1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考,不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考,不能作为科学依据。谢谢,第1页,数学物理方法,一些经典方程和定解条件推导,第一章,Calculations of Some Typical Equations with Definite Conditions,思绪,数学物理方程与特殊函数,第2页,一.均匀弦横振动方程建立,二.传输线方程(电报方程)建立,三.电磁场方程建立,四.热传导方程建立,提要:,五.举例,第3页,数学物理方程建立:,从考查对象中任取一微元,寻找与之相关力、热、声、光、电等物理关联
2、数学表述,并对其整理、简化,得到所研究问题偏微分方程。,“一语道破!”,适用范围:,这是从事科学研究基本,方法与路径。,第4页,第5页,第一章 一些经典方程和定解条件推导,1.1 基本方程(泛定方程)建立,物理模型,(现象、过程),数学形式表述,(建立偏微分方程并求解),目标:培养分析、归纳、综合、演绎、抽象、猜测、试探、估算科学方法。,步骤,:(1)确定研究对象(物理量),建立适当坐标系;,(2)在系统内部,任取一微元,利用物理规律,分析其与相邻部分间作用;,(3)忽略次要原因,抓住主要矛盾;,(4)化简整理,得到偏微分方程。,不含初始条件,不含边界条件,第6页,物理状态描述:,设有一根均匀
3、、柔软细弦,平衡时沿直线拉紧,除受到重力外,,不受其它外力影响,在铅直平面内作横向、微小振动。,平衡位置,任意截取一小段,并抽象性夸大。,弦振动:即使经典,但,极具启发性。,一.均匀弦横振动方程建立,第7页,X,1、建立坐标系 选定微元,u,o,ds,M,N,M,N,x,x+dx,2、微元ds动力学方程(牛顿第二运动定律),T,T,隔离物体法,第8页,X,1、建立坐标系 选定微元,u,o,ds,M,N,M,N,x,x+dx,2、微元ds动力学方程(牛顿第二运动定律),T,T,(1),(2),第9页,马克思在数学手稿中指出:微分是“扬弃了或消失了差值”。哲学上“扬弃”是指“既被克服又被保留”,是
4、包含着必定否定。在导数定义中,分子,y,和分母,x 都被扬弃了,就是说,它们都消失为 0,从而有限大小 x 和 y 都被克服,差商,不过,它们依赖关系(比值)却保留下来了。,我们记扬弃了(或消失了),那末,导数就是,导数,第10页,从运动观点看导数定义,导数,关于函数某种形式极限 (实质),函数在某点上改变率 (数学结构),某点上切线斜率 (几何意义),导数,“只有微分学才能使自然科学有可能用数学来不但仅,表明状态,而且也表明过程:运动。”,摘恩格斯.自然辩证法,第11页,3、忽略与近似,(1),(2),ds,T,T,o,对于小振动:,所以有:,第12页,3、忽略与近似,(1),(2),对于小
5、振动:,于是(1)式变为:,代入(2)式变为:,普通说来,将 g 略去,上式变为,第13页,第14页,上式实际上能够明确表示为:,令 ,于是有:,一维波动方程,4、整理化简,第15页,L,二.传输线方程(电报方程)建立,现在考虑电流一来一往高频传输线,它被看成含有,分布参数,导体,每单位长导线所含有电阻、电感、电容、电导分别以 R、L、C、G 表示。,对于直流电或低频交流电,电路基尔霍夫(Kirchhoff)定律指出,同一支路中电流相等。但对于较高频率电流(指频率还未高到显著,辐射电磁波出去程度),电路导线中自感和电容效应不能被忽略,,因而同一支路中电流展现瞬态改变。,第16页,物理状态描述:
