复变函数与积分变换PPT省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢,复变函数与积分变换,Complex Functions and,Integral Transformation,云南师范大学物理与电子信息学院,和伟,1/51,引 言,在十六世纪中叶，,G.Cardano,(1501-1576)在研究一元二次,方程 时引进了复数。他发觉这个方程没有根，并,把这个方程两个根形式地表为 。在当初，,包含他自己在内，谁也弄不清这么表示有什麽好处。实际上，,复数被,Cardano,引入后，在很长一段时间内不被人们所理会，并,被认为是没有意义，不能接收“虚数”。直到十七与十八世纪，,伴随微积分产生与发展，情况才有好转。尤其是因为,L.Euler,研究结果，复数终于起了主要作用。比如大家所熟知,Euler,公式 揭示了复指数函数与三角函数之,间关系。然而一直到,C.Wessel,(挪威.1745-1818)和,R.Argand,(法国.1768-1822）将复数用平面向量或点来表示，以及,K.F.Gauss,(德国1777-1855)与,W.R.Hamilton,(爱尔兰1805-1865),定义复数 为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性,长久疑虑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立和,发展。,2/51,复变函数 理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有着广泛应用，是处理诸如流体力学，电磁学，热学弹性理论中平面问题有力工具。复变函数中许多概念，理论和方法是实变函数在复数领域推广和发展。,复变函数 理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有着广泛应用，是处理诸如流体力学，电磁学，热学弹性理论中平面问题有力工具。,复变函数中许多概念，理论和方法是实变函数在复数领域推广和发展。,3/51,复变函数与积分变换,Complex Functions and,Integral Transformation,4/51,课程性质,：,必修,选课对象,：,电子类各专业。,内容概要,：,介绍复变函数基本理 论和方,法。为学生学习相关专业课和,扩大数学知识面提供必要数,学基础。,5/51,选取教材,：,复变函数与积分变换 高等教育出版社.,6/51,课程基本要求,在课程学习中，要正确了解和掌握复变函数中数学概念和方法，逐步培养利用这些概念和方法处理实际问题能力.,与其它课程联络和分工,复变函数中许多概念和方法是高等数学中实变量函数在复数领域推广和发展，所以在学习本课程之前必须学习高等数学课程。本课程是数学学科一门主要分支，同时也是数学中其它分支如微分方程、积分变换等基础理论课。积分变换与复变函数有着亲密联络,积分变换也是复变函数后继课程之一。对于理工科类专业学生来说它们是信号与系统、通信原理、数字信号处理、小波变换等相关课程基础理论课。,7/51,第一章复数和复变函数基本要求,1.熟练掌握复数各种表示方法及其运算。,2.了解区域概念。,3.了解复变函数概念及其几何意义映射。,4.知道复变函数极限和连续概念。,8/51,第一章 复数与复变函数,1.1复数及其表示法,一对有序实数（）组成一个,复数,，记为 .,自变量为复数函数就是复变函数,它是本课程研究对象.因为在中学阶段已经学过复数概念和复数运算,本章将在原有基础上作简明复习和补充;然后再介绍复平面上区域以及复变函数极限与连续性概念,为深入研究解析函数理论和方法奠定必要基础.,x,y,分别称为,Z,实部,和,虚部,记作,x,=Re(,Z,),y,=Im(,Z,),.,称为 Z 共轭复数。