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相似的应用
一、选择题
1、（2013届宝鸡市金台区第一次检测）如图是跷跷板横板示意图，横板AB绕中点O上下转动，立柱OC与地面垂直，设B点的最大高度为h1.若将横板AB换成横板A′B′，且A′B′=2AB，O仍为A′B′的中点，设B′点的最大高度为h2，则下列结论正确的是（ ）
A．h2＝2h1 B．h2＝1.5h1 C．h2＝h1 D．h2＝0.5h1
答案：C
2、（2013温州模拟）10. 如图，矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的，AH与BE、BF、
DF、DG、CG分别交于点P、Q、K、M、N，设△BPQ, △DKM,
△CNH 的面积依次为S1，S2，S3。若S1+S3=10，则S2的值为（ ▲ ）
A、2 B、3 C、4 D、5
【答案】C
二、填空题
N
M
O
A
B
第
1
题
1．（2013北京房山区一模）如图，在一场羽毛球比赛中，站在场内M处的运动员林丹把球从N点击到了对方场内的点B，已知网高OA=1.52米，OB=4米，OM=5米，则林丹起跳后击球点N离地面的距离MN= 米．
答案：3.42
2、（第11题）
O
x
y
A
B
C
（2013浙江台州二模）15．如图，直线与双曲线（）交于点．将直线向右平移个单位后，与双曲线（）交于点，与轴交于点，若，则 ．
【答案】12
3、(2013浙江永嘉一模)16．如图，Rt△ABC中，∠B=Rt∠，点D在边AB上，过点D作DG∥AC交BC于点G，分别过点D，G作DE∥BC，FG∥AB，DE与FG交于点O．当阴影面积等于梯形ADOF的面积时，则阴影面积与△ABC的面积之比为 ▲ ．
【答案】
x
y
O
A
B
O
3
x
2
y
第16题图
4、（2013山东德州特长展示）如图，矩形ABCD中，E为DC的中点， AD: AB= :2，CP:BP=1:2，连接EP并延长，交AB的延长线于点F，AP、BE相交于点O．下列结论：①EP平分∠CEB；②△EBP∽△EFB；③△ABP∽△ECP；④AOAP=OB2．其中正确的序号是_______________．（把你认为正确的序号都填上）①②③
5、（第11题）
O
x
y
A
B
C
（2013浙江台州二模）15．如图，直线与双曲线（）交于点．将直线向右平移个单位后，与双曲线（）交于点，与轴交于点，若，则 ．
【答案】12
三、解答题
1、（2013盐城市景山中学模拟题）(本题满分10分)如图，△ABC是等边三角形，且AB∥CE．
(1) 求证：△ABD∽△CED；
(2) 若AB＝6，AD＝2CD，
①求E到BC的距离EH的长．
② 求BE的长
答案：（1）略（2）EH= （2）BE的长为
2、（2013杭州江干区模拟）（本小题12分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，过点C作CD⊥AB于点D，小明把一个三角板的直角顶点放置在点D处两条直角边分别交线段BC于点E，交线段AC于点F，在三角板绕着点D旋转的过程中他发现了线段BE,CE,CF,AF之间存在着某种数量关系.
(1)旋转过程中，若点E是BC的中点，点F也是AC的中点吗?请说明理由；
(2)旋转过程中，若DE⊥BC，那么 成立吗?请说明理由；
(3)旋转过程中，若点E是BC上任意一点，(2)中的结论还成立吗?
(第22题)
（第22题备用图）
【答案】解：（1）∵CD⊥AB，E是BC中点 ∴DE=CE=BE ∴∠DCE=∠EDC 1分
∵∠ACB=∠FDE=90°∴ ∠FCD=∠FDC ∴∠FAD=∠FDA（等角的余角相等） 2分
∴AF=FD=FC 即F也是AC中点 1分
（2）DE⊥BC则四边形DECF为矩形， 1分
所以DE=CF，FD=CE， 1分
(第22题)
由△DEB∽△AFD得， 1分
则成立 1分
（3）由△DEB∽△DFC，△DEC∽△DFA， 1分
得，， 2分
则成立 1分
3、（2013年广州省惠州市模拟）“数学迷”小楠通过从“特殊到一般”的过程，对倍角三角形（一个内角是另一个内角的2倍的三角形）进行研究.得出结论：如图8，在中，的对边分别是，如果，那么.
下面给出小楠对其中一种特殊情形的一种证明方法.
