一元一次方程复习巩固.doc

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一元一次方程单元复习与巩固

一、目标与策略

明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！

学习目标：
l 了解一元一次方程及其相关概念，认识从算式到方程是数学的进步。
l 了解解方程的基本目标（使方程逐步转化为x=a的形式），熟悉解一元一次方程的一般步骤，掌握一元一次方程的解法，体会解法中蕴涵的化归思想。
l 能够“找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的关系，设未知数，列出方程表示问题中的等量关系”，体会建立数学模型的思想，感受数学的应用价值。
重点难点：
l 重点：一元一次方程的解法，列方程解应用题。
l 难点：一元一次方程的解法，列方程解应用题。
学习策略：
l 通过观察、归纳得出等式的性质，并利用它们解一元一次方程；
l 通过探究实际问题与一元一次方程的关系，将实际问题转化为数学问题求解，并将求得结果用于实际生活进行检验。

二、学习与应用
“凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。

知识网络
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知识要点——预习和课堂学习
认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习。请在虚线部分填写预习内容，在实线部分填写课堂学习内容。课堂笔记或者其它补充填在右栏。预习和课堂学习更多知识点解析请学习网校资源ID：#tbjx6#214714。

知识点一：一元一次方程及其解的概念
只含有 个未知数，并且未知数的次数都是 的方程叫做一元一次方程。 一元一次方程的标准形式是：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　。
使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的　　　　。
请你注意：
（一）一元一次方程必须满足的3个条件：
（1） ；
（2） ；
（3） ；三者缺一不可。
（二）判断一个数是否是某方程的解：将其代入方程两边，看两边是否 。
知识点二：方程变形——解方程的重要依据
（一）等式的基本性质（也叫做方程的同解原理）
等式的性质1： 。
即： 。
等式的性质2： 。
即： 。
（二）分数的基本的性质:
分数的分子、分母同时 的数，分数的值不变。
即： （其中m≠0）
注：分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为 ，如方程：－=1.6，将其化为： － =1.6。方程的右边没有变化，这要与“去分母”区别开。
知识点三：解一元一次方程的一般步骤：
（一）解一元一次方程的基本思路：
通过对方程变形，把含有 的项归到方程的一边，把 归到方程的另一边，最终把方程“转化”成 的形式。
（二）解一元一次方程的一般步骤是：
变形名称
具体做法
变形依据
去分母
在方程两边都乘以各分母的最小公倍数

去括号
先去小括号，再去中括号，最后去大括号

移项
把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住：移项要变号)

合并同类项
把方程化成ax＝b(a≠0)的形式

系数化成1
在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程
的解x＝

（三）理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用:
（1）a≠0时，方程有唯一解 ；
（2）a=0，b=0时，方程有 ；
（3）a=0，b≠0时，方程 。
知识点四：列一元一次方程解应用题的一般步骤:
（一）列一元一次方程解应用题的一般步骤：
（1） ，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系．
（2） ，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数．
（3） ，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程．
（4） ．
（5） ，看方程的解是否符合题意．
（6）写出答案．
（二）解应用题的书写格式：设→根据题意→解这个方程→答。
注意：
（1）在一道应用题中，往往含有几个未知数量，应恰当地选择其中的一个，用字母 示出来，即所设的未知数，然后根据数量之间的关系，将其它几个未知数量用含 的代数式表示。
（2）解应用题时，不能漏掉“答”， “设”和“答”中都必须写清单位名称。
（3）列方程时，要注意方程两边是同一个数量，并且单位要统一。
（4）一般情况下，题目中所给的条件在列方程时不能 使用，也不能漏掉不用。重复利用同一个条件，会得到一个 ，无法求得应用题的解。
知识点五：常见的一些等量关系
常见列方程解应用题的几种类型：
类型
基本数量关系
等量关系
(1)和、差、倍、分问题
①较大量＝较小量＋多余量
②总量＝倍数×倍量
抓住关键性词语
(2)等积变形问题

变形前后体积相等

(3)行程问题
相遇问题
路程＝速度×时间
甲走的路程＋乙走的路程＝两地距离
追及问题
同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程
同时不同地出发：前者走的路程＋两地距离＝追者所走的路程
顺逆流问题
顺流速度＝静水速度＋水流速度
逆流速度＝静水速度－水流速度
顺流的距离＝逆流的距离
(4)劳力调配问题

