西安交大教授谈如何学好高等数学省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢,怎样学好高等数学,西安交通大学城市学院,数学教研室主任,寿 纪 麟,第1页,为何要学习高等数学,高等数学是高等学校许多专业学生必修,主要基础理论课程。,数学主要是研究现,实世界中数量关系与空间形式。,在现实世界中，一切事物都发生改变，,并遵照量变到质变规律，,凡是研究量,大小，量改变，量与量之间关系以及这,些关系改变，就少不了高等数学。,第2页,数学不但研究数量关系与空间形式，还,研究现实世界任何关系和形式。所以，,数学研究对象是抽象关系与形式，数,学研究是各种抽象“数”和“形”模式,结构。,恩格斯说：,“要辩证而又唯物地了解自然，,就必须掌握数学”,。英国著名哲学家培根说：,“数学是打开科学大门钥匙,”。,第3页,数学,如今已经越来越被人们认为是在科学,发展中含有高度重视课程。它不但,是各专业,后继课程所必需。而且它本身就是科学思维，逻辑分析素质,*,训练。,通俗地说数学是,思维方法体操。,自然科学各学科数学化趋势，社会科学各部门定量化要求，使许多学科都在直接间接地，或先或后地经历着一场数学化进程。,第4页,联合国教科文组织在一份调查汇报中强调,指出：,“当前科学研究工作特点之一是各,门学科数学化”。“反过来科学技术发展，又成为数学产生和发展源泉与动力。”,数学有一个特殊位置，它是一个专门领域，但又为其它科学领域提供思维工具。,第5页,在,常量数课时期,即“初等数学”时期,，在,这个时期里，数学已由详细阶段过渡到抽,象阶段，并逐步形成一门独立、演绎,科学。,数学发展几个主要阶段,算术、初等几何、初等代数、三角学等,都已成为独立分支,这个时期基本成,果就组成现在中学课程主要内容。,第6页,在,变量数课时期,即“高等数学”时期,。这个,时期以,17,世纪中叶笛卡儿解析几何诞生,为起点,在这一时期用运动和改变观点来,探究事物改变和发展规律。,变量与函数概念进入了数学，随即产生,了微积分。这个时期基本结果是解析儿何、,微积分、线性代数、微分方程等，,就是现今,高等院校中基础课程。,第7页,在,当代数课时期，,这个时期始于19世纪中叶,直到现在。在这个阶段，数学研究对象被推,广，这对应地引发了量关系和空间形式在概念,本身重大突破。,当代数学不但研究各种改变着量关系，,而且研究各种量之间可能关系和形式。,数学基础学科,之间、数学和物理等其它学,科之间,相互交叉和渗透,，,形成了许多边缘学,科和综合性学科。,第8页,集合论、,计算数学、电子计算机等出现,和发展组成了现在丰富多彩、渗透到各个科,学技术部门当代数学。,高等数学课教学特点,(1),课堂大。,高等数学普通都是一个系同,年级几个小班合班上课。教师讲课基点，,只能照料大多数，不可能给跟不上、听不全,懂少数同学细讲、重复讲。,第9页,(2),时间长,连贯性强。,高等数学每上一次课，,普通都是连续讲授两节,。,而且各章内容有很,强连贯性。,(3)概念多，,进度快。,因为高等数学内容,极为丰富,而课时又有限，所以平均每一大节,课要讲授教材,8,至,10,页（有时还更多）,老师,讲课主要是讲重点、难点、疑点，讲思绪。,讲概念多，推理多，举例也较少。,第10页,高等数学主要学习内容,高等数学,内容为两部分，即微积分学,和线性代数、空间解析几何。但,主要是微,积分学和线性代数。,微积分学研究对象是函数，而,极限则,是微积分学基础，也是最主要推理方法。,与微积分创建亲密相关科学技术问题，,从数学角度归纳起来有四类：,第11页,第一类,是，在已知,变速运动,旅程为时间,函数时，求,瞬时速度,和,加速度,；,第二类,是，求已知,曲线切线,；,第三类,是，求给定,函数最大值与最小值,；,第四类,是，求给定,曲线长,；求已知,平面曲,线围成面积,；求已知,曲面围成体积,；求,物体重心；已知变速运动物体速度、加,速度，求,物体运动旅程与时间关系,等。,第12页,第一类、第二类问题为,微分学基本内容，,属于求函数导数问题。,第三类问题为,导数,应用,，也是微分学主要内容。第四类问,题属于,积分学中心问题。,怎样才能学好高等数学,要学好高等数学，首先要了解高等数学,特点，,高等数学含有三个显著特点：,高度抽象性，严谨逻辑性,，,广泛应用性。,第13页,(1),高度抽象性。,数学抽象性在高等,数学中非常突出。我们利用抽象数字，概,念来表示客观改变事物和规律，却并不打,算每次都把它同详细对象联络起来。,(2),严谨逻辑性。,数学每一个定义，,定理，只有当它已经从逻辑推论上严格地,被证实了时候，才能在数学中成立。而且,每门课各章节之间又有很强连贯性。,第14页,(3),广泛应用性。,高等数学广泛应用性,是很显著。