已知：如图9，在中，,.
求证：.
A
C
B
a
b
c
证明：如图9，延长到，使得.
∴，
∵，
∴，∵，
∴，又
∴∽
图9
∴，即
D
∴
根据上述材料提供的信息，请你完成下列情形的证明（用不同于材料中的方法也可以）：
已知：如图8，在中，.
求证：.
证明： 延长到，使得.…………………………（2分）
∴， …………………………………………………（3分）
∵，………………………………（5分）
∵，
∴，又
∴∽
∴，即………………………………………（10分）
∴………………………………………………………（12分）
b
C
A
B
a
c
（图8）
4、(2013浙江永嘉一模)16．如图，Rt△ABC中，∠B=Rt∠，点D在边AB上，过点D作DG∥AC交BC于点G，分别过点D，G作DE∥BC，FG∥AB，DE与FG交于点O．当阴影面积等于梯形ADOF的面积时，则阴影面积与△ABC的面积之比为 ▲ ．
【答案】
5、（2013浙江台州二模）23．如图1，已知O是锐角∠XAY的边AX上的动点，以点O为圆心、R为半径的圆与射线AY切于点B，交射线OX于点C．连结BC，作CD⊥BC，交AY于点D．
(1)求证：△ABC∽△ACD；
(2)若P是AY上一点，AP=4，且sinA=，
① 如图2，当点D与点P重合时，求R的值；
图2
② 当点D与点P不重合时，试求PD的长(用R表示)．
图1
【答案】．(1) 由已知，CD⊥BC，∴ ∠ADC=90°–∠CBD，
又∵ ⊙O切AY于点B，∴ OB⊥AB，∴∠OBC=90°–∠CBD，
∴ ∠ADC=∠OBC．又在⊙O中，OB=OC=R，∴∠OBC=∠ACB，∴∠ACB=∠ADC．
又∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD ． ……6分
(2) 由已知，sinA=，又OB=OC=R，OB⊥AB，
∴ 在Rt△AOB中，AO===R，AB==R，
∴ AC=R+R=R ．由(1)△ABC∽△ACD，∴ ，∴，因此 AD=R．
① 当点D与点P重合时，AD=AP=4，∴R=4，∴R=．
② 当点D与点P不重合时，有以下两种可能：
i) 若点D在线段AP上(即0<R<)，PD=AP–AD=4–R；
ii) 若点D在射线PY上(即R>)，PD=AD–AP=R–4．
综上，当点D在线段AP上(即0<R<)时，PD=4–R；当点D在射线PY上(即R>)时，PD=R–4．又当点D与点P重合(即R=)时，PD=0，故在题设条件下，总有PD=|R–4|(R>0)． ……6分（没分类或缺少绝对值的扣2分）
6、（2013浙江台州二模）24．如图，已知抛物线y=x2–2x＋1的顶点为P，A为抛物线与y轴的交点，过A与y轴垂直的直线与抛物线的另一交点为B，与抛物线对称轴交于点O′，过点B和P的直线l交y轴于点C，连结O′C，将△ACO′沿O′C翻折后，点A落在点D的位置．
(1) 求直线l的函数解析式；
(2)求点D的坐标；
(3)抛物线上是否存在点Q，使得S△DQC= S△DPB ? 若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在请说明理由．
【答案】(1) 配方,得y=(x–2)2 –1，∴抛物线的对称轴为直线x=2，顶点为P(2，–1) ．
取x=0代入y=x2 –2x＋1，得y=1，∴点A的坐标是(0，1)．由抛物线的对称性知，点A(0，1)与点B关于直线x=2对称，∴点B的坐标是(4，1)．
设直线l的解析式为y=kx＋b(k≠0)，将B、P的坐标代入，有
解得∴直线l的解析式为y=x–3． ……4分
(2) 连结AD交O′C于点E，∵ 点D由点A沿O′C翻折后得到，∴ O′C垂直平分AD．
由(1)知，点C的坐标为(0，–3)，∴ 在Rt△AO′C中，O′A=2，AC=4，∴ O′C=2．
据面积关系，有 ×O′C×AE=×O′A×CA，∴ AE=，AD=2AE=．
作DF⊥AB于F，易证Rt△ADF∽Rt△CO′A，∴，
∴ AF=·AC=，DF=·O′A=，
又 ∵OA=1，∴点D的纵坐标为1–= –，∴ 点D的坐标为(，–)． ……4分
(3) 显然，O′P∥AC，且O′为AB的中点，
∴ 点P是线段BC的中点，∴ S△DPC= S△DPB ．
故要使S△DQC= S△DPB，只需S△DQC=S△DPC ．
过P作直线m与CD平行，则直线m上的任意一点与CD构成的三角形的面积都等于S△DPC ，故m与抛物线的交点即符合条件的Q点．
容易求得过点C(0，–3)、D(，–)的直线的解析式为y=x–3，
据直线m的作法，可以求得直线m的解析式为y=x–．
令x2–2x＋1=x–，解得 x1=2，x2=，代入y=x–，得y1= –1，y2=，
所以抛物线上存在两点Q1(2，–1)(即点P)和Q2(，)，使得S△DQC= S△DPB．……6分
(仅求出一个符合条件的点Q的坐标，扣2分)
7、（2013温州模拟）24．（本题14分）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点C的坐标为(0，-3)，B是
射线CO上的一个动点，经过B点的直线交x轴于点A(直线AB总有经过第二、四象限)，
且OA=2OB，动点P在直线AB上，设点P的纵坐标为m，线段CB的长度为t.