从调配后的数量关系中找相等关系，要抓住“相等”“几倍”“几分之几”“多”“少”等关键词语
(5)工程问题
工作总量＝工作效率×工作时间
各部分工作量之和＝1
(6)利润率问题
商品利润＝
商品利润率＝ ×100％
售价＝进价×(1＋利润率)
抓住价格升降对利润率的影响来考虑
(7)数字问题
设一个两位数的十位上的数字、个位上的数字分别为a，b，则这
个两位数可表示为
抓住数字所在的位置，新数与原数之间的关系
(8)储蓄问题
利息＝本金×利率×期数
本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数×(1－利息税率)
(9)按比例分配问题
甲∶乙∶丙＝a∶b∶c
全部数量＝各种成分的数量之和(设一份为x)
(10)日历中的问题
日历中每一行上相邻两数，右边的数比左边的数大 ；日历中每一列上相邻的两数，下边的数比上边的数大 。
日历中的数a的取值范围是__________，且都是正整数
知识点六：整式、等式与方程的关系:
（一）正确理解代数式、等式和方程的概念
代数式：像－1,0，a，－2x＋5等，这些用 把数或表示数的 连接成的式子，叫做代数式，单独一个数或一个字母也是代数式。
等式：用 来表示相等关系的式子叫做等式。如，m＝n＝n＋m等都叫做等式，而像－， m2n不含等号，所以它们是 。
方程：含有 的等式叫做方程。如5x＋3＝11，等都是方程。理解方程的概念必须明确两点：① ；② 。两者缺一不可。
（二）整式、等式与方程的区别和联系
区别：
（1）定义不同。
（2）从是否含有等号来看。方程首先是一个等式，它是用“＝”将两个
连接起来的等式，而整式仅用 连接起来，不含有等号。
（3）等式含有“＝”，表示左右两边相等，方程是个特殊的 ，但其中必须含有 。所以有：方程是 ，但等式不一定是方程。
联系：
（1）当含字母的某一个代数式取某一个特定的值时，这个特定的值就和这个代数式构成了一个等式，即这个等式就是 。如：要使代数式5x＋1的值等于0，即求方程 的解。
（2）当两个整式中的字母取特定的值，使这两个整式的值相等时，也构成一个 。如：要使整式x＋5的值与整式－x－5的值相等，即求方程
的解。
（3）当含有字母的整式的运算结果等于另一个整式时，也构成 。如：要使整式x－4的值比的值大3，即求方程 的解。

经典例题——自主学习
认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三。无星号题目要求同学们必须掌握，为基础题型，一个星号的题目综合性稍强。
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类型一：一元一次方程的有关概念
例1、 已知下列各式：
①2x－5＝1；②8－7＝1；③x＋y；④x－y＝x2；⑤3x＋y＝6；⑥5x＋3y＋4z＝0；⑦＝8；⑧x＝0。其中方程的个数是(　　)
A、5　　B、6　　C、7　　D、8
思路点拨：方程是含有未知数的等式，根据定义逐个进行判断，显然 不合题意。
解：

总结升华： 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

举一反三：
【变式1】判断下列方程是否是一元一次方程：
（1）-2x2+3=x （2）3x-1=2y （3）x+=2 （4）2x2-1=1-2(2x-x2)
解析：判断是否为一元一次方程需要对原方程进行 后再作判断。
答案：
【变式2】已知：(a－3)(2a＋5)x＋(a－3)y＋6＝0是一元一次方程，求a的值。
解析：

类型二：一元一次方程的解法
解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。如果我们在牢固掌握这一常规解题思路的基础上，根据方程原形和特点，灵活安排解题步骤，并且巧妙地运用学过的知识，就可以收到化繁为简、事半功倍的效果。
（一）巧凑整数解方程
例2、解方程：
思路点拨：仔细观察发现，含未知数的项的系数和为 ，常数项和为 ，故直接移项凑成 比先去分母简单。
解：

举一反三：
【变式】解方程：＝2x－5
解：

（二）巧用观察法解方程
例3、解方程：
思路点拨：该方程可化为＝3，不难看出，当
时，该方程左边三项的值都是1，即左边＝右边，原方程是 元 次方程，只能有 个解，于是可求得方程的解 。
解：

（三）巧去括号法解方程
含多层括号的一元一次方程，要根据方程中各系数的特点，选择适当的去括号的方法，以避免繁杂的计算过程。
例4、解方程：
思路点拨：因为题目中分数的分子和分母具有倍数关系，所以从 向 去括号可以使计算简单。
解：