6、,设如图传输线是,分布参数电路,,即传输线上电阻 R、电感 L、电容 C 和电导 G 是按单位长度计算其对应物理量,而且在 x+dx 范围之内全部元件不论布局怎样,均认为其长度为 dx.,第17页,电容元件:,电感元件:,换路定理:,在换路瞬间,电容上电压、电感中电流不能突变。,电路准备知识,第18页,+,L,L,C,C,+,-,与同学们商榷,几个,问题:(P4-5),(1)设某时刻 t,输入与输出端对应关系是否合理?,(2)电流 作为初始条件,在流经电感时是否要改变?,(3)按照图示,电容与电导两端电压怎样界定(注意P5.-1.5式)?,”是否合理?,“另外,由基尔霍夫第一定律,流入,节点,
7、电流应等于流出该,节点,电流,即,第19页,梁昆淼先生做法:,“今考虑一来一往高频传输线,每单位长一来一往所含有电阻,电感,电容,电漏分别记以 R,L,C,G。于是,亦即,亦即,将 作用于第一式,作用于第二式,两结果相减,就消去了 而得 方程,同理,消去 ,得到 方程,第20页,设某时刻 t,对应关系以下:,左端:;右端:,+,L,L,C,C,+,-,输入端,输出端,参阅:丘关源主编电路P426-430,第十八章,均匀传输线。,第21页,+,L,L,C,C,+,-,由基尔霍夫电压定律:,由基尔霍夫电流定律:,电容上电流:,电感上电压:,流入,流出,第22页,+,L,L,C,C,+,-,由基尔霍
8、夫电流定律:,电容上电流:,电感上电压:,整理后得到:,相对于函数改变率,略去无穷小量dx,得,第23页,由基尔霍夫电压定律:,由基尔霍夫电流定律:,(1.4),(1.5),第24页,第25页,基本电磁场量 场物质方程 Maxwell方程,电场强度,磁场强度,电感应强度,磁感应强度,介质介电常数,导磁率,导电率,传导电流面密度,电荷体密度,Vector difference operator,三.电磁场方程建立,第26页,目标:利用上述关系,分别解出 、。,由,将 代入上式,得,对上式两边求旋度,得,再将 代入上式,得,这是一个关于磁场强度二阶微分方程,方法之一,第27页,为深入化简,利用 H
9、amilton 算子运算性质,磁场强度、磁感应强度散度为零。,如法炮制,可得关于电场强度方程,假如介质不导电(,=0),,上述方程简化为:,三维波动方程,将 代入上式,得,第28页,目标:建立关于电位 u 方程,由电感应强度 与电场强度 定义知:,(电荷体密度),而电场强度与电位之间关系,由下式确定,由此可得:,依据Hamilton 算子运算性质:,这个非齐次方程称为泊松(Poisson)方程,若静电场是无源,即 ,上式又可写成,这个齐次方程称为拉普拉斯(Laplace)方程,上式可写成,方法之二,第29页,数学准备知识,第30页,第31页,第32页,第33页,第34页,第35页,静电场方程泊
10、松(Poisson)方程,方法之三,第36页,第37页,物理模型:均匀且各向同性导热体,在传热过程中所满足微分方程.,研究对象:热场中任一闭曲面 S,体积为 V,热场,V,(体积),S,(闭曲面),t 时刻,V 内任一点 M(x,y,z)处,温度为 u(x,y,z,t).,M,曲面元 ds 法向 (从V内 V外),ds,数学表述为,:,四.热传导方程建立,物理规律:由热学(Fourier)试验可知:,dt 时间之内,流经面元 ds 热量 dQ,与时间 dt 成正比;,曲面面积 ds 成正比;,温度 u 沿曲面法方向,方向导数 成正比。,第38页,关于双侧曲面侧与其边界曲线方向作以下要求:设有些