（1）当t=7，且点P在第一象限时，连接PC交x轴于点D.
①直接写出直线AB的解析式；
②当CD=PD时，求m的值；
③求△ACP的面积S.(用含m的代数式表示)
（2）是否同时存在m、t，使得由A、C、O、P为顶点组成的四边形是等腰梯形？若存在，
请求出所有满足要求的m、t的值；若不存在，请说明理由.
【答案】
解：（1）① ……………2分
②过P作PH⊥OA交OA于H
当CD=PD时，△COD≌△PHD ……………1分
∴PH=OC，即m=3 ……………1分
③由PH∥OB，得△APH∽△ABO
∴，即
∴AH=2m，即OH=8-2m
∴S△BCP=×7×(8-2m)=28-7m ……………2分
∴S=S△ABC-S△BCP=28-(28-7m)=7m ……………2分
（2）①当B运动在y轴的正半轴上时.
.当点P在第一象限时，如图1，若四边形OCAP是等腰梯形，
则 AP=OC=3，由△APH∽△ABO，得
，即 ……………………1分
由∠BCA=∠BAC，得 BA=BC=t
在Rt△AOB中，AB=OB，即t=(t-3)
∴ ……………………1分 (注：t的值没有化简的不扣分)
.当点P在第二象限时，如图2，四边形AOPC为凹四边形(或说明两组对边都相交)，
不可能为等腰梯形；
.当点P在第四象限时，如图3，四边形OAPC中有一个角为直角，不可能为等腰梯形.
(图3)
(图2)
(图1)
②当B运动在OC之间时.
.当点P在第二象限时，如图4，四边形OACP为凹四边形(或说明两组对边都相交)，
不可能为等腰梯形；
.当点P在第三象限时，如图5，四边形OACP为凹四边形(或说明两组对边都相交)，
不可能为等腰梯形；
.当点P在第四象限时，如图6，若四边形OACP是等腰梯形，
则 AP=OC=3，由△APH∽△ABO，得
，即 …………………1分
由∠BCA=∠BAC，得 BA=BC=t
（备用图）
8、(2013浙江永嘉一模)（第4题图）
22．（本题10分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ACB的平分线交AB于点O，以O为圆心的⊙O与AC相切于点D．
（1）求证: ⊙O与BC相切；
（2）当AC=3，BC=6时，求⊙O的半径．
【答案】解：（1）证明：如图，连结OD，作OE⊥BC于点E, …………1分
∵⊙O与AC相切于点D，∴OD⊥AC.…………1分
∵OC是∠ACB的平分线，∴OD＝OE.…………1分
∴⊙O与BC相切…………2分
（2）解：∵OD⊥AC，∠ACB=90°，∴OD∥CB，∴△AOD∽△ABC，1分
解法1 ∴即……………………2分
∴∴ 即圆的半径为2．……2分
解法2 ∴设半径为x, ∵OC是∠ACB的平分线, ∴∠DCO=45°
∴CD=OD=x，∴AD= AC－CD=3-x，……………………2分
解得x=2，即圆的半径为2．……………………2分
9、(2013浙江永嘉一模)24．（本题14分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4．动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动，到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回．点P，Q运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点C时停止运动，点Q也同时停止．连结PQ，设运动时间为t（t >0）秒．
（1）求线段AC的长度；
（2）当点Q从B点向A点运动时（未到达A点），求△APQ的面积S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）伴随着P，Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线为l：
①当l经过点A时，射线QP交AD于点E，求AE的长；
②当l经过点B时，求t的值．
【答案】解：（1）在矩形ABCD中，……2分
（2）如图①，过点P作PH⊥AB于点H，AP=t，AQ =3－t，
由△AHP∽△ABC，得，∴PH=，……2分
，…………2分
.…………1分
图②
