1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。,8.2.1 幂级数及其收敛性,8.2.2 函数展开成幂级数,8.2 幂级数,第8章 级数,1/38,普通形式为,幂级数,，,幂级数更普通形式为,它显然能够经过变量代换,y,=,x,-,x,0,方法化为式.,一、幂级数及其收敛性,2/38,则称幂级,数为不缺项，,不然称为,缺项幂级数,.,比如幂级数,缺,x,奇次幂，,叫缺项幂级数，,又如,是不缺项幂级数.,3/
2、38,定理,假如,该幂级数收敛,;,该幂级数发散,.,记作,R,R,=,.即,4/38,因为,它不一定是正项级数，,证,若将,x,看成,是一个确定值，,那么就得到一个数项级数，,为此，我们可对幂级数各项取绝对值，,得,这是一个正项级数.,利用比值审敛法.,因为,5/38,也就是说,显然，此时所给幂级数各项绝对值越来越大，,普通项,不趋近于零.,由级数收敛必要条,件可知该幂级数发散.,所以它,必定收敛.,6/38,可利用上述定理求收敛半径,例,2,试求幂级数,收敛区间.,解,所给幂级数为不缺项，,它是发散.,此为调和级数，,7/38,8/38,例,3,求幂级,解,所给幂级数缺乏,x,奇次幂项，,
3、对此正项级数利用比值审敛法,所以不能直接利用公式求收敛半径,R,.,是一个缺项幂级数，,9/38,所求幂级,数绝对收敛.,10/38,幂级数收敛.,例,4,解,运,用正项级数比值审敛法.,11/38,区间端点处:,当,x,=0 时，,12/38,一、麦克劳林(,Maclaurin,)公式,二、直接展开法,三、间接展开法,8.2.2、函数幂级数展开,13/38,泰勒,(,Taylor,),公式,假如函数,f,(,x,),在,x,=,x,0,有直到,(,n,+1),阶导数,，,则在这个领域内有以下公式:,一、麦克劳林(,Maclaurin,)公式,14/38,其中,称为拉格朗日型余项.,式,称为,
4、泰勒公式,.,就得到,15/38,式称为,麦克劳林公式,.,幂级数,我们称之为,麦克劳林级数,.,那么它是否以函数,f,(,x,)为和函数呢?,16/38,即,那么，级数 收敛于函数,f,(,x,)条件为,若令麦克劳林级数 前,n,+1 项和为,17/38,注意到麦克劳林公式 与麦克劳林级数,关系，,可知,于是，当,时，有,反之，若,必有,18/38,这表明，麦克劳林级数 以,f,(,x,)为和函数充要条件，,这么，我们就得到了函数,f,(,x,)幂级数展开式：,19/38,也表示了函数,幂级数展开式是唯一 .,它就是函数,f,(,x,)幂级数表示式.,幂级数:,称为,泰勒级数,.,20/38
5、,利用麦克劳林公式将函数,f,(,x,),展开成幂级数,方法，称为直接展开法.,解,例,1,试将函数,f,(,x,)=e,x,展开成,x,幂级数.,能够,得到,二、直接展开法,21/38,所以我们能够得到幂级数,显然，这个幂级数收敛区间为(,+).,因为,22/38,注意到，对任一确定,x,值，,而级数 是绝对收敛，,所以其普通项当,n,时，,所以，当,n,时,23/38,由此可知,所以有,e,),(,x,x,f,=,确实收敛于,这表明级数,24/38,解,于是能够得到幂级数,例,2,试将,25/38,且它收敛区间为,因为所给函数麦克劳林公式余项为,所以能够推知,26/38,所以得到,27/38,解,而,所以依据幂级数可逐项求导法则，,可得,例,3,试求函数,三、间接展开法,28/38,因为幂级数逐项积分后收敛半径不变，,所以，上式,右端级数收敛半径仍为,R,=1;,故收敛域为,1,x,1.,当,x,=1 时，该级数收敛.,而当,x,=,1 时该级,数发散，,29/38,解,因为,例,6,试将函数,x,幂级数.,展开成,30/38,所以,且,31/38,依据幂级数和运算法则，其收敛半径应取较小一个，,故,R,=1，,所以所得幂级数收敛区间为,1,x,0 时，,当,1,m,0 时，,收敛区间为(,1,1.,38/38,
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