,9/51,与实数不一样,普通说来,任意两个复数不能比较大小.,两个复数相等,他们实部和虚部都相等,尤其地，,1.,代数形式,:,复数表示法,1),点表示,y,z(x,y),x,x,0,y,r,复平面,实轴,虚轴,10/51,2),向量表示,-,复数,z,辐角(argument),记作Arg,z,=,q.,任何一个复数,z,0有没有穷多个幅角,将满足,-p,q,0,p q,0,称为Arg z主值,记作,q,0,=arg,z.,则,Arg,z,=,q,0,+2,k,p,=arg,z,+2,k,p,(,k,为任意整数),0,x,y,x,y,q,z,=,x,+,iy,|,z,|=,r,-,复数,z,模,11/51,当,z,=0 时,|,z,|=0,而幅角不确定.arg,z,可由以下关系确定:,说明：当,z,在第二象限时，,12/51,2.,指数形式与三角形式,利用直角坐标与极坐标关系:,x,=,r,cos,q,y,=,r,sin,q,能够将,z,表示成,三角表示式,:,利用欧拉公式 e,i,q,=cos,q,+,i,sin,q,得,指数表示式,:,例1,将以下复数化为三角表示式与指数表示式.,解,1),z,在第三象限,所以,所以,13/51,2)显然,r,=|,z,|=1,又,所以,练习：,写出 辐角和它指数形式。,解：,14/51,1.2复数运算,设,z,1,+,z,2,=,z,2,+,z,1,;,z,1,z,2,=,z,2,z,1,;,z,1,+(,z,2,+,z,3,)=(,z,1,+,z,2,)+,z,3,),z,1,(,z,2,z,3,)=(,z,1,z,2,),z,3,;,z,1,(,z,2,+,z,3,)=,z,1,z,2,+,z,1,z,3 .,复数运算满足交换律,结合律和分配律:,1,.,四则运算,15/51,加减法与平行四边形,法则几何意义:,乘、除法几何意义:,定理1,两个复数乘积模等于它们模乘积,两个复,数乘积幅角等于它们幅角和.,16/51,等式,Arg(,z,1,z,2,)=Arg,z,1,+Arg,z,2,意思是等式两,边都是无限集合,两边集合相等,即每给定等式左边,一个数,就有等式右边一个数与之对应,反之亦然.,几何上,z,1,z,2,相当于将,z,2,模扩大|,z,1,|倍并旋转一个角度Arg,z,1,.,0,1,17/51,例2：设,求,：,解：,若取,则,若取,则,18/51,;,按照乘积定义,当,z,1,0时,有,定理2,两个复数商模等于它们模商,两个复数,商辐角等于被除数与除数幅角之差.,19/51,2,.,乘方与开方运算,1）乘方,De Moivre,公式：,20/51,2,）开方:,若满足，,则称w为zn,次方根,，,记为,于是,推得,21/51,从而,几何解释：,z,1/,n,n,个值就是以原点为中心,r,1/,n,为半径圆,内接正,n,边形,n,个顶点。,例2,求,解,因为,所以,22/51,即,四个根是内接于中心在原点半径为2,1/8,圆正方形四个顶点.,1+,i,w,0,w,1,w,2,w,3,O,x,y,23/51,1.3,复数形式代数方程与平面几何图形,很多平面图形能用复数形式方程(或不等式)来表 示;也能够由给定复数形式方程(或不等式)来确定,它所表示平面图形.,例3,将经过两点,z,1,=,x,1,+,iy,1,与,z,2,=,x,2,+,iy,2,直线用复数形式方,程来表示.,解,经过点(,x,1,y,1,)与(,x,2,y,2,)直线可用参数方程表示为,所以,它复数形式参数方程为,z,=,z,1,+,t,(,z,2,-,z,1,).(,-,t,+),24/51,由此得知由,z,1,到,z,2,直线段参数方程能够写成,z,=,z,1,+,t,(,z,2,-,z,1,).(,0,t,1,),取,得知线段,中点为,例4,求以下方程所表示曲线:,25/51,解：,设,z,=,x,+,i y,方程变为,-,i,O,x,y,几何上,该方程表示到点2,i,和,-,2距离相等点轨迹,所以方程表示曲线就是连接点2,i,和,-,2线段垂直平分线,方程为,y,=-,x,也可用代数方法求出。