(3) ①如图②，线段PQ的垂直平分线为l经过点A，则AP=AQ，
即3－t=t，∴t=1.5，∴AP=AQ=1.5，…………………………1分
延长QP交AD于点E，过点Q作QO∥AD交AC于点O，
则，
，∴PO=AO－AP=1．
由△APE∽△OPQ，得．……2分
②（ⅰ）如图③，当点Q从B向A运动时l经过点B，
BQ＝CP＝AP＝t，∠QBP＝∠QAP
∵∠QBP＋∠PBC＝90°，∠QAP＋∠PCB＝90°
∴∠PBC＝∠PCB CP＝BP＝AP＝t
∴CP＝AP＝AC＝×5＝2.5 ∴t＝2.5． ………2分
（ⅱ）如图④，当点Q从A向B运动时l经过点B，
BP＝BQ＝3－（t－3）＝6－t，AP＝t，PC＝5－t，
过点P作PG⊥CB于点G由△PGC∽△ABC，
得
,BG＝4－=
由勾股定理得，即
，解得．………2分
10、（2013重庆一中一模）25． 如图,在平面直角坐标系中，点为二次函数与反比例函
数在第一象限的交点，已知该抛物线交轴正
负半轴分别于点、点，交轴y
x
y
负半轴于点，且．
（1） 求二次函数和反比例函数的解析式；
（2） 已知点为抛物线上一点，且在第三象限，顺次连接点，求四
边形面积的最大值；
（3） 在（2）中四边形面积最大的条件下，过点作轴于点，交
的延长线于点,为线段上一点，且点到直线的距离等于线段
的长，求点的坐标．
【答案】
11解：（1）将A（2,3）代入中， ∴ ..............1分
解得 ∴ ...........4分
∴当时，四边形DMBE的面积最大为9 . .................8分
H
E
P
F
Q
O
...............12分
12. （2013重庆一中一模）26．已知矩形纸片ABCD中，，将该矩形纸片沿对角线AC剪开，得到两张三角形纸片（如图1），再将这两张三角形纸片摆成如图2的形状，使得点B、C、F、D在同一直线上，且点C与点F重合．此时将△ABC以每秒1个单位长度的速度沿直线BD向左平移，直至点B与点D重合时停止运动．设△ABC运动的时间为t，
（1）当t为何值时，点E落在线段AC上？
（2）设在平移的过程中△ABC与△DEF重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式，并写出相对应t的取值范围；
（3）当点B与点D重合时如图3，将△ABC绕点B旋转得到△A1BC1，直线EF分别与直线A1B、直线A1C1交于点M、N，是否存在这样的点M、N，使得△A1MN为等腰三角形？若存在，请求出此时线段EM的长度；若不存在，请说明理由．
【答案】
13.解：（1）由题意知，Rt△ABC与Rt△DEF中，∠CAB=∠DFE=30°
当点E落在AC上时，∠DCE=60°
∴CD =DE，即，
∴ ................2分
（2）
.................8分
（3）存在这样的点M、N，理由如下：
如下图，由题意得△A1MN∽△FMB，
即当△A1MN为等腰三角形时，△FMB也为等腰三角形．
①． 当A1M=A1N时，即FB=FM=6，
若点M在线段EF上时，EM=；
若点M在线段EF的延长线上时，EM=．
②． 当MA1=MN时，即MB=MF，则点M在线段BF的中垂线上，过M作MT⊥BF于点T，则BT=FT=3，∴MT=,MF=,∴EM=EF-MF=．
③．当NA1=NM时，即BM=BF=6，此时点M 在线段FE的延长线上，
∠BMF=∠BFM=30°，可得MF=，则EM=MF-EF=．
∴综上所述，存在这样的点M、N，使得△A1MN为等腰三角形，
此时线段EM的长度为 或 ..............12分
14. （2013江西饶鹰中考模拟） 如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠ACD =∠AOC ，AD⊥CD于点D．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB=10，AD＝2，求AC的长．
答案：
解：（1）证明：∵OC=OA，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠AOC=180°－2∠ACO，即∠AOC+∠ACO=90°.
