1、,*,第一章 复数与复变函数,1.5,复变函数,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢您,1.5,复变函数,一、基本概念,二、,图形表示,三、,极限,四、连续,第1页,一、基本概念,在以后讨论中，,D,经常是一个平面区域，称之为,定义域,。,按照一定法则，有确定,复数,w,与它对应，,普通情形下，,所讨论,“函数”都是指单值函数。,上定义一个,复变函数,，记作,定义,设,D,是复平面上一个点集，对于,D,中任意一点 ，,z,对每个 有唯一,w,与它对应；,单值函数,比如,多值函数,对每个 有多个,w,与它对应；,比如,则称在,D,第2页,一、基本概念,一
2、个复变函数对应于两个二元实变函数。,分析,则,能够写成,设,其中，与 为实值二元函数。,分开上式实部与虚部得到,第3页,分开实部与虚部即得,代入 得,解,记,P21,例,1.13,第4页,G,G,二、,图形表示,C,映射,复变函数 在几何上被看作是把,z,平面上一个,平面,z,平面,w,点集 变到,w,平面上一个点集,映射,(,或者,变换,),。,其中，点集 称为,像,，点集 称为,原像,。,函数,、,映射,以及,变换,可视为同一个概念。,(,分析,),(,几何,),(,代数,),D,z,x,y,w,u,v,第5页,二、,图形表示,反函数与逆映射,双方单值与一一映射,为,w,平面上点集,G,，
3、,设函数,定义域,为,z,平面上点集,D,，,值域,一个,(,或几个,),点,z,，,一个函数,它称为函数,反函数,，也称,为映射,逆映射,。,若,映射,与它逆映射 都是单值，,则称映射 是,双方单值,或者,一一映射,。,则,G,中每个点,w,必将对应着,D,中,按照函数定义，在,G,上就确定了,第6页,解,(1),点 对应像,(,点,),为,(2),区域,D,可改写为：,令,则,可得区域,D,像,(,区域,),G,满足,即,P22,第7页,函数 对应于两个二元实变函数,例,所以，它把,z,平面上两族,双曲线,分别映射成,w,平,面,上两族平行直线,x,y,1,-1,-1,1,-6,-10,-
4、8,-4,-2,2,4,6,8,10,-10,-8,-6,-4,-2,u,v,10,10,-10,-10,2,4,6,8,10,0,c,1,c,2,0,第8页,三、,极限,定义,设函数 在,去心邻域,内有定义,若存在复数,使得,当 时，,有,记作,或,注,(1),函数 在 点能够无定义；,(2),趋向于 方式是任意。,则称,A,为函数 当,z,趋向于,z,0,时,极限,，,P23,定义,1.1,第9页,x,y,z,0,d,几何意义,三、,极限,它像点 就落在,A,预先给定,e,邻域内。,u,v,A,e,当变点 一旦进入 充分小,d,邻域时,z,0,z,f,(,z,),z,第10页,性质,假如,
5、则,三、,极限,第11页,定理,三、,极限,设,证实,假如,则,当,时，,则,必要性,“”,P23,定理,1.1,(,跳过,?),第12页,证实,充分性,“”,则,当 时，,假如,定理,设,三、,极限,则,第13页,三、,极限,关于含,极限作以下要求：,(3),所,关心两个问题,：,(1),怎样证实极限存在？,(2),怎样证实极限不存在？,选择,不一样路径,进行攻击,。,放大技巧,。,(1),(2),第14页,x,y,讨论函数 在 极限。,例,当 时，,当 时，,所以极限不存在。,解,方法一,P24,例,1.15,第15页,解,当 时，,当 时，,所以极限不存在。,方法二,x,y,方法三,沿着
6、射线,与 相关，所以极限不存在。,讨论函数 在 极限。,例,x,y,第16页,四、连续,定义,则称 在,点,连续,。,若,z,0,若 在区域,D,内处处连续，则称,在,D,内,连续,。,注,(1),连续,三个要素：,存在；,存在；,相等。,(2),连续,等价表示：,其中，,(3),一旦知道函数连续，反过来能够用来求函数极限。,通常说：,当自变量充分靠近时，函数值充分靠近,。,P24,定义,1.2,第17页,性质,四、连续,(1),在,连续两个函数,与,和、差、积、,商,(,分母在,不为零,),在,处连续。,z,0,z,0,z,0,(2),假如函数 在,处连续，函数 在,连续，则函数 在,处连续。,z,0,z,0,(,由,基本初等函数,连续性可得,初等函数,连续性,),(3),假如函数 在有界闭区域,D,上连续，则,P26,第18页,证,(,略,),例,证实,在复平面上除去原点,和负实轴区域上连续。,讨论函数 连续性。,例,(,当 时,),故函数 处处连续。,解,y,x,e,z,0,d,P25,例,1.16,第19页,证实,(,略,),比如,函数 在复平面内除原点外,是处处连续。,因为 除原点外是处处连续，,而 是处处连续。,P25,定理,1.2,四、连续,第20页,轻松一下吧,第21页,
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