复变函数与积分变换课堂PPT第四章省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢,第,四章,级数,1 复数项级数,2 幂级数,3 泰勒级数,4 洛朗级数,1/121,1,数学分析中级数理论很轻易推广到复函数上来，,并得到一些系统结论。不但如此，级数可作为研究,解析函数一个主要工具，将解析函数表示为幂级数。,是泰勒定理由实情形推广，是研究解析函数另一,主要方法(注意前一章是用复积分方法研究)。,2/121,2,1 复数项级数,1.复数列极限,2.级数概念,3/121,3,1.复数列极限,此时也称复数列,n,收敛,于,。,则,称为复数列,n,当,n,时,极限,记作,设,为一复数列,其中,n,=,a,n,+,ib,n,又,设,a,=,a,+,ib,为一确定复数。假如任意给定,对应,地能找到一个正数,使,在,n,N,时成立,定理一,复数列,收敛于,充要条件,是,4/121,4,定理一,复数列,收敛于,充要条件,是,找到一个正数,N,当,n,N,时,则,，同理,所以,则对于任意给定,就能,证,假如,5/121,5,从而有,所以,存在,N,，当,n,N,时，有,则任给,0,反之,假如,定理一,复数列,收敛于,充要条件,是,证,6/121,6,2.级数概念,称为,无穷级数,其最前面,n,项和,称为级数,部分和,。,级数,称为,发散,。,设,为一复数列,表示式,假如部分和数列,s,n,收敛,则级数,称为,收敛,，且,极限,称为,级数和,。假如数列,不收敛，则,7/121,7,都收敛。,证,因,级数,定理二,和,收敛,充要条件,是级数,部分和,由定理一,s,n,有极限存在充要条件,是,s,n,和,n,极限存在,即级数,都收敛。,和,其中,和,分别为,8/121,8,定理二将复数项级数审敛问题转化为实数项级,和,数审敛问题。而由实数项级数,收敛,和,必要条件,要条件是,马上可得,，从而推出复数项级数,收敛必,9/121,9,成立。,，可知级数,都收敛，因而,和,及,也都收敛，则,是收敛。而又因,，所以,或,假如,收敛，则,也收敛，且不等,定理三,因为,，而,证,式,10/121,10,非绝对收敛收敛级数称为,条件收敛级数,。,定义,假如,收敛，则称级数,绝对收敛,。,因为,，所以,，,所以当,绝对收敛时，,也绝对收敛，所以,与,绝对收敛,充要条件,是,绝对收敛。,和,11/121,11,例1,考查级数,敛散性。,解,因,发散，虽,收敛，仍断定原级数发散。,收敛也可用正项级数判定法来判定。,各项都是非负实数,所以它,另外,因为,12/121,12,例2,以下数列是否收敛?假如收敛,求出其极限。,解,1)因,，故,而,所以数列,收敛，且有,2)因为,a,n,=,n,cos,in,=,n,ch,n=n,(,e,n,+e,-n,)/2,所以,当,n,时,a,n,。所以,a,n,发散。,13/121,13,例,以下数列是否收敛?假如收敛,求出其极限。,解,14/121,14,例3,以下级数是否收敛?是否绝对收敛?,解,1),收敛,故原级数发散。,发散；,敛,故原级数收敛,且为绝对收敛。,为条件收敛,所以原级数非绝对收敛。,3)因,收敛；,也收敛,故原级数收敛。但因,2)因,由正项级数比值审敛法知,收,15/121,15,例,以下级数是否收敛?是否绝对收敛?,解,1),3),2),16/121,16,2 幂级数,1.幂级数概念,2.收敛圆与收敛半径,3.收敛半径求法,4.幂级数运算和性质,17/121,17,1.幂级数概念,称为,复变函数项级数,。最前面,n,项和,设,称为这级数,部分和,。,区域,D,内有定义。表示式,为一复变函数序列,其中各项在,存在,则称复变函数项级数在,z,0,收敛,而,s,(,z,0,)称为它,和,。,假如对于,D,内某一点,z,0,极限,18/121,18,若级数在,D,内处处收敛,则和一定是,z,一个函数,s,(,z,)：,s,(z)称为级数,和函数,。,这种级数称为,幂级数,。,级数特殊情形:,假如令,或,当,f,n,(,z,)=,c,n,-1,(,z,-,a,),n,-1,或,f,n,(,z,)=,c,n,-1,z,n,-1,时,就得到函数项,形式,为了方便,今后常就讨论第二式。