∵ ∠ACD =∠AOC,
∴∠ACD+∠ACO=90°
∴CD是⊙O的切线
（2）连接BC．
∵AB是直径，∴∠ACB=90°．
在Rt△ACD与△RtABC中，
∵∠AOC=2∠B，∴∠B=∠ACD，
∴△ACD∽△ABC
∴，即AC2=AB·AD．
∴AC=
15、（2013凤阳县县直义教教研中心）如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD＝CF，BD⊥CF成立.
（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（）时，如图2，BD＝CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.
（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G.
① 求证：BD⊥CF；
② 当AB＝4，AD＝时，求线段BG的长.
图1 图2 图3
解（1）BD＝CF成立.
理由：∵△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，
∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°,
∵∠BAD=，∠CAF=，
∴∠BAD=∠CAF，∴△BAD≌△CAF.
∴BD＝CF.……………………………………………………………………（4分）
（2）①证明：设BG交AC于点M.
∵△BAD≌△CAF（已证），∴∠ABM＝∠GCM.
∵∠BMA ＝∠CMG ，∴△BMA ∽△CMG.
∴∠BGC＝∠BAC ＝90°.∴BD⊥CF.……………………………………（7分）
②过点F作FN⊥AC于点N.
∵在正方形ADEF中，AD＝，
∴AN＝FN＝.
∵在等腰直角△ABC 中，AB＝4，
∴CN＝AC－AN＝3，BC＝.
Rt△FCN∽Rt△ABM，∴
∴AM＝.
∴CM＝AC－AM＝4－＝， .…… （9分）
∵△BMA ∽△CMG，∴.
∴. ∴CG＝.…………………………………… （11分）
∴在Rt△BGC中，. …………………….. （12分）
16、（2013凤阳县县直义教教研中心）如图，已知：直线y=-x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C（1，0）三点.
（1）求抛物线的解析式;
（2）若点D的坐标为（-1，0），在直线y=-x+3上有一点P，使ΔABO与ΔADP相似，求出点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使ΔADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．
解：（1）：由题意得，A（3，0），B（0，3）
∵抛物线经过A、B、C三点，∴把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三点分别代入得方程组
解得：
∴抛物线的解析式为 …………………………… （4分）
（2）由题意可得：△ABO为等腰三角形,如图所示，
若△ABO∽△AP1D，则
∴DP1=AD=4 , ∴P1
若△ABO∽△ADP2 ，过点P2作P2 M⊥x轴于M，AD=4,
∵△ABO为等腰三角形, ∴△ADP2是等腰三角形,由三线合一可得：DM=AM=2= P2M，即点M与点C重合∴P2（1，2） ……………………（8分）
（3）如图设点E ，则
①当P1(-1,4)时，
S四边形AP1CE=S三角形ACP1+S三角形ACE =
∴ ∴
∵点E在x轴下方 ∴
代入得： ,即
∵△=(-4)2-4×7=-12<0 ∴此方程无解
②当P2（1，2）时，S四边形AP2CE=S三角形ACP2+S三角形ACE =
∴ ∴
∵点E在x轴下方 ∴ 代入得：
即 ，∵△=(-4)2-4×5=-4<0
∴此方程无解
综上所述，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点E。………………………………（14分）
17、(2013年福州市初中毕业班质量检查) (12分)如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝8，DE＝2，线段DE在AC边上运动(端点D从点A开始)，速度为每秒1个单位，当端点E到达点C时运动停止．F为DE中点，MF⊥DE交AB于点M，MN∥AC交BC于点N，连接DM、ME、EN．设运动时间为t秒．