举一反三：
【变式】解方程：
解：

（四）运用拆项法解方程
在解有分母的一元一次方程时，可以不直接去分母，而是逆用分数加减法法则，拆项后再合并，有时可以使运算简便。
例5、解方程：
思路点拨：注意到_________________________，这样逆用分数加减法法则，可使计算简便。
解：

（五）巧去分母解方程
当方程的分母含有小数，而小数之间又没有特殊的倍数关系时，若直接去分母则会出现比较繁琐的运算。为了避免这样的运算。应把分母化成整数。化整数时，利用分数的基本性质将各个分子、分母同时扩大相同的倍数即可。
例6、解方程：＝1
解：

总结升华： 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

（六）巧组合解方程
例7、解方程：
思路点拨：按常规解法将方程两边同乘 化去分母，但运算较复杂，注意到左边的第一项和右边的第 项中的分母有公约数 ，左边的第 项和右边的第一项的分母有公约数 ，移项局部通分化简，可简化解题过程。
解：

（七）巧解含有绝对值的方程
解含有绝对值的方程的基本思想是先去掉绝对值符号，转化为一般的一元一次方程。对于只含一重绝对值符号的方程，依据绝对值的意义，直接去绝对值符号，化为两个一元一次方程分别解之，即若|x|＝m，则_________________________。
例8、解方程：|x－2|－3＝0
解法一：

解法二：

举一反三：
【变式1】5|x|－16＝3|x|－4
解析：

【变式2】
解析：

小结：解一元一次方程有一般程序化的步骤，我们在解一元一次方程时，既要学会按部就班(严格按步骤)地解方程，又要能随机应变(灵活打乱步骤)解方程。对于一般解题步骤与解题技巧来说，前者是基础，后者是机智，只有真正掌握了一般步骤，才能熟能生巧。
解一元一次方程常用的技巧有：
（1）有多重括号，去括号与合并同类项可交替进行。
（2）当括号内含有分数时，常由外向内先去括号，再去分母。
（3）当分母中含有小数时，可用分数的基本性质化成整数。
（4）运用整体思想，即把含有未知数的代数式看作整体进行变形。
解方程时，认真观察方程的结构特征，灵活采用解方程的一些技巧，可达到事半功倍的效果。
类型三：一元一次方程的综合应用题
（一）优化方案问题
例1、由于活动需要，78名师生需住宿一晚，，他们住了一些普通双人间和普通三人间，结果每间客房正好住满，且宾馆给他们打五折优惠，这样一天一共付住宿费2130元。请你算一算，他们需要双人普通间和三人普通间各多少间？
类型
普通
(元/间)
豪华
(元/间)
双人房
140
300
三人房
150
400
解：

（二）行程中的追及相遇问题
例2、甲、乙两人从A、B两地同时出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条路线相向匀速行驶.出发后经3小时两人相遇.已知在相遇时乙比甲多行了90千米，相遇后经1小时乙到达A地.问甲、乙行驶的速度分别是多少？
思路点拨：设甲的速度为千米/时，题目中所涉及的有关数量及其关系可以用下表表示：

相遇前
相遇后
速度
时间
路程
速度
时间
路程
甲

3+90
乙

3

相遇前甲行驶的路程+____________=相遇前乙行驶的路程；
相遇后乙行驶的路程=相遇前甲行驶的路程.
解：

总结升华： 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

举一反三：
【变式】甲、乙两地相距240千米，汽车从甲地开往乙地，速度为36千米/时，摩托车从乙地开往甲地，速度是汽车的。摩托车从乙地出发2小时30分钟后，汽车才开始从甲地开往乙地，问汽车开出几小时后遇到摩托车？
分析：本题是一个异地不同时出发的相遇问题，其基本关系是： 。虽然不同时出发，但在相遇时，汽车所行的路程＋摩托车所行的路程＝ ，这就是本题的等量关系。如果设汽车开出x小时后与摩托车相遇，则在相遇时，汽车和摩托车所行的路程可表示如图：

其中摩托车先行的路程为________________千米；摩托车后来所行的路程为___________千米。
解：

（三）日历中的方程
例3、（1）在2006年8月的日历中(如图(1))，任意圈出一竖列上相邻的三个数，设中间的一个数为a，则用含a的代数式表示这三个数(从小到大排列)分别是＿＿＿。

