资源描述
如东高级中学新高三暑假作业检测
班级_________姓名_________
一.填空题
1. 设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则(∁RS)∪T＝ ____
2. 已知函数的图象过点，则此函数的最小值为
3.若函数的定义域为值域为则实数的取值范围为 _____
4．已知y=loga(2－ax)在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是
5.若函数f(x)＝有两个不同的零点，则实数a的取值范围是______[来源:学科网]
6．已知f(x)是偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上是增函数，如果f(ax＋1)≤f(x－2)在x∈上恒成立，则实数a的取值范围为________．
7．已知P是以F1，F2为焦点的椭圆＋＝1(a>b>0)上的一点，若·＝0，tan∠PF1F2＝，则此椭圆的离心率为________．
8．若函数f(x)＝ 的定义域为R，则实数a的取值范围是_______．
9.函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是________．[来源:学科网]
10.的值域为__________________
11. 在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，则△ABC的形状为_________．
12．下列说法正确的有 ．（填序号）
①若函数为奇函数，则；
②函数在上是单调减函数；
③若函数的定义域为，则函数的定义域为；
④要得到的图象，只需将的图象向右平移2个单位.
13、已知函数，若，则实数x的取值范围是 ．
二.解答题
14．已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点.
(1)求sin 2α－tan α的值；
(2)若函数f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α，求函数y＝f－2f2(x)在区间上的值域.
15. 如图△ABC中，AC＝BC＝AB，四边形ABED是边长为a的正方形，平面ABED⊥平面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．
(1)求证：GF∥平面ABC；
(2)求证：平面EBC⊥平面ACD；
(3)求几何体ADEBC的体积V.
[来源:学科网ZXXK]
16. 已知函数（其中为常数，）为偶函数.
(1) 求的值；
(2) 用定义证明函数在上是单调减函数；
(3) 如果,求实数的取值范围.
17.已知正项数列{an}，{bn}满足：a1＝3，a2＝6，{bn}是等差数列，且对任意正整数n，都有bn，，bn＋1成等比数列．
(1)求数列{bn}的通项公式；[来源:学科网ZXXK]
(2)设Sn＝＋＋…＋，试比较2Sn与2－的大小．
18. 已知圆M的方程为x2＋(y－2)2＝1，直线l的方程为x－2y＝0，点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA，PB，切点为A，B.
(1)若∠APB＝60°，试求点P的坐标；[来源:Zxxk.Com]
(2)若P点的坐标为(2,1)，过P作直线与圆M交于C，D两点，当CD＝时，求直线CD的方程；
(3)求证：经过A，P，M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．
19. 已知函数f(x)＝(k为常数，e＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．
(1)求k的值；
(2)求f(x)的单调区间；
(3)设g(x)＝(x2＋x)f′(x)，其中f′(x)为f(x)的导函数，证明：对任意x>0，g(x)<1＋e－2.
新高三暑假作业检测(参考答案)
一.填空题
1. 2. 6 3. 4． 5. (0,1] 6。 7．
8． [1,9] 9.20 10. 11.等腰或直角三角形 12．④ 13、
二.解答题
14.[解] (1)由题意可知，sin α＝，cos α＝－，tan α＝－，
∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－＋＝－.
(2)∵f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α＝cos x ，x∈R，
∴y＝cos－2cos2x＝sin 2x－1－cos 2x＝2sin－1.
∵0≤x≤，∴0≤2x≤，∴－≤2x－≤，
∴－≤sin≤1，∴－2≤2sin－1≤1，
故函数y＝f－2f2(x)在区间上的值域是[－2，1]．
15. (1)证明：略
(2)证明：∵ADEB为正方形，∴EB⊥AB.
又∵平面ABED⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC.∴BE⊥AC.
又∵CA2＋CB2＝AB2，∴AC⊥BC.
∴AC⊥平面BCE.从而平面EBC⊥平面ACD.
(3)取AB的中点N，连接CN，∵AC＝BC，∴CN⊥AB，且CN＝AB＝a.
又平面ABED⊥平面ABC，∴CN⊥平面ABED.
∵C－ABED是四棱锥，∴VC－ABED＝SABED·CN＝a2·a＝a3.
16.[解] (1) 是偶函数有即.
(2)由(1) . 设,
则.
.
在上是单调减函数.
(3)由(2)得在上为减函数,又是偶函数,所以在上为单调增函数. 不等式即,4>.
解得. 所以实数的取值范围是.
17.[解] (1)因为对任意正整数n，都有bn，，bn＋1成等比数列，且数列{an}，{bn}均为正项数列，所以an＝bnbn＋1(n∈N*)．
由a1＝3，a2＝6得又{bn}为等差数列，即有b1＋b3＝2b2，
解得b1＝，b2＝，所以数列{bn}是首项为，公差为的等差数列．
所以数列{bn}的通项公式为bn＝(n∈N*)．
(2)由(1)得，对任意n∈N*，an＝bnbn＋1＝，从而有＝＝2，
所以Sn＝2＝1－.
所以2Sn＝2－.又2－＝2－，
所以2Sn－＝－＝.
所以当n＝1，n＝2时，2Sn<2－；当n≥3时，2Sn>2－.
18.[解] (1)设P(2m，m)，由题可知MP＝2，所以(2m)2＋(m－2)2＝4，解之得m＝0，m＝，故所求点P的坐标为P(0,0)或P(，)．
(2)设直线CD的方程为：y－1＝k(x－2)，易知k存在，由题知圆心M到直线CD的距离为，所以＝，解得，k＝－1或k＝－，
故所求直线CD的方程为：x＋y－3＝0或x＋7y－9＝0.
(3)证明：设P(2m，m)，MP的中点Q(m，＋1)，因为PA是圆M的切线，
所以经过A，P，M三点的圆是以Q为圆心，以MQ为半径的圆，
故其方程为：(x－m)2＋(y－－1)2＝m2＋(－1)2，
化简得：x2＋y2－2y－m(2x＋y－2)＝0，此式是关于m的恒等式，
故解得或
所以经过A，P，M三点的圆必过定点(0,2)或(，)．
19.[解] (1)由f(x)＝，得f′(x)＝，x∈(0，＋∞)，
由于曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线与x轴平行，所以f′(1)＝0，因此k＝1.
(2)由(1)得f′(x)＝(1－x－xln x)，x∈(0，＋∞)，
令h(x)＝1－x－xln x，x∈(0，＋∞)，
当x∈(0,1)时，h(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0. 又ex>0，
所以x∈(0,1)时，f′(x)>0；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0.
因此f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．
(3)证明：因为g(x)＝(x2＋x)f′(x)，所以g(x)＝(1－x－xln x)，x∈(0，＋∞)．
因此对任意x>0，g(x)<1＋e－2等价于1－x－xln x<(1＋e－2)．
由(2)h(x)＝1－x－xln x，x∈(0，＋∞)，
所以h′(x)＝－ln x－2＝－(ln x－ln e－2)，x∈(0，＋∞)，
因此当x∈(0，e－2)时，h′(x)>0，h(x)单调递增；
当x∈(e－2，＋∞)时，h′(x)<0，h(x)单调递减．
所以h(x)的最大值为h(e－2)＝1＋e－2，
故1－x－xln x≤1＋e－2.设φ(x)＝ex－(x＋1)．
因为φ′(x)＝ex－1＝ex－e0，所以当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)>0，φ(x)单调递增，
φ(x)>φ(0)＝0，故当x∈(0，＋∞)时，φ(x)＝ex－(x＋1)>0，即>1.
所以1－x－xln x≤1＋e－2<(1＋e－2)．因此对任意x>0，g(x)<1＋e－2.
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