角的关系为：n2=阶次：；等同图形：螺旋旋转只能使相等图形重合。对称要素：螺旋轴，符号：nm，m为小于n的整数；31例如：三重螺旋轴31。23三重轴、三重螺旋轴、三重反轴示例区别 3 32 31 333233124四重轴、四重螺旋轴、四重反轴示例4243444142434区别4412564656663626126七、滑移面(先按面反映，再平移)对称动作：滑移反映(复合)符号：MT；阶次：；等同图形：既有相等图形又有左右手图形对称要素：滑移面，符号：？；例如：如右图所示图形具有滑移面27aT=a/2MT图3.1.5 具有滑移面的对称图形这与二重螺旋 轴是否相同？28aTaT=a a/2180 旋转T图3.1.5 具有二重螺旋轴的对称图形29有 相 等 图 形 又 有 左 右 手 图 形只 有 相 等 图 形具有滑移面的对称图形具有二重螺旋轴的对称图形30旋转轴反映面对称中心点阵反轴螺旋轴滑移面对称要素 符号 对称动作 符号 等同图形 阶次旋转反映倒反平移旋转倒反螺旋旋转滑移反映n22n或2n相等图形左右手图形左右手图形相等图形左右手图形相等图形相等图形和左右手图形nmiTnnp?L(a)MITL(a)IL(a)TMT小结：31(1)旋转 轴、反映面、对称中心、点阵是简单对称要 素，只与一种简单对称动作对应；而反 轴、螺旋 轴、滑移面是复合对称要素，对应的是复合对称动 作。(2)含倒反、反映的动作只能使不相等(左右手)图形 重合，而不能使相等图形重合；不含倒反、反映的 对称动作只能使相等的图形重合，而不能使含左右 手的图形重合。七类对称要素的总结：32七类对称要素的总结：（3）反映面、对称中心、反 轴，对应的对称动作 是点对称动作，在动作中至少有一点不动，既存 在于无限结构中，又存在于有限晶体外形的结构 中；点阵、螺旋轴、滑移面，对应的对称动作是 空间动作，每一点都移动了，因此只能存在于无 限结构中，而不能存在于有限晶体外形的结构中。（4）旋转轴、螺旋轴、反轴统称对称轴；反映面、滑移面统称对称面。33点阵中的对称要素遵循一些特殊的规律：在空间点阵结构中，任何旋转轴、螺旋轴、反轴必定和点阵中的一组直线点阵平行，而和一组 平面点阵垂直；同理，任何反映面和滑移面必定和 点阵中一组平面点阵平行而和一组直线点阵垂直。3.1.3 对称要素在点阵中的取向例1：空间点阵中的三重旋转轴（3）必定和点阵中 一组直线点阵平行，而和一组平面点阵垂直。34设空间点阵的平移群表示为T，T，满足对称性3 的任意三个向量为T T1、T T2、T T3 属于此平移群T。T。T T1T T23 3可将这些向量在3和3的两个方向分解：T T3b b3b b1a a1a a3a a2b b2T T1=a a1+b b1，T T2=a a2+b b2，T T3=a a3+b b3由3的对称性可知：a a1+a a2+a a3=o，b b1=b b2=b b3 因此三个平移向量的和向量：T T1+T T2+T T3=a a1+b b1+a a2+b b2+a a3+b b3=3b b1它也属于平移群T。T。此点阵中必存在以3b b1 为平移矢量的直线点阵3。证明：我们还可以写出属于平移群T T的另两个向量：T T1 T T2=(a a1+b b1)(a a2+b b2)=a a1 a a2 T T2 T T3=(a a2+b b2)(a a3+b b3)=a a2 a a3 这两个向量都与3垂直，且不平行，可以确定出一个3的平面点阵。351.任何对称轴必定和点阵中的一组直线点阵平行，并和一组平面点阵垂直；2.任何对称面必定和点阵中一组平面点阵平行，并 和一组直线点阵垂直。在空间点阵结构中的对称要素分布具有一定的规律：同学们可以自己给出其他对称轴、对称面的证明！3.1.3 对称要素在点阵中的取向3、对称中心的分布可有规律？36晶体内部的结构是以点阵结构为基础的，其结构要受到 点阵结构的周期性限制。