(1) 求证：四边形MFCN是矩形；
(2) 设四边形DENM的面积为S，求S关于t的函数解析式；当S取最大值时，求t的值；
(3) 在运动过程中，若以E、M、N为顶点的三角形与△DEM相似，求t的值．
A
B
C
D
E
M
F
N
第21题图
备用图
(1) 证明：∵MF⊥AC，∴∠MFC＝90°． …………1分
∵MN∥AC，∴∠MFC＋∠FMN＝180°．
∴∠FMN＝90°． …………2分
∵∠C＝90°，∴四边形MFCN是矩形． …………3分
(若先证明四边形MFCN是平行四边形，得2分，再证明它是矩形，得3分)
(2) 解：当运动时间为t秒时，AD＝t，
∵F为DE的中点，DE＝2，∴DF＝EF＝DE＝1．
A
B
C
D
E
M
F
N
∴AF＝t＋1，FC＝8－(t＋1)＝7－t．
∵四边形MFCN是矩形，∴MN＝FC＝7－t． …………4分
又∵AC＝BC，∠C＝90°，∴∠A＝45°．
∴在Rt△AMF中，MF＝AF＝t＋1， …………5分
∴S＝S△MDE＋ S△MNE ＝DE·MF＋MN·MF
＝×2(t＋1)＋ (7－t)(t＋1)＝－t2＋4t＋ …………6分
∵S＝－t2＋4t＋＝－(t－4)2＋
∴当t＝4时，S有最大值． …………7分
(若面积S用梯形面积公式求不扣分)
(3) 解：∵MN∥AC，∴∠NME＝∠DEM． …………8分
① 当△NME∽△DEM时，∴＝ ． …………9分
∴＝1，解得：t＝5． …………10分
② 当△EMN∽△DEM时，∴＝ ． …………11分
∴EM2＝NM·DE．
在Rt△MEF中，ME2＝EF2＋MF2＝1＋(t＋1)2，∴1＋(t＋1)2＝2(7－t)．
解得：t1＝2，t2＝－6(不合题意，舍去)
综上所述，当t为2秒或5秒时，以E、M、N为顶点的三角形与△DEM相似． ……12分
18、（2013年湖北省武汉市中考全真模拟）(本题满分10分) 如图1，在长方形纸片ABCD中，，其中≥1，将它沿EF折叠（点E、F分别在边AB、CD上），使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD相交于点P，连接EP.设，其中0＜n≤1．
(1) 如图2，当（即M点与D点重合），=2时，则= ；
（2）如图3，当（M为AD的中点），的值发生变化时，求证：EP=AE+DP；
(3) 如图1，当（AB=2AD），的值发生变化时，的值是否发生变化？说明理由．
解：⑴
⑵延长PM交EA延长线于G，则△PDM≌△GAM，△EMP≌△EMG.∴EP=EG=EA+AG=EA+DP.
⑶设AD=1,AB=2,过E作EH⊥CD于H,∵∠EFP=∠FPN=∠MPD=∠EMA.∴△EFH∽ΔEMA
∴ ∵AE的长度发生变化,∴的值将发生变化.
19、（2013年湖北省武汉市中考全真模拟）（本题满分12分）如图1，抛物线：与直线AB：交于x轴上的一点A，和另一点B(3，n)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线上的一个动点（点P在A，B两点之间，但不包括A，B两点），PM⊥AB于点M，PN∥y轴交AB于点N，在点P的运动过程中，存在某一位置，使得△PMN的周长最大，求此时P点的坐标，并求△PMN周长的最大值；
(3)如图2，将抛物线绕顶点旋转180°后，再作适当平移得到抛物线，已知抛物线的顶点E在第四象限的抛物线上，且抛物线与抛物线交于点D，过D点作轴的平行线交抛物线于点F，过E点作轴的平行线交抛物线于点G，是否存在这样的抛物线，使得四边形DFEG为菱形？若存在，请求E点的横坐标；若不存在请说明理由．
、
解：⑴由题意得：A(-1,0)、B(3,2)
∴ 解得:∴抛物线的解析式为y=-x+x+2
⑵设AB交y轴于D，则D（0，），∴OA=1，OD=，AD=，∴=，
∵PN∥y轴, ∴∠PNM=∠CDN=∠ADO, ∴Rt△ADO∽Rt△PNM.
∴.∴=×PN=PN.
∴当PN取最大值时, 取最大值.
设P(m, -m+m+2) N(m, m+).则PN=-m+m+2-(m+)=-m+m+.
∵-1﹤m﹤3. ∴当m=1时,PN取最大值.
∴△PNM周长的最大值为×2=.此时P(1,3).
⑶设E(n,t),由题意得:抛物线为：y=-(x-)+,为：y=(x-n) +t.
∵E在抛物线上，∴t=-(n-)+.∵四边形DFEG为菱形. ∴DF=FE=EG=DG
连ED,由抛物线的对称性可知,ED=EF.∴△DEG与△DEF均为正三角形.∴D为抛物线的顶点.∴D(,).∵DF∥x轴,且D、F关于直线x=n对称.∴DF=2（n-）.
