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寒假专题——圆（一）

二. 教学过程：
圆的有关概念及性质
［复习目标要求］
  1. 理解圆的定义及弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、弓形等概念；理解不在同一直线上三点确定一个圆，了解三角形的外接圆、外心、圆的内接三角形等概念。
  2. 掌握点与圆的位置关系：垂径定理，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理及推论，能熟练地运用这些知识进行有关的计算和证明。

［重点难点突破］
    重点是垂径定理及其推论；圆心角、弧、弦、弦心距的相等关系定理。
    难点是垂径定理及其推论的条件和结论的区分及灵活运用，实现突破的关键是注意基本图形，活用弦心距，同时注意与直角三角形的知识组合。

［中考动向分析］
    首先是充分利用选择题容量较大的特点考查对圆的有关性质的准确理解；其次是利用垂径定理的证题，开放性试题中的作用诠释圆的轴对称性，第三是利用垂径定理与解直角三角形的组合考查学生的几何计算能力；第四是利用圆的有关性质与中位线、相似三角形的组合优势考查学生的几何综合证题能力。

［知识要点及解题方法指导］
（一）圆的有关概念及性质
    圆：到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。
    圆内：圆的内部可以看做是到圆心的距离小于半径的点的集合。
    圆外：圆的外部可以看做是到圆心的距离大于半径的点的集合。
    弦：连结圆上任意两个点的线段叫做弦。
    弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。
    弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形。
    同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。
    等圆：能够重合的两个圆叫做等圆，同圆或等圆的半径相等。
    等弧：同圆或等圆中能够互相重合的弧叫做等弧。
    对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆还是以圆心为对称中心的中心对称图形。
    弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。

  例1. 圆O中，弦AB＝AC，AD是圆O的直径。
    求证：AD平分∠BAC

    证明：作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F
    ∵AB＝AC
    ∴OE＝OF
    ∵△OAE≌△AOF
    ∴∠1＝∠2
    ∴AD平分∠BAC

  例2. 已知：P为圆O中任意一点，AB为过P点的弦，且AB⊥OP，CD为过P点且异于AB的任意一条弦。
    求证：AB＜CD

    证明：作OE⊥CD于E，连结OC、OB，则OE为CD弦的弦心距
    ∵OP⊥AB
    ∴OP为AB弦的弦心距
    在Rt△OPE中
    ∵OP＞OE
    ∴在Rt△OCE和Rt△OBP中，CE＞PB
    ∴2CE＞2PB
    ∴AB＜CD

  例3. 如图：，求证：2CD＞AB

    证明：取中点E，连结AE、BE，则：

    ∴AE＝BE＝CD
    又∵AE＋BE＞AB
    ∴2CD＞AB

  例4. 如图：圆周，AB＝8cm，求圆O直径。

    解：∵圆周的度数为360°
    又圆周
    ∴的度数为90°
    ∴∠AOB＝90°
    ∴OA＝OB

    ∴圆O直径为

（二）点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系
  1. 点和圆的位置关系
位置关系
点在圆内
点在圆上
点在圆外
点到圆心的距离为d，圆的半径为R

  2. 直线和圆的位置关系
位置关系
相离
相切
相交
直线与圆公共点的个数
0
1
2
圆心到直线的距离为d，半径为R

图形

  3. 圆和圆的位置关系
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
（同心圆）
两圆公共
点的个数
0
1
2
1
0
圆心距为d，半径分别为R，r（R＞r）

（）
外公切线
的条数
2
2
2
1
0
内公切线
的条数
2
1
0
0
0

图形

（三）垂直于弦的直径
    垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
    推论1：
    （1）平分弦（不是直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
    （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
    （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
    推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

  例5. 已知：如图，AB为圆O直径，EF为弦，AD、BC垂直于弦，交弦的延长线于D、C。
    求证：DE＝FC

    分析：由已知容易得到AD∥BC，由O为AB中点应想到利用梯形中位线性质，因为题中有垂直条件，故作OH⊥DC于H，利用垂径定理证明。
    证明：作OH⊥DC于H
    ∵AD⊥DC，BC⊥DC
    ∴AD∥OH∥BC
    又∵O为AB中点
    ∴DH＝HC
    又∵OH⊥EF
    ∴EH＝HF
    ∴DE＝FC

  例6. 如图，AB为圆O直径，BC为弦，直径DE过BC中点F。
    求证：

    分析：欲证，由已知得到：，故考虑证。
    证明：∵F为BC中点，DE为圆O直径
    ∴
    又∵∠1＝∠2
    ∴

  例7. 已知：如图，AC为圆O的弦，D为中点，OD交AC于B，若OB＝1cm，DC＝cm，求圆O的直径。

    分析：求半径的长，则应把半径放在一个直角三角形中，利用勾股定理求解（或放到适当的三角形中），从已知，应考虑到垂径定理。
    解：连结OC
    ∵D为中点
    ∴OD⊥AC
    设圆O半径为x cm，则