晶体中的对称轴和反轴的轴次不能 是任意的，只能有1、2、3、4、6 五种轴次。3.1.4 晶体中对称轴和反轴的轴次3.1.4 晶体中对称轴和反轴的轴次请同学们在课后 利用点阵理论和 对称性证明这个 结论！近年来，对准晶体的观测和研究中发现有5重轴的对称图像。这与我们的证明是否矛盾？请同学们在课后 利用点阵理论和 对称性证明这个 结论！近年来，对准晶体的观测和研究中发现有5重轴的对称图像。这与我们的证明是否矛盾？2011化学Nobel获奖者.ppt2011化学Nobel获奖者.ppt37晶体中不可能出现五次或高于六次的对称轴，这是由空间格子规律控制的，在空间格子中，垂直 对称轴一定有面网存在，围绕该对称轴转动所形成 的多边形应该符合于该面网上结点所围成的网孔。垂直对称轴所形成的多边形网孔38围绕对称轴2、3、4和6所形成的多边形，都能毫无间隙地布满平面，都符合空间格子的 网孔。但垂直5、7和8所形成的正五边形、正 七边形和正八边形却不能毫无间隙地布满平 面，不符合空间格子的网孔，所以在晶体中不 可能存在五次或高于六次的对称轴，这一规律 称为晶体的对称定律。在一个晶体中，可以无也可以有一种或几 种对称轴，而每一种对称轴也可以有一个或多 个。39宏观地观察晶体，也就是观察晶体的外形，晶体具有一 定的规则整齐的外形，在界面处的界面要素(晶面、晶棱、晶点)之间有一定的对称关系。3.2 晶体的宏观对称性及32个点群3.2 晶体的宏观对称性及32个点群3.2.1 晶体宏观对称要素晶体的宏观对称性：晶体在宏观观察中所表现的对称性。只有那些与点对称动作相应的对称要素才能存在于晶体 的宏观对称性中。由于晶体外形的规则多面体是有限的对称图形。含有“平移”动作(空间对称动作)的对称要素不存在于晶体宏观对称 性中。40旋转轴反映面对称中心点阵反轴螺旋轴滑移面对称要素 符号 对称动作 符号 等同图形 阶次旋转反映倒反平移旋转倒反旋转平移反映平移n22n或2n相等图形左右手图形左右手图形相等图形左右手图形相等图形相等图形和左右手图形nmiTnnp?L(a)MITL(a)IL(a)TMT41与点动作相应的对称要素：旋转轴n，反映面m，对称中心I，反轴 n。3.2.1 晶体宏观对称要素因为晶体点阵的周期性，n 只能取1、2、3、4、6。123又因为：I；m;3+I;3+m。6晶体的宏观对称性只存以下八种独立对称要素：i、m、1、2、3、4、6、4描述六方晶系的某些晶体的宏观对称性很方便，有时也采用。6423.2.2 宏观对称要素的组合及32种对称类型i、m、1、2、3、4、6、4晶体宏观对称性的八种独立对称要素描述一个具体晶体外形所具有的宏观对称要素不外乎是这 八种对称要素的一种或几种的组合。对称要素的一种组合，就对应着一种对称类型。每一种 几何外型都属于一种对称类型。例如：正三棱锥具有的宏观对称要素为：3、3 m正三棱柱具有的宏观对称要素为：3 2、3、4 m3 2、6(3+m)、4 m。共有32种组合方式，称作晶体宏观对称性的32个点群。43组合要符合如下条件：(1)对称要素间是相互作用的，两个对称要素相组合，必然产 生新的对称要素来；(2)对称要素间的组合不是任意的，需要满足：a、参加组合的对称要素必须至少相交于一点。这是因为 晶体的外形是有限的、封闭的多面体。b、晶体是一种点阵结构，对称要素的组合结果不容许产生 与点阵结构不相容的对称要素来。(5、7等)八种独立的对称要素的组合并不是任意的442B.二次轴和二次轴相交，交角为a，则 必产生一个与这两个二次轴垂直的n 次轴，其基转角为2a。A.一个n次轴及与之垂直垂直的一个2次轴 存在时，则必存在n个2次轴,相邻两轴 夹角为2p/2n。人们在研究对称要素的组合规律时曾建立起一系列的公理和定理公理和定理。例如(1)轴与轴的组合2232n222n图3.2.2 三次轴与二次轴的组合图3.2.3 二次轴与二次轴的组合22ap/32a45A.一个反映面包含着n次轴，则必有 n个反映面都包含着这个n次轴，这 些反映面的夹角为2p/2n。