【全程复习方略】(广西专用)2013版高中数学-9.8空间向量及其运算课时提能训练-理-新人教A版.doc

【全程复习方略】（广西专用）2013版高中数学 9.8空间向量及其运算课时提能训练 理 新人教A版
(45分钟 100分)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1.如图，在底面为平行四边形的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，M是AC与BD的交点，若＝a，＝b， ＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)

(A)－a＋b＋c　　　　　(B)a＋b＋c
(C)a－b＋c (D)－a－b＋c
2.已知A、B、C三点不共线，O是平面ABC外的任一点，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是(　　)
(A)＝＋＋
(B)＝2－－
(C)＝＋＋
(D)＝＋＋
3.有以下命题：
①如果向量a，b与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么a，b的关系是不共线；
②O，A，B，C为空间四点，且向量，，不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面；
③已知向量a，b，c是空间的一个基底，则向量a＋b，a－b，c也是空间的一个基底.其中正确的命题是(　　)
(A)①②　　(B)①③　　(C)②③　　(D)①②③
4.设A、B、C、D是空间不共面的四个点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD的形状是(　　)
(A)钝角三角形 (B)直角三角形
(C)锐角三角形 (D)无法确定
5.(2012·钦州模拟)已知ABCD为四面体，O为△BCD内一点(如图)，则＝(＋＋)是O为△BCD重心的(　　)
(A)充分不必要条件
(B)必要不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分又不必要条件
6.(2012·柳州模拟)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点M在上且＝
，N为B1B的中点，则||为(　　)
(A) (B) (C) (D)
二、填空题(每小题6分，共18分)
7.在空间四边形ABCD中，·＋·＋·＝　　　.
8.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对于命题：
①(＋＋)2＝32；
②·(－)＝0；
③与的夹角为60°；
④此正方体的体积为|··|；
其中错误命题的序号是　　　.(将所有错误命题的序号都写出来)
9.(易错题)已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别是对边OA、BC的中点，点G在线段MN上，且＝2，现用基向量，，表示向量，设＝x＋y＋z，则x，y，z的值分别为　　　　，　　　　，　　　　.
三、解答题(每小题15分，共30分)
10.已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形，侧棱AA1的长为3，∠BAA1＝∠DAA1＝120°，求对角线AC1和BD1的长.
11.(预测题)如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.
(1)求AC1的长；
(2)求BD1与AC夹角的余弦值.

【探究创新】
(16分)在棱长为1的正四面体OABC中，若P是底面ABC上的一点，求|OP|的最小值.

答案解析
1.【解析】选A.＝＋＝＋
＝c＋(－)＝c＋(b－a)
＝－a＋b＋c.
【变式备选】已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若＝＋x＋y，则x、y的值分别为(　　)
(A)x＝1，y＝1 (B)x＝1，y＝
(C)x＝，y＝ (D)x＝，y＝1
【解析】选C.
如图，＝＋
＝＋＝＋
(＋)，
所以x＝，y＝.
2.【解析】选D.由共面向量定理＝m·＋n·＋p·，m＋n＋p＝1，
说明M、A、B、C共面，可以判断A、B、C都是错误的，则D正确.故选D.
3.【解析】选C.对于①，“如果向量a，b与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么a，b的关系一定是共线”，所以①错误，②③正确.
4.【解题指南】通过·，·，·的符号判断△BCD各内角的大小，进而确定出三角形的形状.
【解析】选C.·＝(－)·(－)
＝·－·－·＋2＝2>0，
同理·>0，·>0.故△BCD为锐角三角形.
5.【解析】选C.若O是△BCD的重心，则＝＋＝＋×(＋)＝＋(＋)＝＋(－＋－)＝(＋＋)，
若＝(＋＋)，
则－＋－＋－＝0，
即＋＋＝0.
设BC的中点为P，则－2＋＝0，
∴＝－2，即O为△BCD的重心.
6.【解析】选A.如图，设＝a，
＝b，＝c，则a·b＝b·c＝c·a＝0.
由条件知＝＋＋
＝－(a＋b＋c)＋a＋c
＝a－b＋c
∴||2＝a2＋b2＋c2＝，
∴||＝.
7.【解析】设＝b，＝c，＝d，
则＝d－c，＝d－b，＝c－b，
原式＝b·(d－c)＋d·(c－b)－c·(d－b)＝0.
答案：0
8.【解析】因为(＋＋)2＝2＝32，所以①正确；
因为·(－)＝·
＝(＋)·＝·＋·＝0，
所以②正确；
因为与的夹角为120°，所以③错；
因为|··|≠||·||·||，所以④错.
答案：③④
9.【解析】＝＋＝＋2，①
＝＋＋＝＋＋
＝＋(－)－，
即＝＋－.②
①＋②×2，得3＝＋＋，
所以＝＋＋，
即x＝，y＝，z＝.
答案：　　
10.【解析】设＝a，＝b，＝c，
则有|a|＝|b|＝1，|c|＝3，a·b＝0，
a·c＝b·c＝－.因为＝a＋b＋c，
所以||＝
＝＝，
又＝b＋c－a，
故||＝
＝＝.
即对角线AC1和BD1的长分别为和.
11.【解题指南】选、、为基向量，利用数量积解题.
【解析】设＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝1，
〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
∴a·b＝b·c＝c·a＝.
(1)||2＝(a＋b＋c)2
＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c
＝1＋1＋1＋2×(＋＋)＝6.
∴AC1＝||＝.
(2)＝b＋c－a，＝a＋b.
∴||＝，||＝.
·＝(b＋c－a)·(a＋b)
＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1.
∴cos〈，〉＝.
∴AC与BD1夹角的余弦值为.
【方法技巧】用向量法解题的常见类型及常用方法
(1)常见类型
利用向量可解决空间中的平行、垂直、长度、夹角等问题.
(2)常用的解题方法
①基向量法
先选择一组基向量，把其他向量都用基向量表示，然后根据向量的运算解题；
②坐标法
根据条件建立适当的空间直角坐标系，并求出相关点的坐标，根据向量的坐标运算解题即可.
【探究创新】
【解题指南】向量，，的模均为1，其夹角都是60°，故选取，，当基底，利用向量的运算求||的最小值.
【解析】设＝a，＝b，＝c，
由题意，知|a|＝|b|＝|c|＝1，
〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
∵点P在平面ABC上，
∴存在实数x，y，z，
使＝xa＋yb＋zc，且x＋y＋z＝1，
∴2＝(xa＋yb＋zc)2
＝x2＋y2＋z2＋2xya·b＋2yzb·c＋2xza·c
＝x2＋y2＋z2＋xy＋yz＋zx
＝(x＋y＋z)2－(xy＋yz＋zx)
＝1－(xy＋yz＋zx)
∵1＝(x＋y＋z)2＝x2＋y2＋z2＋2xy＋2yz＋2zx
＝[(x2＋y2)＋(y2＋z2)＋(z2＋x2)]＋2xy＋2yz＋2zx
≥(2xy＋2yz＋2zx)＋2xy＋2yz＋2zx
＝3(xy＋yz＋zx)，∴xy＋yz＋zx≤，
当且仅当x＝y＝z＝时“＝”成立.
∴2≥1－＝，
∴||≥＝，
∴|OP|的最小值为.
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