    根据勾股定理有：
    解得：（舍去）

    ∴圆O的直径为6cm

与圆有关的角
［复习目标要求］
  3. 理解圆心角、圆周角、弦切角的概念，正确辨析圆心角、圆周角、弦切角之间的区别和联系。
  4. 掌握圆周角、弦切角定理及其推论，能熟练地运用这些定理及推论进行有关的计算和证明。

［重点难点突破］
    重点是掌握圆周角、弦切角定理及其推论。
    难点是圆周角、弦切角定理的证明。
    实现突破的关键是用弧建立角与角之间的联系；其次巧妙地利用直径构造直角从而借助直角三角形的知识解题；第三“在同圆或等圆中，等圆周角对等弧”与“圆心角、弧、弦、弦心距”之间的相等关系定理联合使用可以灵活地实现不同等量之间的相互转化，从而给许多问题的证明带来方便。

［中考动向分析］
  1. 通过选择题考查圆心角、圆周角、弦切角定理及其推论的题设条件的准确理解，特别是圆周角定理及其推论；
  2. 以填空题的形式考查三大角的相关计算；
  3. 与切割线定理、解直角三角形组合进行相关的几何计算；
  4. 与相似三角形等的组合，进行比例线段的证明等。

［知识要点及解题方法指导］
（四）与圆有关的角
    弧的度数：将顶点在圆心的周角等分成360份，则每一份的圆心角叫1°的角，°的圆心角所对的弧叫做1°的弧。
    圆心角：顶点在圆心，角的两边与圆相交的角叫圆心角，圆心角与它所对的弧的度数相等。
    圆周角：（1）顶点在圆上，角的两边与圆相交的角叫圆周角。
    （2）圆周角等于它同弧上圆心角的一半。
    （3）同弧或等弧所对的圆周角相等，在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。
    （4）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
    （5）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么，这个三角形是直角三角形。

  例8. 已知三角形ABC内接于圆O，∠A＝60°，，BC＝10，求圆O的直径。

    解：连结CO并延长交圆O于A'，则
    ∠A'＝∠A＝60°
    ∵A'C为圆O直径
    ∴∠A'BC＝90°

  例9. 已知：△ABC内接于圆O，EF是AB的中垂线，交AC于D，交BC延长线于E，交圆O于F、H。
    求证：AD·CD＝OD·ED

    解：连结AO
    ∵EF垂直平分AB
    ∴EF过圆心O，
    ∵∠AOH的度数＝的度数
     ∠AFB的度数＝的度数＝的度数
    ∴∠AOH＝∠AFB
    ∵∠ACE为圆内接四边形AFBC的外角
    ∴∠ACE＝∠AFB＝∠AOH
    又∵∠1＝∠2
    ∴△AOD∽△ECD

  例10. 已知：如图△ABC为等边三角形，AB为圆O直径，AC、BC与圆O交于D、E点。
    求证：D、E平分半圆。

    证明：连结AE
    ∵△ABC为等边三角形
    ∴∠B＝60°
    ∵AB为圆O直径
    ∴∠AEB＝90°
    ∴∠1＝∠2＝30°
    的度数＝60°
    又∵的度数＝180°
    的度数＝60°
    ∴D、E平分半圆

圆与三角形、圆与四边形
［复习目标要求］
  5. 理解三角形和多边形的内切圆，圆的外切三角形和圆的外切多边形及三角形的内心的概念；理解圆内接四边形的概念、性质及圆外切四边形的性质；
  6. 掌握圆内接四边形的性质定理、圆外切四边形的有关性质，能熟练地解决与它们相关的计算及证明问题。

［重点难点突破］
    重点是掌握圆内接四边形的性质，三角形外接圆，内切圆的性质及圆外切四边形的性质。
    难点是圆外切四边形的性质的灵活运用及三角形内切圆的半径与面积的关系，在解题过程中要重视利用圆内接四边形的性质灵活地进行角的转换；注意切线长定理与整体观念的组合正确领会三角形面积与内切圆半径的关系。

［中考动向分析］
  5. 组合与圆有关的角的知识考查角的计算；
  6. 计算三角形内切圆半径、三角形面积及圆外切四边形的面积；
  7. 与切线长定理、圆幂定理、相似三角形比例线段等知识结合考查几何推理论证能力；
  8. 将相关的几何问题与函数、面积、三角函数、一元二次方程等知识组合考查数形结合的思想和综合解题能力。

［知识要点及解题方法指导］
（五）圆与三角形、圆与四边形
    圆的确定：不在同一直线上的三个点确定一个圆。
    圆与三角形：
    （1）经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆，三角形叫圆的内接三角形。
    （2）和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，三角形叫做圆的外切三角形。
    （3）三角形有且只有一个外接圆和一个内切圆，它们的圆心分别叫做三角形的外心和内心。
    圆与多边形：
    （1）若一个多边形的所有顶点都在同一圆上，则这个多边形叫圆的内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆。
    （2）和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，多边形叫圆的外切多边形。
    （3）圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。