(2)面与轴的组合B.两个反映面交角为a，则交线为一 个n次轴，其基转角为2a。nmmm图 3.2.4 包含三次轴的反映面nmmp/3m3图3.2.5 两个反映面的组合mma2an46偶次轴、与之垂直的反映面、对称中心，其中二者组合都会 产生第三者。(3)轴、面、心的组合图3.2.6 2 m&i 组合mi247按以上的原则，将八种的晶体的宏观基本对称要素(i i、m m、1 1、2 2、3 3、4 4、6 6、4 4)，进行组合，一共能够 得到32种组合方式，也叫32个点群。无论多复杂的晶体外形，它一定定属于32点群 中的一个，绝不会找不到它所属的对称类型，也不 会再超出32个点群以外的新类型。32个点群是研究晶体宏观对称性的依据。见表格3.3：48mD3d3、3 2、3 m、i3 23 2D33、3 23 m3 mC3v3、3 mC3i(3+i)33C33三方(三角)m m mD2h3 2、3 m、i2 2 22 2 2D23 2m m2 m mC2v2、2 m正 交C2h2、m、i22C22mmCsm单 斜Cii11C11三 斜国际符号(简写)国际符号(全写)熊夫利符号对称类型符号全部对称要素晶系11m2m2m2m2m23333m23495032个点群有两种符号：熊夫利符号和国际符号(了解 3.2.3)与点对称动作(至少保持一点不动)对应的宏观对称要素一种特殊集合（封闭、结合、有单位、有逆）点群5132个点群按其中包含的特征对称要素划分为七个晶系,根 据对称性的高低将这七个晶系分为高，中，低三个等级：523.2 小结晶体宏观对称性八种独立对称要素对称图形等同部分对称动作对称要素阶次相等图形左右手图形旋转轴反映面对称中心点阵反轴螺旋轴滑移面点阵封闭性取向轴次点动作32个点群组合原则7个晶系i、m、1、2、3、4、6、4533.3 晶体的微观对称性及230个空间群旋转轴反映面对称中心点阵反轴螺旋轴滑移面对称要素 符号 对称动作 符号 等同图形 阶次旋转反映倒反平移旋转倒反旋转平移反映平移n22n或2n相等图形左右手图形左右手图形相等图形左右手图形相等图形相等图形和左右手图形nmiTnnp?L(a)MITL(a)IL(a)TMT在晶体的微观结构中除了存在八种独立宏观对称要素之外，也存在 与空间对称动作相对应的对称要素：点阵、滑移面、螺旋轴。这些在微 观无限空间中所特有的对称要素，称为微观对称要素。54类似于宏观对称要素组合成32个点群一样。包括晶体 的宏观对称要素和微观对称要素在内全部对称要素的一种 组合就构成晶体的一种微观对称类型共230种组合方式。它反映了晶体结构的微观对称性。230种晶体微观对称 性也称为230个空间群。任何一个晶体就其结构而言，必定 属于这230种中的一个，不会出现超出之外的新类型，也不 会在其中找不到。晶体的宏观对称性就是晶体微观对称性的宏观表现。3.3 晶体的微观对称性及230个空间群空间 每种对称类型都含有空间对称动作对应的微观对称要素群-特殊集合（封闭、结合、有单位、有逆）55本章概念对称图形等同部分对称动作对称要素阶次相等图形 左右手图形点对称动作空间对称动作微观对称要素宏观对称要素32个点群230个空间群7个晶系56旋转轴反映面对称中心点阵反轴螺旋轴滑移面对称要素 符号 对称动作 符号 等同图形 阶次旋转反映倒反平移旋转倒反螺旋旋转滑移反映n22n或2n相等图形左右手图形左右手图形相等图形左右手图形相等图形相等图形和左右手图形nmiTnnp?L(a)MITL(a)IL(a)TMT本章概念简单对称动作复合对称动作点对称动作空间对称动作对称轴对称面57实习三：观察模型的对称结构58591、点阵中对称要素取向、轴次规律；2、晶体中8种独立的宏观对称要素及其由来；3、晶体中宏观对称要素的组合原则：轴/轴，面/轴，轴/面/心；4、32个点群的详细由来(Td群，Oh群)；5、7个晶系的分类原则；6、230个空间群的简单理解。本章小结