,这是第二式,则上式就成为,19/121,19,定理一(阿贝尔Abel定理),z,0,x,y,O,若级数,在,收敛，则对满足,z,，级数必绝对收敛，假如在,级数发散，则对满足,z,，级数必发散。,同高等数学中幂级数一样，复变幂级数也有所谓,幂级数收敛定理。,证,因,收敛，则,则存在,使对全部,n,有,假如,，则,而,20/121,20,因为,为公比小于1等比级数，故收敛，所以,亦收敛，从而级数,是绝对收敛。,假如级数,发散，且假如。,用反证法,，设级数,结论可导出,收敛，与所设矛盾，所以只能是,发散。,反而收敛，则依据前面,21/121,21,2.收敛圆和收敛半径,利用阿贝尔定理,能够定出幂级数收敛范围,对一,个幂级数来说,它收敛情况不外乎,三种,：,i),对全部正实数都是收敛。这时,依据阿贝尔,定理可知级数在复平面内处处绝对收敛。,ii),对全部正实数除,z,=0外都是发散。这时,级数,在复平面内除原点外处处发散。,iii),既存在使级数收敛正实数,也存在使级数发散,正实数。设,时,级数发散。当,由小逐步变大时,(正实数)时,级数收敛,(正实数),一个以原点为中心,R,为半径圆周,C,R,。,必定逐步靠近,22/121,22,显然,a,1，所以原级数在收敛圆,上是处处收敛。,30/121,30,例2,求以下幂级数收敛半径,(并讨论在收敛圆周上情形)；,(并讨论,z,=0,2 时情形)；,1),2),3),解,2),级数收敛；当,z,=2时，原级数成为,也有级数发散点。,，即,R,=1。,这个例子表明，在收敛圆周上即有级数收敛点，,上，当,z,=0时，原级数成为,在收敛圆,发散。,31/121,31,例2,求以下幂级数收敛半径,(并讨论在收敛圆周上情形)；,(并讨论,z,=0,2 时情形)；,1),2),3),解,3),因为,故收敛半径为,，所以,32/121,32,2),上，当,z,=0时，原级数成为,，级数收敛；当,z,=2,上即有级数收敛点，也有级数发散点。,，即,R,=1。在收敛圆,时，原级数成为,发散。这个例子表明，在收敛圆周,3),因为,故收敛半径为,因为这是一个,p,级数，,p,=3 1，所以原级数在收敛圆,上是处处收敛。,，所以,33/121,33,例,求以下幂级数收敛半径,1),2),3),解,1),4),5),34/121,34,例,求以下幂级数收敛半径,1),2),3),解,2),4),5),35/121,35,例,求以下幂级数收敛半径,解,3),1),2),3),4),5),36/121,36,例,求以下幂级数收敛半径,解,4),1),2),3),4),5),37/121,37,例,求以下幂级数收敛半径,1),2),3),解,5),4),5),38/121,38,4.幂级数运算和性质,在以原点为中心,r,1,r,2,中较小一个为半径圆内,这两,个,幂级数能够象多项式那样进行相加,相减,相乘,所得到,幂级数和函数分别就是,f,(,z,)与,g,(,z,)和,差与积。在,象实变幂级数一样,复变幂级数也能进行有理运算。,详细说来，设,中较小一个，也就是,各种情形，所得到幂级数收敛半径大于或等于,r,1,与,r,2,39/121,39,为了说明两个幂级数经过运算后所得幂级数收敛半,径确定能够大于,r,1,与,r,2,中较小一个,下面举一个例子。,例3,设有幂级数,与,，求,收敛半径。,40/121,40,例3,设有幂级数,与,，求,收敛半径。,解,但级数,轻易验证，,与,收敛半径都等于1,收敛半径,公共收敛圆域,本身收敛圆域大于,这就是说,，但应注意，使等式,与,41/121,41,例3,设有幂级数,与,，求,收敛半径。,解,公共收敛圆域,本身收敛圆域大于,这就是说,，但应注意，使等式,与,成立收敛圆域仍应为,，不能扩大。,42/121,42,更为主要是代换(复合)运算,就是：,把函数展开成幂级数时,有着广泛应用。,假如当,时,又设在,内,g,(,z,)解析且满足,则当,时，,。这个代换运算,在,43/121,43,例4,把函数,表成形如,幂级数，其中,a,与,b,是不相等复常数。,解,把函数,写成以下形式：,当,时，有,44/121,44,例4,把函数,表成形如,幂级数，其中,a,与,b,是不相等复常数。