11、人站在双曲面指定一侧,沿其行走,指定侧总在人左方,则人前进方向为边界限正向;若沿其行走,指定侧总在人右方,则人前进方向为边界限负向,这个要求方法也称为右手法则,即当右手除拇指之外四指按正向弯曲时,竖起拇指所指方向与上法向量指向相同,称如此要求了正向边界曲线为曲面正向边界曲线如图所表示,小常识,第39页,M,ds,V,(体积),S,(闭曲面),热场,第40页,M,ds,V,(体积),S,(闭曲面),热场,数学表述为:,从 t,1,t,2,经过曲面元 S,流入区域 V 热量为,必定等于 V 内各点所吸收热量(热量守恒),上式中 ,在热学中意义?,为何上式左边“”号又不见了?,第41页,数学处理:因
12、为 S 为闭曲面,假设 u(x,y,z)含有一阶连续偏导数,那么,依据奥高公式(高斯公式),所以有:,第42页,因为 t,1,t,2,以及区域 V 任意性,且被积函数为连续,所以有,若令:,那么上述方程可写为,三维热传导方程,第43页,讨论:,(1).若 V 内有热源,强度为 F(x,y,z,t),则热传导方程为,其中,(2).若导热体为一根细杆,则,(3).若导热体为一薄片,则,第44页,(4).若热场为一稳恒场(温度趋于平衡状态),则,与之对应有,稳恒温度场内温度满足Laplace方程.,(5).在研究气体扩散、液体渗透、半导体材料中杂质扩散等物理过,程时,若扩散系数为常量,那么所导出 扩
13、散方程,形式上与热传导,方程相同。即,这里,扩散系数,浓度,第45页,一.均匀弦横振动方程,二.传输线方程(电报方程),一维波动方程,高频传输线方程,三.电磁场方程,三维波动方程,四.热传导方程,(场点 t 时刻温度分布),三维热传导方程,(振幅),(电流、电压),第46页,1.2 初始条件与边界条件,上一节谈到:物理规律 数学表述;我们还需要将,详细条件 数学表述出来。,所提出详细条件,应该恰如其分地说明系统初始状态,以及边界上物理情况,不能提出过多条件,也不能提出过少条件。,从物理角度来说,只要确定了系统初始状态、边界上物理情况,那末其后发展,也必是确定了;换言之,其对应数学问题,应该有唯
14、一解。,一、初始条件系统内部描述与时间相关初始状态数学表述。,(1)弦振动,第47页,(2)热传导,尤其说明:Poisson 方程,Laplace 方程,都是描述稳恒状态,与初始条件无关,,可不提初始条件。,列出初始条件,普通都不至于感到困难,不过有一点必须强调:初始条件应该说明,整个系统初始状态,而不是系统中个别地点初始状态!,第48页,二、边界条件详细物理问题边界约束状态。,以弦振动为例,弦振动时,其端点(以 x=a 表示这个端点)所受到约束情况,通常有以下三类,右端点在振动过程中一直保持不动。,(1)固定端(右端),(2)自由端(右端),右端点在振动过程中不受 u 方向外力,从而这,个端
15、点在位移方向上张力为 0。,第49页,(3)弹性支承端,第50页,又如热传导问题:,V,(体积),S,(闭曲面),M,ds,第51页,第52页,第53页,本课程内容,只包括线性边界条件,且仅包含以下三类。,第一类边界条件:,物理条件直接要求了 u 在边界上值,如,第二类边界条件,:,物理条件并不直接要求了 u 在边界上值,而是要求了u 法向微商在,边界上值,如,第三类边界条件:,物理条件要求了 u 与u,n,在边界上值之间某个线性关系,如,第54页,1.3 定解问题提法,1.二阶线性偏微分方程解,二阶线性偏微分方程最普通形式为(n 个自变量),对于只有两 个自变量情况,上式则改变为,(1.33
16、),(1.34),线性偏微分方程(1.33)主要特征之一,就是从本身形式上,将叠加原理表现得淋漓尽致。,第55页,第56页,结论:假如一个函数 u,含有某个偏微分方程中所要求各阶连续偏导数,并代入该方程,,使其变成为恒等式,则此函数被称为该方程解(古典解)。,2.几个名词介绍,第57页,3.定解问题稳定性与适定性,物理问题“翻译”为数学问题,是否符合客观实际,尚须加以验证!,(1)解存在性定解问题是否有解。,(2)解唯一性是否只有一个解。,(3)解稳定性定解条件发生微小改变,解亦只有微小改变。,方法:试算+试验,本书所包括定解问题,都是古典,适定。,“+”拟合,上述:解存在性、唯一性、稳定性,