（2）现将连续自然数1至2006按图中(如图(2))的方式排成一个长方形阵列，用一个长方形框出16个数。

①在图（2）中框出的这16个数的和是＿＿＿。
②在图(2)中，要使一个长方形框出的16个数之和分别等于2000、2006，是否可能？若不可能，试说明理由；若有可能，请求出该长方形框出的16个数中的最小数和最大数。
思路点拨：(1)通过观察可以发现，一竖列上相邻的三个数，下面的数总比上面的数大___；(2)①经观察不难发现，在这个长方形框里的16个数中，第一个数___与最后一个数___的和为____，第二个数与倒数第二个数，第三个数与倒数第三个数，……，它们的和都是____；②设最小的数为a，由图（2）及（1）可知，这16个数分成8组，每组的两个数之和都是____________________________。
解：

总结升华： 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

举一反三：
【变式】每人准备一份日历，在各自的日历上任意圈一个竖列上的相邻的四个数，两个分别把自己所圈4个数的和告诉同伴，由同伴求出这个数。
(1)4个数的和等于42。(2)4个数的和等于60。
解：

（四）教育储蓄
例4、小张在银行存了一笔钱，月利率为2%，利息税为20%，5个月后，他一共取出了本息和为1080元，问它存入的本金是多少元？
解：

（五）图表信息题
例5、小明家使用的是分时电表，按平时段（6：00～22：00）和谷时段（22：00～次日6：00）分别计费，平时段每千瓦时电价为0.61元，谷时段每千瓦时电价为0.30元。小明将家里2005年1月至5月的平时段和谷时段的用电量分别用折线图表示（如下图），同时将前4个月的用电量和相应电费制成表格（如下表）。

项目

月份（月）

月用电量（千瓦时）
电费（元）
1
90
51.80
2
92
50.85
3
98
49.24
4
105
48.44
5

根据上述信息，解答下列问题：
（1）计算5月份的用电量及相应的电费，将所得结果填入表中；
（2）小明家这5个月的平均用电量为________千瓦时；
（3）小明家这5个月每月用电量是________趋势（选择“上升”或“下降”）；这5个月每月电费呈________趋势（选择“上升”或“下降”）；
（4）小明预计7月份家中用电量很大，估计7月份用电量可达500千瓦时，相应电费将达243元，请你根据小明的估计，计算出7月份小明家平时段用电量和谷时段用电量．
解析：

三、总结与测评
要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力。
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解一元一次方程的注意事项：
（1）分母是小数时，根据_____________________，把分母转化为_________；
（2）去分母时，方程两边各项都乘各分母的____________，此时不含分母的项切勿漏乘，分数线相当于_____，去分母后分子各项应加__________；
（3）去括号时，不要漏乘括号内的项，不要弄错符号；
（4）移项时，切记要________，不要丢项，有时先________再移项，以免丢项；
（5）系数化为1时，方程两边同乘以系数的_________或同除以__________，不要弄错符号；
（6）不要生搬硬套解方程的步骤，具体问题具体分析，找到最佳解法。
列方程解应用题的注意事项：
列一元一次方程解决实际问题的一般步骤也可以概括为：①设未知数。②根据__________列方程。③__________。④检验解的合理性，如果合理就用以解决实际问题，不合理则需要重新回到开始。⑤作答。
列方程解应用题是将实际问题数学化的过程，这个过程的关键是建立等量关系，通过列方程解决实际问题要把握三个重要环节：一是整体的、系统的审清题意；二是找问题中的等量关系；三是正确求解方程并判断解的合理性，其中，审题是基础，找等量关系是关键，为了找准等量关系，可以借助线段、表格、图形等方法进行分析。

成果测评
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知识点：一元一次方程
测评系统分数： 模拟考试系统分数：
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知识导学：一元一次方程的复习与巩固 (#214714)
视听课堂：一元一次方程的解法及方程思想的应用(#24853)；一元一次方程复习 (#23657)；
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对本知识的学案导学的使用率：
□ 好（基本按照学案导学的资源、例题进行复习、预习和进行课堂笔记等，使用率达到80%以上）
□ 中（使用本学案导学提供的资源、例题和笔记，使用率在50%-80%左右）
□ 弱（仅作一般参考，使用率在50%以下）

学生：_______________ 家长：______________ 指导教师：_________________

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