,解,设,从而可得,，那么当,时，上式右端级数收敛，,45/121,45,例4,把函数,表成形如,幂级数，其中,a,与,b,是不相等复常数。,解,设,，那么当,时，上式右端级数收敛，,且其和为,且。因为,z,=,b,时，,阿贝尔定理知，当,级数发散，即上式右端级数,O,x,y,a,b,当|,z,-,a,|,b,-,a,|=,R,时,级数收敛,上式右端级数发散，故由,时，,收敛半径为,46/121,46,本题解题步骤为,：首先把函数作代数变形，,使其分母中出现量,再按照展开式为已知函数,形式写成,，其中,。然后把,展开式中,z,换成,g,(,z,)。,47/121,47,例,把函数,分别表成形如,和,幂级数，并求其收敛半径。,解,(1)把函数,而,时，即,展开成形如,幂级数，,即,48/121,48,例,把函数,分别表成形如,和,幂级数，并求其收敛半径。,解,(2)把函数,而,时，即,展开成形如,幂级数，,即,49/121,49,定理四,设幂级数,收敛半径为,R,，则,1)它和函数,是收敛圆,解析函数。,2),f,(,z,)在收敛圆内导数可将其幂函数逐项求导,内,得到，即,3),f,(,z,)在收敛圆内能够逐项积分,即,或,复变幂函数也象实变幂级数一样，在其收敛圆内具,有以下性质：,50/121,50,例,求以下幂级数收敛半径及其和函数,1),2),3),解,1),2),51/121,51,例,求以下幂级数收敛半径及其和函数,1),2),3),解,3),52/121,52,例,求以下幂级数收敛半径及其和函数,1),2),3),解,1),4),2),3),4),53/121,53,3 泰勒级数,54/121,54,设函数,f,(,z,)在区域,D,内解析,而,z,0,K,z,r,z,z,0,为中心任何一个圆周,它与它内部全含于,D,把,上一节中证实了一个幂级数和函数在收敛域内,部是一个解析函数。这节来研究：任何一个解析函数,是否能用幂级数来表示？这个问题不但含有理论意义，,而且很有实用价值。,为,D,内以,它记作,K,又设,z,为,K,内任一,点。于是按柯西积分公式有,55/121,55,其中,K,取正方向,且有,因为积分变量,取在圆周,K,上，点,z,在,K,内部，所以,，且有,56/121,56,代入柯西积分公式得,由解析函数高阶导数公式，上式可写成,57/121,57,其中,在,K,内成立,即,f,(,z,)可在,K,内用幂级数表示。为此令,显然，,q,与积分变量,z,无关,且 0,q,1。因为,K,含于,D,假如能证实,在,K,内成立，由上式可得,58/121,58,f,(,z,)在,D,内解析,从而在,K,上连续,则在,K,上有界,所以在,K,上存在正实数,M,使|,f,(,z,)|,M,。则,所以,下面公式在,K,内成立。,59/121,59,称为,f,(,z,)在,z,0,泰勒展开式,它右端级数称为,f,(,z,)在,z,0,处,泰勒级数,。,假如,z,0,到,D,边界上各点最短距离为,d,则展开式,在圆域|,z,-,z,0,|,d,内成立。但这时对,f,(,z,)在,z,0,泰勒级数来,说,它收敛半径,R,最少等于,d,因为凡满足|,z,-,z,0,|,d z,必能使公式成立,即,R,d,。,从以上讨论，可得到下面定理,(泰勒展开定理,),60/121,60,成立，其中,定理(泰勒展开定理),D,内一点,d,为,z,0,到,D,边界上各点最短距离,则,当|,z,-,z,0,|,d,时,设,f,(,z,)在区域,D,内解析,z,0,为,从以上讨论，可得到下面定理,(泰勒展开定理,),61/121,61,假如,f,(,z,)在,z,0,解析,则使,f,(,z,)在,z,0,泰勒展开式成立,O,x,y,z,0,a,圆域半径,R,等于从,z,0,到,f,(,z,)距,z,0,最近一个奇点,a,距,离,即,R,=|,a,-,z,0,|。这是因为,f,(,z,)在收敛圆内解析,故奇点,a,不可能在收敛圆内。又因为奇点,a,不可能在收敛圆外,不然收敛半径还能够扩大,所以奇点,a,只能在收敛,圆周上。,62/121,62,任何解析函数展开成幂级数结果就是泰勒级数,因而是唯一。