  例11. 已知：如图AB、CD是圆O内的两条平行弦，在上任取一点P，PB的延长线与DC的延长线交于E，PD与AB交于F。
    求证：AD·DE＝BE·DP

    思路一：将等积式转化为比例式，发现四条线段在两个三角形中，因此只须证△BDE∽△PAD即可。
    证法一：连结AP、DB
    ∵DC∥AB
    ∴∠1＝∠2
    又∵∠2＝∠P
    ∴∠1＝∠P
    又∵∠DBE为圆内接四边形APBD的外角
    ∴∠DBE＝∠DAP
    ∴△ADP∽△DBE

    思路二：通过平行弦所夹的弧相等，等弧对等弦，可知AD＝BC，应用等量代换可证：BC·DE＝BE·DP。

    证法二：连结BC
    ∵∠CBE为圆内接四边形DPBC的外角
    ∴∠CBE＝∠PDC
    又∵∠E＝∠E
    ∴△BCE∽△PDE

    ∴BC·DE＝BE·PD
    又∵AB∥DC

    ∴AD·DE＝BE·DP

  例12. 如图，AD为圆O直径，∠ABC＝114°，AC平分∠BAD，求：∠BCD的度数。

    分析：利用直径上的圆周角是直角和圆内接四边形对角互补进行解题。
    解：∵AD为圆O直径
    ∴∠ACD＝90°
    ∵∠ABC＝114°
    ∴∠D＝66°
    ∴∠1＝24°
    ∵AC平分∠BAD
    ∴∠BAD＝2∠1＝48°
    ∴∠BCD＝132°

【模拟试题】（答题时间：40分钟）
一. 选择题。
  1. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝10，CD＝8，那么AE的长为（    ）

    A. 2               B. 3               C. 4               D. 5
  2. 一种花边由图弓形组成，的半径为5，弦AB＝8，则弓形的高CD为（    ）

    A. 2               B.             C. 3               D.
  3. 若圆的一条弦把圆分成度数比为1∶3的两条弧，则劣弧所对圆周角等于（    ）
    A. 45°          B. 90°          C. 135°        D. 270°
  4. 下列命题中正确的是（    ）
    A. 三点确定一个圆
    B. 平分弦的直线垂直于弦
    C. 相等的圆心角所对弧相等
    D. 同圆中，同弦所对圆周角相等
  5. 如图，BC为半圆O的直径，A、D为半圆O上两点，，则∠D的度数是（    ）

    A. 60°          B. 120°        C. 135°        D. 150°

二. 填空题。
  6. 半径为1的圆中有一条弦，如果它的长为，那么这条弦所对的圆周角的度数为___________。
  7. 圆内接四边形ABCD中，如果∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，那么∠D＝__________度。
  8. 如图，AB是⊙O的弦，AC切⊙O于点A，且∠BAC＝45°，AB＝2，则⊙O的面积为______________（结果保留）。

  9. 如图，PA、PC分别切⊙O于A、C两点，B为⊙O上与A、C不重合点，若∠P＝50°，则∠ABC＝_____________。

  10. 如图，点O为△ABC内心，∠A＝56°，则∠BOC＝_____________。

三. 解答题。
  11. 已知：如图，△ABC内接于⊙O，直线DE与⊙O切于点A，BD∥CA。
    求证：AB·DA＝BC·BD

  12. 如图，圆外切等腰梯形ABCD，E、F为切点，中位线EF＝15cm，求：等腰梯形ABCD周长。

  13. 已知：如图，BE是△ABC的外接圆O的直径，CD是△ABC的高。
    （1）求证：AC·BC＝BE·CD；
    （2）已知CD＝6，AD＝3，BD＝8，求⊙O的直径BE的长。

【试题答案】
一. 选择题。
  1. A            2. A        3. A        4. D        5. C
二. 填空题。
  6. 60°或120°
  7. 90
  8.
  9. 65°或115°
  10. 118°
三. 解答题。
  11. 解：∵BD∥CA
    ∴∠DBA＝∠BAC
    ∵DE切⊙O于A
    ∴∠BAD＝∠BCA
    ∴△ABC∽△BDA

    ∴AB·DA＝BC·BD

  12. 解：∵等腰梯形ABCD外切于⊙O
    ∴AB、BC、CD、DA分别切⊙O于点E、N、F、M
    ∴AM＝AE，DM＝DF，BE＝BN，NC＝FC
    ∵等腰梯形ABCD中位线EF＝15

    ∴等腰梯形ABCD周长为60

  13. 解：（1）连结CE

    ∵BE是⊙O的直径
    ∴∠ECB＝90°
    ∵CD⊥AB
    ∴∠ADC＝90°
    ∴∠ECB＝∠ADC
    又∵∠A＝∠E
    ∴△ADC∽△ECB

    （2）在Rt△ACD和Rt△BCD中
    ∵CD＝6，AD＝3，BD＝8

    由（1）有AC·BC＝BE·CD
    即
    ∴
    ∴⊙O的直径BE的长是