17、被通称为适定性。,第58页,第59页,第60页,为何?,第61页,为何?,小技巧!,微分性质不变性.,第62页,第63页,第64页,方法之二,第65页,第66页,设有空间两点,若以 M,1,为始点,另一点 M,2,为终点线段称为有向线段.,经过原点作一与其平行且同向有向线段.将与 Ox,Oy,Oz 三个坐标轴正向,夹角,分别记作,.这三个角,称为有向线段方向角.,则其方向角也是唯一确定。,其中,0,0,0.若有向线段方向确定了,,方向角余弦称为有向线段或对应有向线段方向余弦。,第67页,等温线或等温面,第68页,等温线或等温面,第69页,等温线或等温面,第70页,例.,设长为 均匀细弦,两端固
18、定,初始位移为 0。开始时,在,处受到冲量为 作用,试写出其定解问题。,解:建立坐标系,并选取研究对象如图示。,其一维波动方程为:,泛定方程(1),由两端固定,知:,边界条件(2),为了导出初始条件,考虑:由初始位移为 0,知,由开初时,在 处受到冲量 作用知,上动量改变,即为冲量,于是有,对于 点周围足够小 ,弦段,第71页,为了导出初始条件,考虑:由初始位移为 0,知,由开初时,在 处受到冲量 作用知,上动量改变,即为冲量,于是有,质量,速度,冲量:力时间作用效应。,动量定理:动量改变=冲量作用。,受冲击时初位移,受冲击时初速度,动量:质量与速度乘积。,对于 点周围足够小 ,弦段,由此可见
19、:初始条件为,初始条件(3),第72页,最终可得定解问题,泛定方程(1),边界条件(2),初始条件(3),第73页,第74页,解:建立坐标系,并选取研究对象如图示。,其一维波动方程为:,泛定方程(1),由两端固定,知:,边界条件(2),为了导出初始条件,考虑:由初始位移为 0,知,由开初时,在 处受到冲量 作用知,上动量改变,即为冲量,于是有,对于 点周围足够小 ,弦段,第75页,为了导出初始条件,考虑:由初始位移为 0,知,由开初时,在 处受到冲量 作用知,上动量改变,即为冲量,于是有,对于 点周围足够小 ,弦段,质量,速度,由此可见:初始条件为,初始条件(3),冲量:力时间作用效应。,动量
20、定理:动量改变=冲量作用。,受冲击时初位移,受冲击时初速度,动量:质量与速度乘积。,第76页,例,有一均匀杆,只要杆中任一小段有纵向位移或速度,必定引致邻段压缩或伸,长,这种伸缩传开了去,就有纵波沿着杆传输。试导出它振动方程。,分析:,第77页,另附,第78页,解 泛定方程推导,设杆横截面积为 S,杨氏模量为 E,密度为,。,第79页,解 泛定方程推导,设杆横截面积为 S,杨氏模量为 E,密度为,。,如图建立坐标系,,并选取任意微元。,由Hooke 定律,微元所受到弹性力为,依据牛顿运动定律,得,第80页,这就是杆在平衡位置,含有横坐标为 横截面上纵向位移量 所,满足偏微分方程。它是一维齐次波动方程。,(1)泛定方程,(2)初始条件,第81页,(3)边界条件,振动问题在平衡位置处,运动特征,第82页,综合起来,定解问题应为:,(1)泛定方程,(2)初始条件,(3)边界条件,定解问题,第83页,第84页,第85页,初始条件应该说明整个系统初始状态,而不是系统中个别地点初始状态!,边界条件一定要在边界上选取!,第86页,第一类边界条件:,物理条件直接要求了 u 在边界上值,如,第二类边界条件,:,物理条件并不直接要求了 u 在边界上值,而是要求了u 法,向微商在边界上值,如,第三类边界条件:,物理条件要求了 u 与u,n,在边界上值之间某个线性关系,如,第87页,