,26/51,O,x,y,-,2,2,i,y,=-,x,设,z,=,x,+,i y,那末,可得所求曲线方程为,y,=-,3.,O,y,x,y,=-,3,27/51,1.4 复数域几何模型-复球面,0,N,28/51,x,1,x,2,x,3,o,z(x,y),x,y,P(x,1,x,2,x,3,),x,1,x,2,x,3,N(0,0,2r),除了复数平面表示方法外,还能够用球面上点来表示复数.,对复平面内任一点,z,用直线将,z,与,N,相连,与球面相交于,P,点,则球面上除,N,点外全部点和复平面上全部点有一一对应关系,而,N,点本身可代表无穷远点,记作,.这么球面称作,复球面,.,29/51,扩充复数域-,引进一个“新”数,:,扩充复平面-,引进一个“理想点”,:,无穷远点,.,约定,:,30/51,1.4,区域,1.区域概念,平面上以,z,0,为中心,d,(任意正数)为半径圆:|,z,-,z,0,|,d,内部点集合称为,z,0,邻域,而称由不等式 0|,z,-,z,0,|,M,全部点集合,其中实数,M,0,称为,无穷远点邻域,.即它是圆|,z,|=,M,外部且包含无穷远点本身.不包含无穷远点本身仅满足|,z,|,M,全部点称为,无穷远点去心邻域,也记作,M,|,z,|,M,31/51,设,G,为一平面点集,z,0,为,G,中任意一点.假如存在,z,0,一个邻域,该邻域内全部点都属于,G,则称,z,0,为,G,内点,.假如,G,内每个点都是它内点,则称,G,为,开集,平面点集D称为一个,区域,假如它满足以下两个条件:1),D,是一个开集;2),D,是,连通,。就是说,D,中任何两点都能够用完全属于,D,一条折线连接起来.,设,D,为复平面内一个区域,假如点,P,不属于,D,但在,P,任意小邻域内总包含有,D,中点,这么点,P,称为,D,边界点,.,D,全部边界点组成,D,边界,.区域边界可能是由几条曲线和一些孤立点所组成.,32/51,区域,D,与它边界一起组成闭区域或闭域,记作,D,.假如一个区域能够被包含在一个以原点为中心圆里面,即存在正数,M,使区域,D,每个点,z,都满足|,z,|,M,则称,D,为,有界,不然称为,无界,.,2.单连通域与多连通域,平面曲线 在数学上,经惯用参数方程来表示各种平面曲线.假如,x,(,t,)和,y,(,t,)是两个连续实变函数,则方程组,x,=,x,(,t,),y,=,y,(,t,),(,a,t,b,)代表一条平面曲线,称为,连续曲线,.假如令,z,(,t,)=,x,(,t,)+,iy,(,t,)则此曲线可用一个方程,z,=,z,(,t,)(,a,t,b,)来代表.这就是平面曲线复数表示式.,33/51,设,C,:,z,=,z,(,t,)(,a,t,b,)为一条连续曲线,z,(,a,)与,z,(,b,)分别为,C,起点,与,终点,.对于满足,a,t,1,b,a,t,2,b,t,1,与,t,2,当,t,1,t,2,而有,z,(,t,1,)=,z,(,t,2,)时,点,z,(,t,1,)称为曲线,C,重点,.没有重点连续曲线,C,称为,简单曲线,或,若尔当,(Jardan),曲线,.假如简单曲线,C,起点与终点闭合,即,z,(,a,)=,z,(,b,),则曲线,C,称为,简单闭曲线,.,z,(,a,)=,z,(,b,),简单,闭,z,(,a,),z,(,b,),简单,不闭,z,(,a,)=,z,(,b,),不简单,闭,不简单,不闭,z,(,a,),z,(,b,),34/51,任意一条简单闭曲线,C,把整个复平面唯一地分成三个互不相交点集,其中除去,C,外,一个是有界区域,称为,C,内部,另一个是无界区域,称为,C,外部,C,为它们公共边界.简单闭曲线这一性质,其几何直观意义是很清楚.,内部,外部,C,35/51,定义,复平面上一个区域,B,假如在其中任作一条简单闭曲线,而曲线内部总属于,B,就称为,单连通域,一个区域假如不是单连通域,就称为,多连通域,.,单连通域,多连通域,36/51,1.5,复变函数,1.