∵DEF为正三角形.∴-=×2(n-).解得：n=.
∴t=-.∴存在点E，坐标为E(,-).
20、 (2013珠海市文园中学一模）将两块直角三角板如图1放置，等腰直角三角板的直角顶点是点，，直角板的直角顶点在上，且，．三角板固定不动，将三角板绕点逆时针旋转，旋转角为（）．
(1)当= 时，；
(2)当=时，三角板EDF绕点逆时针旋转至如图2位置，设DF与AC交于点M，DE交AB于点N，求四边形ANDM的面积。
M
N
A
B
C
E
22题图2
F
D
A
B
C
D
E
22题图1
F
(3)如图3，设，四边形的面积为，求关于的表达式（不用写的取值范围）。
M
N
A
B
C
E
22题图3
F
D
答案：解（1） 30 度； ……………………………………………………2分
（2）当=45度，即
同理又
∴四边形ANDM为矩形． ……………………………………………………………3分
∴,∴~ ∵,∴
∵ ∴ 同理得
∴………………………………………………………………5分
25. 过D 作于点,作于点,
由（2）知四边形为矩形，,
∴,,
A
B
C
D
E
22题图3
F
M
N
H1
H2
……………………………………………6分
∵,
∴,又∵
∴~ ∴
∴=……8分
∴．………………9分
21．（2013年广西梧州地区一模）如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，点在边BA上以每秒2个单位的速度由B向A移动，过E作EF∥BC交AC于F，再过F作FD∥AB交BC于D，设E移动的时间为x(秒), EF为 y.
（1） 求y与x之间的函数关系式.
（2） 当x= 时，四边形BDFE是菱形.
（3）设四边形BDFE的面积为S，求S与x之间的函数关系式；
并求E在AB边上何处时，四边形BDFE的面积最大？最大面积
是多少？
解：（1）∵EF∥BC
∴△AEF∽△ABC
∴
∴
∴ ……………3分
（2） ………………5分
（3）在△ABC中
∵AB=6，AC=8，BC=10
∴AB2+AC2=BC2
∴∠BAC=90°
作EG⊥BD于G
在△ABC和△GBE中
∠ABC=∠GBE
∠BAC=∠BGE
∴△ABC∽△GBE
∴
∴
∴ ………………8分
∴
= ……………………10分
∴当x=1.5时，S的最大值为12
此时2x=3
当点E在AB的中点时，四边形BDEF的面积最大，
最大面积值为12 …………………………12分
22．（2013年杭州拱墅区一模）如图，在R t△AOB中，已知AO＝6，BO＝8，点E从A点出发，向O点移动，同时点F从O点出发沿OB－BA向点A移动，点E的速度为每秒1个单位，点F的速度为每秒3个单位，当其中一点到达终点时，另一点随即停止移动. 设移动时间为x秒：
（1）当x＝2时，求△AEF的面积；
（2）当EF∥BO时，求x的值；
（3）设△AEF的面积为y，求出y关于x的函数关系式.
（1）当x＝2时，AE＝2，OF＝6，∴S△APQ＝6--------------------------------------------3分
（2）∵R t△AOB中，已知AO＝6，BO＝8，∴AB＝10
当EF∥BO时，△AEF∽△ABO，∴，解得------------------------3分
（3）当F与B重合时，，∴分两段讨论：
①0＜x≤时，F在OB上移动，--------------------3分
（含x范围1分，如果没有分段，应写出取值范围）
②＜x≤6时，过F作OA的垂线FH，则FH∥OB，
则即， ∴FH＝
∴＝-----------------------------------------3分
（含x范围1分，如果没有分段，应写出取值范围）
23．（2013年上海静安区二摸）（本题满分10分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分4分）
A
B
C
E
D
已知：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，对角线AC、BD相交于点E，BD⊥CD，AB=12，．
求：（1）∠DBC的余弦值；
（第21题图）
（2）DE的长．
答案：解：(1) ∵Rt△ABD中，，………………………………………（1分）
∴ ………………………………………………………（1分）
∴BD=．…………………………………（1分）
∵AD//BC，∴∠DBC=∠ADB，……………………………………………（1分）
∴………………………………（1分）
（2）在Rt△BCD中，，………………………………………（1分）
∴．………………………………………………………（1分）
∵AD//BC，∴．…………………………………………（1分）
∴…………………
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