,一、数列极限,若数列,及常数,a，,当,n,趋向于无穷大时,趋向于,a,时，则称,x,n,以,a,为极限，记作,让我们来看一些实例：,怎样来严格地刻画这个概念呢？,第15页,若数列,及常数,a,有以下关系:,此时也称数列,收敛,不然称为,数列,发散,。,几何解释,:,即,当,n,N,时,总有,记作,或,则称该数列,极限为,a,第16页,二、无穷小量,时,无穷小量,。,定义1,.,若,时,函数,则称函数,为当,无穷小量运算和比较,*,设,对同一自变量改变过程为无穷小,且,是,高阶,无穷小,是,低阶,无穷小,是,同阶,无穷小,是,等价,无穷小,实际上，整个微、积分能够说就是无穷小量分析。,若,则,就是,无穷小量,。,第17页,三、函数连续性定义,定义:,在,某邻域内有定义,则称函数,设函数,且,对自变量增量,有,函数增量：,当,为无穷小量时，,也为无穷小量时，,则称函数,第18页,左连续,右连续,函数,在点,连续有以下,等价命题,:,当,时,有,第19页,曲线,切线,斜率,曲线,在,M,点处,切线,割线,M N,极限位置,M T,(当 时),割线,M N,斜率,切线,MT,斜率,四、导数,第20页,两个问题,共性:,瞬时速度,切线斜率,所求量为函数增量与自变量增量之比极限.,改变率问题,类似问题还有:,加速度,角速度,线密度,电流强度,是,速度增量,与,时间增量,之比极限,是,转角增量,与,时间增量,之比极限,是,质量增量,与,长度增量,之比极限,是,电量增量,与,时间增量,之比极限,第21页,曲线切线方程,由直线点斜式方程知,函数极大值与极小值,(1),“左,正,右,负,”,(2),“左,负,右,正,”,所以函数取得极值必要条件是,内有导数,且在空心邻域,第22页,经济学厂商理论里有一个称为“边际”概念。,设某厂商在组织生产时追求利润极大。令他到达,利润极大时生产量为,q，,产品市场价格为,p,故他收入为,p q。,设他生产,q,成本为,c,(,q,),则他利润,为,q,0,当他生产,q,0,使其,到达利润极大,时，他,边际利润必为零，,即,第23页,五、定积分问题举例,1.曲边梯形面积,设曲边梯形是由连续曲线,以及两直线,所围成,求其面积,A,.,矩形面积,梯形面积,第24页,处理步骤:用,微元法（分，粗，合，精）,1),化整为另,.,在区间,a,b,中,任意,插入,n,1,个分点,用直线,将曲边梯形分成,n,个小曲边梯形;,2),以常代变.,在第,i,个窄曲边梯形上,任取,并以此小,作以,为底,为高小矩形,梯形面积近似代替对应,窄曲边梯形面积,得,第25页,3),近似和.,4)取极限.,令,则曲边梯形面积,第26页,2.,变速直线运动旅程,处理步骤:,1),化整为另,.,2),以常代变.,得,设某物体作直线运动,且,求在运动时间内物体所经过旅程,s,.,已知速度,将它,在每个小段上,n,个小段,物体经,过旅程为,分成,第27页,3),近似和.,4)取极限.,上述两个问题共性:,处理问题方法步骤相同，即,（分，粗，合，精）,:,“化整为另,以常代变,近似和,取极限”,所求量极限结构式相同:,特殊乘积和式极限。,第28页,线性代数,线性方程组基本问题：,解线性方程组基本方法是,消去法，,何时有没有穷多解？,怎样求出通解（全部解）？,何时无解？,何时有解,何时有唯一解？,第29页,将线性方程组简化和抽象为一个数组，,称为系数增广矩阵。,第30页,比如,求解线性方程组解：,解：,第31页,第32页,注意抓好六个步骤学习,(1),预习。,为了提升听课效果，在每次上高等,数学课前一天，对第二天教师要讲内容先作,预习，即用少许时间（比如，用讲课时间,10一20左右）自学教材。,(2),听课。,课堂上听教师讲授是同学们进大学,学习取得知识一个主要步骤所以，应带着,充沛精力、带着获取新知识浓厚兴趣。,第33页,带着预习中疑点和难点，专心致志聆听教师,是怎样提出问题？是怎样分析问题？是如,何处理问题？要紧跟教师思绪，听问题，,听方法，听思绪，听关键。,(3),记笔记。,因为高等数学教师讲课不是,“照本宣科”教师主要是讲重点、讲难点、讲,疑点、讲思绪，还要结合相关问题讲一些治,学方法，和提出一些同学应注意问题。,第34页,而且有些内容、例子是教材上没有所以记,好课堂笔记是学好高等数学一个主要学,习步骤。,(4),复习。,学习包含“学”与习”两个方面“学”,是为了获取知识，“习是为了消化、掌握知识，,学而不习，知识不易消化和掌握；习而不学，,知识不易丰富孔子说：“学而时习之”。,第35页,(5),做作业。,要把高等数学学到手，认真、,及时完成教师布置作业，也是一个十分重,要学习步骤。,(6),答疑。,答疑也是大学学习一个主要环,节。同学们在学习高等数学期间，在数学上遇,到疑问时(不论是听课、复习、作业中）都,应该及时去请教教师，切勿“拖欠”。,(7),小结。,要自己动手，用自己话来做,小结，总结最关键基本内容。,第36页,