实验中学立体几何排列组合综合试题.doc

涪陵实验中学高2009级单元测试题
满分150分. 考试时间120分钟.
命题人：杜容 命题范围：立体几何，排列组合占70%，不等式，解析几何占30%
注意事项：1、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2、所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
第I卷（选择题 共50分）
一、 选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知是两条异面直线，，那么与的位置关系是 （ ）
A． 异面 B．平行 C．平行或相交 D．相交或异面
2. 设a,b是非零实数，若a<b,则下列不等式成立的是 （ ）
A. B. C. D.
3．若，则的
值为 （ ）
（A）25 （B）35 （C）45 （D）55
4．有如下命题：（1）垂直于同一直线的两条直线平行；（2）平行于同一平面的两条直线平行；（3）与同一平面成等角的两条直线平行;(4) 垂直于同一平面的两条直线平行。其中真命题的个数是 （ ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
5 四面体中，各个侧面都是边长为的正三角形，分别是和的中点，则异面直线与所成的角等于 （ ）
A B C D
6．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为，它的对角线的长
分别是和，则这个棱柱的侧面积是 （ ）
A B C D
7．1,3,5
已知椭圆的中心在原点，两个焦点F1，F2分别为，点P在椭圆上，PF1⊥PF2，且△PF1F2的面积为1，则椭圆的方程为 （ ）
A． B． C． D．
8．如图，正方体中，P为平面
内一动点，且点P到和BC的距离相等，则P点的
轨迹是下图中的 （ ）

A B C D
9．山坡与水平面成30 度角，坡面上有一条与山底坡脚的水平线成30 度角的直线小路，某人沿小路上坡走了一段路后升高了100米，则此人行走的路程为 （ ）
A．400米 　　　 B．300米 C．200米 　D．米
10. 用五种颜色给正方体各面涂色，要求相邻两个面不同色，（颜色可不用完）现已将过顶点A的3个面涂上了颜色，那么其余3个面的涂色方法共有 （ ）
A．12种 B．13种 C．14种 D．15种
二．填空题（本题共6小题，每题4分，满分24分，把答案填在答题卡相应位置上）
11．若，则▁▁▁。
12．不等式的解集是___________
13．已知正方体外接球的体积为,那么正方体的棱长是 _______
14．和是单位圆的直径，，沿将两个半圆折成直二面角，那么翻折后的两点间的距离是▁▁▁。
15．正方体的棱长为1，E为的中点，则下列五个命题（1）点E到平面的距离为； (2)直线BC与平面所成的角等于；（3）空间四边形在正方体六个面内的射影围成的图形中，面积最小的值为；（4）BE与所成的角为；（5）二面角的大小为；其中真命题是___________________.（写出所有真命题的序号）
16． 如图-16，在多面体中，，
其余棱长均为1，则与平面所成的角
的正切值为▁▁▁。

三、解答题:本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本题满分13分） 有4名老师和4名学生站成一排照相。
（I）4名学生必须排在一起，共有多少种不同的排法？
（II）任两名学生都不能相邻，共有多少种不同的排法？
（III）老师和学生相间排列，共有多少种不同的排法？（要求用数字作答）

A1
B
C
D
M
A
B1
C1
D1
O

18．（本题满分13分）如图，在正方体中， 是底面正方形的中心，是线段的中点．证明：
（I）平面平面；
（II）//平面．

19. 理（本题满分13分）解关于x的不等式
Q
P
S
N
C
B
M
A
20 （本小题满分13分）如图 在斜三棱柱中，底面△是边长为的正三角形，平面平面，、分别为的中点
（I）证明：⊥；
（II）求二面角--的大小的正切值；
（III）求点到平面的距离

21．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD平面ABCD，且PD=AB=2，E是PB的中点，F是AD的中点。
（I）求异面直线PD与AE所成角的大小；
（II）求证：EF平面PBC；
（III）求二面角F-PC-B的大小。

22．（本小题满分12分）
已知点
（I）求轨迹E的方程；
（II）若直线l过点F2且与轨迹E交于P、Q两点，无论直线绕点怎样转动，在轴上总存在定点，使恒成立，求实数的值；
（III）若直线l过点F2且与轨迹E交于P、Q两点，过作直线的垂线,求的取值范围.

参考答案
一、选择题
1．D　2．C　3．C　4．B 5．C　 6．D 7．D 8．B 9.A2,4,6
10．B　
二、填空题
11．3或5 12． 13． 14． 15. (2) (3) (4) 16.
三、解答题
17．（I）用“捆绑法”得=2880； （5分）
（II）用“插空法”得=2880； （9分）
（III）只有两种间隔法，可得2=1152 （13分）
18．（I）∵ 底面是正方形，
A1
B
C
D
M
A
B1
C1
D1
O
∴ BD⊥AC．
∵ C1C⊥底面，BD底面，
∴ BD⊥C1C．
∵ AC 平面A1ACC1，C1C 平面A1ACC1，且
AC∩C1C＝C，
∴ BD⊥平面A1ACC1．
∵ BD平面A1BD，
∴ 平面平面． （7分）
（II）连结B1C．
在△中，∵ O是BD的中点，M是BA1的中点，
∴ MO∥A1D．
∵ A1 B1∥DC，且A1 B1＝DC，
∴ 四边形A1 DC B1为平行四边形．
∴ A1D∥B1C．
∴ MO∥B1C， 且B1C 平面，平面，
∴ //平面． （13分）
19.解：不等式等价于 （1分）
（1）当a=1时，解集为 （4分）
（2）当0<a<1时，解集为 （7分）
（3）当 a>1时，解集为 （10分）
（4）当a<0时，解集为 （13分）
20.证明: （I）取AC中点O,连结SO、OB ∵SAC为等腰△; △ABC为等边△
∴SO⊥AC AC⊥OB
∴AC⊥面SOB ∴AC⊥SB. （3分）
（II）∵面SAC⊥面ABC ，SO⊥AC ∴SO⊥面ABC
取OB中点E. 则NE//SO ∴NE⊥面ABC
过E作EH⊥CM于H连结NH由三垂线定理知NH⊥CM
∴∠NHE即为所求二面角的平面角.
H
E
Q
P
S
N
C
B
M
A
在△SAC中求得. ∴NE=.
设G为CM与OB交点则G为重心.
∴GB=
∴ 又∵EH⊥CM CM⊥BM
∴EH//BM ∴ ∴EH=
∴ （9分）
（III）设 ∵
∴
所以点B到平面CMN的距离为。 （13分）
21. 解：（I）连结BD，取BD的中点O，E为PB的中点 EO//PD 则AEO（或其补角）为异面直线PD与AE所成的角，
PD平面ABCD EO平面ABCD
tanAEO= 异面直线PD与AE所成的角为arctan （4分）
（II）连结FO，F是AD的中点，

又，连结FB，可求得FB=PF=
则 （8分）
（III）取PC的中点G，连结EG，FG，则EG是FG在面PBC内的射影，

在Rt
cosFGE= （12分）
22．（I）由知，点的轨迹是以为焦点的双曲线右支，
由得，故轨迹的方程为 （3分） （II）当直线的斜率存在时，设直线方程为
与双曲线方程联立消去得：
∴，解得

∵，∴，
故得对任意的恒成立，
∴，解得，∴当时，
当直线的斜率不存在时，由及知结论也成立
综上，当时， （8分）
（III） ∵，∴直线是双曲线右准线，
由双曲线定义得
∴
∵，∴，故
注意到直线的斜率不存在时，，此时
综上， （12分）

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