复变函数定义,定义,设 D 是复平面中一个点集,称为复变函数.,其确定了自变量为,x,和,y,两个二元实变函数,u,v,.,比如,考查函数,w,=,z,2,.,令,z,=,x,+,iy,w,=,u,+,iv,则,u,+,iv,=(,x,+,iy,),2,=,x,2,-,y,2,+,i,2,xy,因而函数,w,=,z,2,对应于两个二元函数:,u,=,x,2,-,y,2,v,=2,xy,37/51,在以后讨论中,D,经常是一个平面区域,称之为,定义域,而且,如无尤其申明,所讨论函数均为单值函数.,2.映射概念,函数,w,=,f,(,z,)在几何上能够看做是把,z,平面上一个点集,D,(定义集合)变到,w,平面上一个点集,G,(函数值集合),映射,(或,变换,).假如,D,中点,z,被映射,w,=,f,(,z,)映射成,G,中点,w,则,w,称为,z,象,(映象),而,z,称为,w,原象,.,x,u,D,G,Z,z,w,W=f(z),v,y,W,38/51,设函数,w,=,z,=,x,i,y;,u=x,v=-y,x,y,O,u,v,O,A,B,C,z,1,z,2,A,B,C,w,1,w,2,39/51,设函数,w,=,z,2,=,(,x,+,iy,),2,=,x,2,-,y,2,+,i,2,xy,有,u,=,x,2,-,y,2,v,=2,xy,x,y,O,u,v,O,z,1,z,2,w,2,z,3,w,3,w,1,40/51,函数,w,=,z,2,对应于两个二元实变函数:,u,=,x,2,-,y,2,v,=2,xy,把,z,平面上两族,双曲线,x,2,-,y,2,=,c,1,2,xy,=,c,2,分别映,射成,w,平面上两族平行直线,u,=,c,1,v,=,c,2.,10,1,-,1,-,1,-,10,-,8,-,6,-,4,-,2,x,2,4,6,8,v,=10,1,y,-,10,-,8,-,6,-,4,-,2,u,=0,2,4,6,8,u,v,10,10,-,10,-,10,41/51,假如函数(映射),w,=,f,(,z,)与它反函数(逆映射),z,=,j,(,w,)都是单值,则称函数(映射),w,=,f,(,z,)是一一.此时,我们也称集合,D,与集合,G,是一一对应.,举例,：,曲线在映射下像,例题1,42/51,例题2,例题3,例题4,43/51,1.6,复变函数极限和连续性,1.函数极限定义,设函数,w,=,f,(,z,)定义在,z,0,去心邻域 0|,z,-,z,0,|0,对应地必有一正数,d,(,e,)(0,d,),使得当 0|,z,-,z,0,|,d,时有|,f,(,z,),-,A,|,e,则称,A,为,f,(,z,)当,z,趋向于,z,0,时,极限,记作,或记作当,z,z,0,时,f,(,z,),A.,44/51,几何意义:,x,y,O,z,0,d,z,O,u,v,A,e,f,(,z,),45/51,等价定义,：,设,f,(,z,)=,u,(,x,y,)+,iv,(,x,y,),A,=,u,0,+,iv,0,z,0,=,x,0,+,iy,0,则,运算性质,：,46/51,当,z,0 时极限不存在,例1,证实函数,证,令,z,=,x,+,i y,则,由此得,让 z 沿直线,y,=,k x,趋于零,我们有,故极限不存在.,47/51,2.函数连续性定义,则说,f,(,z,)在,z,0,处,连续,.假如,f,(,z,)在区域,D,内处处连续,我们说,f,(,z,)在,D,内连续.,函数,f,(,z,)=,u,(,x,y,)+,iv,(,x,y,)在,z,0,=,x,0,+,iy,0,处连续充要条件是,u,(,x,y,)和,v,(,x,y,)在(,x,0,y,0,)处连续.,性质：,(1),连续函数四则运算依然连续；,(2),连续函数复合函数依然连续；,(3),连续函数模也连续；,48/51,(4)有界闭区域,D,上连续函数必有界，且其模,在,D,上取到最大值与最小值;,(5),有界闭区域,D,上连续函数必一致连续.,例题1,讨论,连续性。,x,0,0,49/51,例2,讨论,解：,连续性。,50/51,51/51,