,这是因为,假设,f,(,z,)在,z,0,用另外方法展开为泰勒级,则,f,(,z,0,)=,a,0,.,而,于是,f,(,z,0,)=,a,1,.,级数：,同理可得,63/121,63,由此可见，任何解析函数展开成幂级数结果就,是泰勒级数，因而是唯一。,利用泰勒展开式,也能够直接经过计算系数:,把,f,(,z,)在,z,0,展开成幂级数,这被称作,直接展开法,比如,故有,求,e,z,在,z,=0处泰勒展开式,因为,(,e,z,),(,n,),=,e,z,(,e,z,),(,n,),|,z,=0,=1,(,n,=0,1,2,.),64/121,64,因为,e,z,在复平面内处处解析,上式在复平面内处处成,立,收敛半径为,。,一样,可求得sin,z,与cos,z,在,z,=0泰勒展开式:,因为sin,z,与cos,z,在复平面上处处解析,所以这些等式也,在复平面内处处成立。,65/121,65,除直接法外,也能够借助一些已知函数展开式,利用幂级数运算性质和分析性质(定理四),以唯一,性为依据来得出一个函数泰勒展开式,此方法称为,间接展开法,。比如sin,z,在,z,=0 泰勒展开式也能够用,间接展开法得出：,66/121,66,例1,把函数,展开成,z,幂级数。,解,因为函数,有一个奇点,，而在,内处处解析，所以可在,内展开成,z,幂级数。,将上式两边求导，即得所求展开式,因为,67/121,67,解,ln(1+,z,)在从,解析,而,例2,求ln(1+,z,)主值在,z,=0处泰勒展开式。,向左沿负实轴剪开平面内是,是它奇点,所以可在|,z,|1 展开为,z,因为,，逐项积分得,幂级数。,68/121,68,-,1,O,R,=1,x,y,即,这就是所求泰勒展开式。,例2,求ln(1+,z,)主值在,z,=0处泰勒展开式。,解,ln(1+,z,)在从,69/121,69,解法1,例3,求幂级数,用待定系数法展开。因为,可知,f,(,z,)满足微分方程,为复数)主值支：,在,z,=0处泰勒展开式。,显然,f,(,z,)在从,-,1起向左沿负实轴剪开复平面内解,析，所以必能在|,z,|1内展开成,z,幂级数。,70/121,70,设,把它代入上列微分方程，得,即,71/121,71,所以所求展开式为,，得,比较上式两端,z,同次幂系数并注意,72/121,72,解法2,直接从,算出泰勒展开式系数。,为了方便，设,求导，得,所以,即,继续求导得,73/121,73,总之,把复变函数展开成幂级数方法与实变函数,情形基本一样。,最终要指出，幂级数,在收敛圆,内和函数是解析函数；反过来，在圆域,析函数,f,(,z,)必能在,展开成幂级数,f,(,z,)在,解析跟,f,(,z,)在,邻域内能够展开成幂级数,是两种等价说法。,内解,。所以，,于是得所求展开式。,令,z,=0，得,74/121,74,例,把以下函数展开成,z,幂级数，并指出它们,解,又,收敛半径。,故,75/121,75,例,把以下函数展开成,z,幂级数，并指出它们,解,收敛半径。,76/121,76,例,把以下函数展开成,z,幂级数，并指出它们,解,收敛半径。,77/121,77,例,把以下函数展开成,z,幂级数，并指出它们,解,收敛半径。,78/121,78,例,求以下函数在指定点处泰勒展开式，并指出,解,它们收敛半径。,79/121,79,例,求以下函数在指定点处泰勒展开式，并指出,解,它们收敛半径。,80/121,80,例,求以下函数在指定点处泰勒展开式，并指出,解,它们收敛半径。,81/121,81,4 洛朗级数,82/121,82,一个以,z,0,为中心圆域内解析函数,f,(,z,),能够在,首先讨论以下形式级数:,该圆域内展开成,则在,z,0,邻域内就不能用,将讨论在以,z,0,为中心圆环域内解析函数级数,幂级数。假如,f,(,z,)在,z,0,不解析,幂级数表示。本节中,表示法。,83/121,83,可将其分为两部分考虑,(正幂项部分),(负幂项部分),只有在正幂项和负幂项都收敛才认为第一式收敛,于它们和。,84/121,84,z,0,R,1,R,2,这是,正幂项是一幂级数,设它收敛半径,为,R,2,对负幂项,假如令,时,时，在圆环域,负幂项才收敛,所以,只有,幂级数,设收敛半径为,R,令,R,1,=1/,R,则当,原级数才收敛。