幂级数及其收敛性省名师优质课赛课获奖课件市赛课百校联赛优质课一等奖课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。,8.2.1 幂级数及其收敛性,8.2.2 函数展开成幂级数,8.2 幂级数,第8章 级数,1/38,普通形式为,幂级数,，,幂级数更普通形式为,它显然能够经过变量代换,y,=,x,-,x,0,方法化为式.,一、幂级数及其收敛性,2/38,则称幂级,数为不缺项，,不然称为,缺项幂级数,.,比如幂级数,缺,x,奇次幂，,叫缺项幂级数，,又如,是不缺项幂级数.,3/38,定理,假如,该幂级数收敛,;,该幂级数发散,.,记作,R,R,=,.即,4/38,因为,它不一定是正项级数，,证,若将,x,看成,是一个确定值，,那么就得到一个数项级数，,为此，我们可对幂级数各项取绝对值，,得,这是一个正项级数.,利用比值审敛法.,因为,5/38,也就是说,显然，此时所给幂级数各项绝对值越来越大，,普通项,不趋近于零.,由级数收敛必要条,件可知该幂级数发散.,所以它,必定收敛.,6/38,可利用上述定理求收敛半径,例,2,试求幂级数,收敛区间.,解,所给幂级数为不缺项，,它是发散.,此为调和级数，,7/38,8/38,例,3,求幂级,解,所给幂级数缺乏,x,奇次幂项，,对此正项级数利用比值审敛法,所以不能直接利用公式求收敛半径,R,.,是一个缺项幂级数，,9/38,所求幂级,数绝对收敛.,10/38,幂级数收敛.,例,4,解,运,用正项级数比值审敛法.,11/38,区间端点处:,当,x,=0 时，,12/38,一、麦克劳林(,Maclaurin,)公式,二、直接展开法,三、间接展开法,8.2.2、函数幂级数展开,13/38,泰勒,(,Taylor,),公式,假如函数,f,(,x,),在,x,=,x,0,有直到,(,n,+1),阶导数,，,则在这个领域内有以下公式:,一、麦克劳林(,Maclaurin,)公式,14/38,其中,称为拉格朗日型余项.,式,称为,泰勒公式,.,就得到,15/38,式称为,麦克劳林公式,.,幂级数,我们称之为,麦克劳林级数,.,那么它是否以函数,f,(,x,)为和函数呢?,16/38,即,那么，级数 收敛于函数,f,(,x,)条件为,若令麦克劳林级数 前,n,+1 项和为,17/38,注意到麦克劳林公式 与麦克劳林级数,关系，,可知,于是，当,时，有,反之，若,必有,18/38,这表明，麦克劳林级数 以,f,(,x,)为和函数充要条件，,这么，我们就得到了函数,f,(,x,)幂级数展开式：,19/38,也表示了函数,幂级数展开式是唯一 .,它就是函数,f,(,x,)幂级数表示式.,幂级数:,称为,泰勒级数,.,20/38,利用麦克劳林公式将函数,f,(,x,),展开成幂级数,方法，称为直接展开法.,解,例,1,试将函数,f,(,x,)=e,x,展开成,x,幂级数.,能够,得到,二、直接展开法,21/38,所以我们能够得到幂级数,显然，这个幂级数收敛区间为(,+).,因为,22/38,注意到，对任一确定,x,值，,而级数 是绝对收敛，,所以其普通项当,n,时，,所以，当,n,时,23/38,由此可知,所以有,e,),(,x,x,f,=,确实收敛于,这表明级数,24/38,解,于是能够得到幂级数,例,2,试将,25/38,且它收敛区间为,因为所给函数麦克劳林公式余项为,所以能够推知,26/38,所以得到,27/38,解,而,所以依据幂级数可逐项求导法则，,可得,例,3,试求函数,三、间接展开法,28/38,因为幂级数逐项积分后收敛半径不变，,所以，上式,右端级数收敛半径仍为,R,=1;,故收敛域为,1,x,1.,当,x,=1 时，该级数收敛.,而当,x,=,1 时该级,数发散，,29/38,解,因为,例,6,试将函数,x,幂级数.,展开成,30/38,所以,且,31/38,依据幂级数和运算法则，其收敛半径应取较小一个，,故,R,=1，,所以所得幂级数收敛区间为,1,x,0 时，,当,1,m,0 时，,收敛区间为(,1,1.,38/38,