,就得到,85/121,85,比如级数,中负幂项级数,即,(,a,与,b,为复常数),，当,时收,幂级数在收敛圆内许多性质,负幂项级数在收敛,圆环域内也含有。,敛,而正幂项级数,当,时收敛。所以当,时原级数在圆环域,收敛。当,时原级数,处处发散。,86/121,86,收敛区域。,例1,求级数,解,当,时，有,，则,当,时，有,，则,所以级数收敛区域为：,87/121,87,比如,能够证实,负幂项级数在收敛域内其和函数,是解析,而且能够逐项求积和逐项求导。,现在反问,在圆环域内解析函数是否一定能够展,开成级数?先看下例。,函数,在,z,=0及,z,=1都不解析，但在圆环,内都是解析先研究,情,及,域,形，,幂级数在收敛圆内许多性质,负幂项级数在收敛,圆环域内也含有。,88/121,88,函数,在,z,=0及,z,=1都不解析，但在圆环,内都是解析先研究,情,及,由此可见，,f,(,z,)在,内是能够展开为级数。,域,形，,其次,在圆环域：,内也能够展开为级数：,89/121,89,其次,在圆环域：,内处处解析函数,f,(,z,),可能展开成,形如上面级数，实际上我们有下面定理。,x,1,O,y,内也能够展开为级数：,从以上讨论可知，函数,f,(,z,)是能够展开成为级数，,只是这些级数含有,负幂项,罢了。据此推想，在圆环,域,90/121,90,定理,设,f,(,z,)在圆环域,这里,C,为在圆环域内绕,z,0,任何一条闭曲线。,其中,内解析,则,证,设,z,为圆环域内任一点,R,1,R,2,z,r,K,1,z,R,K,2,z,z,0,圆周,K,1,与,K,2,K,2,半径,R,大于,K,1,半,径,r,且使,z,在,K,1,与,K,2,之间。,在圆环域内作以,z,0,为中心正向,91/121,91,其中,R,1,R,2,z,r,K,1,z,R,K,2,z,z,0,由柯西积分公式得,92/121,92,内，所以,对第一个积分，,上，,z,在,在,.,又因为,在,上连续，所以存在一个常数,M,，使得,，跟泰勒展开式一样，能够推得,93/121,93,第二个积分,。因为,在,上，点,z,在,。所以,外部，所以,94/121,94,其中,现在需要证实,所以,在,外部成立。令,，所以有,则,95/121,95,所以有,所以有,96/121,96,上面级数系数由不一样式子表出。假如在圆环域,内取绕,z,0,任何一条正向简单闭曲线,C,，则依据闭路变形,原理,这两个式子可表示为：,其中,97/121,97,(4.4.5)称为,f,(,z,)在以,z,0,为中心圆环域：,内,洛朗(Laurent)展开式,它右端级,数称为,f,(,z,)在此圆环域内,洛朗级数,。级数中正整次幂,和负整次幂分别称为洛朗级数,解析部分,和,主要部分,。,C,z,0,R,1,R,2,98/121,98,另外，一个在某圆环域内解析函数展开为含有,正，负幂项级数是唯一，这个级数就是,f,(,z,)洛,实际上，假定,f,(,z,)在圆环域,种方法展成由正负幂项组成级数：,内用某,并设,C,为圆环域内任何一条正向简单闭曲线,为,C,上,一点，那么,朗级数。,99/121,99,这就是得到前面级数系数。,从而,上面定理给出了将一个圆环域内解析函数展开,成洛朗级数普通方法。但这方法计算系数很麻烦。,比如要把,在以,z,=0为中心圆环域,以,去乘上式两边，且,p,为任一整数，并沿,C,沿,分，得,100/121,100,内展开成洛朗级数时，若用公式计算,c,n,算，那么有,其中,C,为圆环域内任意一条简单闭曲线。,当,，即,，因为,在圆环域内解析，,故由柯西-古萨基本定理知，,，即,。,由高阶导数公式知,故有,当,101/121,101,若依据正、负整次幂项组成级数唯一性，能够用,别能够用别方法，尤其是代数运算，代换，求导和,积分等方法去展开,那么将会简便得多，像上例,两种方法相比，其繁简程度不可同日而语。所以，以,后在求函数洛朗展开式时，通常不用公式去求系数，,而像求函数泰勒展开式那样采取间接展开法。,102/121,102,x,y,O,1,x,y,O,1,2,x,y,O,2,在圆环域：,例1,函数,iii)2|,z,|+,；,i)0|,z,|1；,ii)1|,z,|2；,内处处解析,试把,f,(,z,)在这些区域内展开成洛朗级数。,103/121,103,解,先把,f,(,z,)用部分分式表示：,i),在 0|,z,|1 内；因为|,z,|1，从而,，所以,结果中不含有,z,负幂项，原因在于,在,z,=0处是解析。,104/121,104,ii),在1|,z,|2内，因为,，则,，又因为,从而有,，所以有,解,先把,f,(,z,)用部分分式表示：,105/121,105,iii),在2|,z,|+,内，因为,所以,，并所以有,，所以有,解,先把,f,(,z,)用部分分式表示：,106/121,106,在圆环域：,例,函数,iii)0|,z,-2,|1,；,i)0|,z,-1,|1；,ii)1|,z,-1,|+,；,内处处解析,试把,f,(,z,)在这些区域内展开成洛朗级数。,iv)1|,z,-2,|+,；,解,先把,f,(,z,)用部分分式表示：,107/121,107,解,先把,f,(,z,)用部分分式表示：,i),在 0|,z,-1|1 内，因为|,z,-1|1，所以,108/121,108,ii),在1|,z,-1|+,内，因为,，则,，有,解,先把,f,(,z,)用部分分式表示：,109/121,109,iii),在0|,z,-2|1内，因为,，则,解,先把,f,(,z,)用部分分式表示：,110/121,110,iv),在1|,z,-2|+,内，因为,，则,，有,解,先把,f,(,z,)用部分分式表示：,111/121,111,例2,把,解,因原函数在区域内处处解析，又,内展开成洛朗级数。,在,所以把上式中,z,代换成有,，即得所求洛朗展开式：,112/121,112,在以,z,=0 为中心、由,例,求函数,它奇点相互隔开不一样圆环域内洛朗展开式。,解,(1)在|,z,|1内展开，得,113/121,113,在以,z,=0 为中心、由,例,求函数,它奇点相互隔开不一样圆环域内洛朗展开式。,解,(2)在1|,z,|3内展开，得,114/121,114,在以,z,=0 为中心、由,例,求函数,它奇点相互隔开不一样圆环域内洛朗展开式。,解,(3)在3|,z,|+,内展开，得,115/121,115,函数能够在以,z,0,为中心(由奇点隔开)不一样圆环,域内解析,因而在各个不一样圆环域中有不一样洛朗展,开式(包含泰勒展开式作为它特例)。我们不要把这种,情形与洛朗展开式唯一性相混同。,所谓洛朗展开式,唯一性,是指函数在某一个给定圆环域内洛朗展开,式是唯一。另外，在展开式收敛圆环域内圆周上,注意：一个函数,f,(,z,)能够在奇点展开为洛朗级数，,也可在非奇点展开。,有,f,(,z,)奇点，外圆周上也有,f,(,z,)奇点，或者外圆周,半径为无穷大。,116/121,116,域(包含圆域)内展开式有三个：,O,-,i,i,比如在,为洛朗级数。,处展开,和,在复平面内有两个奇点：,与,分别在以,i,为中心,圆周：,与,上。所以,f,(,z,)在以,i,为中心圆环,1)在,中泰勒展开式；,2)在,中洛朗展开式；,中洛朗展开式；,3)在,上。所以,f,(,z,)在以-,i,为中心圆环域内展开式有,在复平面内有一个奇点：,z,=0在以,为中心圆周,二个：,117/121,117,尤其，当洛朗级数系数公式,可利用Laurent系数计算积分)。,闭曲线，,f,(,z,)在此圆环域内解析。所以计算积分可转化,时，有,1)在,中洛朗展开式；,2)在,中洛朗展开式。,中,或,(即,其中,C,为圆环域,内任何一条简单闭,为求被积函数洛朗展开式中,z,负一次幂项系数,c,-1,。,118/121,118,函数,在圆环域,由此可见,例1,求积分,解,内处处,解析，且,在此圆环域内，所以,f,(,z,),在此圆环域内洛,朗展开式系数,c,-,1,乘以,即为所求积分值。,，从而,119/121,119,函数,内解析，,在此圆,例2,求积分,解,在,环域,内，,把它在圆环域内展开得,故,c,-,1,=-,2,所以，原式,120/121,120,例3,求积分,解,。,朗系数为,内解析，其洛,在,则,例4,求积分,解,内解析，洛朗级数为,在,则,其洛朗系为,121/121,121,