二轮函数3(新).doc

2015届高三数学二轮复习教学案---专题一：函数与导数
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第3讲、导数及其应用
【目标引领】
1． 能够熟练的求出函数导数；
2． 能够利用导数研究曲线的切线问题；能够借助导数工具研究函数的单调性、极值等问题；
3． 考情分析：
从内容上看，考查导数主要有三个层次：(1)导数的概念、求导公式与法则、导数的几何意义；(2)导数的简单应用，包括求函数极值、求函数的单调区间、证明函数的单调性等；(3)导数的综合考查，包括导数的应用题以及导数与函数、不等式等的综合题．
【自主梳理】
1． 导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，其切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
2． 利用导数与函数单调性的方法：

3． 利用导数求函数的极值与最值的方法：

4． 四个易误导数公式及两个常用的运算法则
(1)(sin x)′＝　　　　　(2)(cos x)′＝　　　　(3)(ax)′＝　　　　　　　(a>0，且a≠1)．
(4)(logax)′＝　　　　　(a>0，且a≠1)．　　(5)[f(x)·g(x)]′＝　　　　　　　　　　．
(6)′＝　　　　　　　　　　　　　其中：(g(x)≠0)．
【自学探究】
1．【最高考p17】函数在R上存在极值，则实数的取值范围是　　

【变题1】已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是 ．
【变题2】已知函数在区间上有极大值和极小值，则实数的取值范围是 .
2．函数y＝x2－ln x的单调递减区间为 　　　　
3．已知函数 ，则、、的大小关系

4．直线y＝kx＋b与曲线y＝ax2＋2＋ln x相切于点P(1,4)，则b的值为

5．【最高考p19】（2013湖北）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围　　　　　　
【典型问题研究】
题组一　　导数几何意义的应用
1．过点(1,0)作曲线y＝ex的切线，则切线方程为________．
2．在平面直角坐标系xOy中，设A是曲线C1：y＝ax3＋1(a>0)与曲线C2：x2＋y2＝的一个公共点，若C1在A处的切线与C2在A处的切线互相垂直，则实数a的值是________．
3．(2013·高考广东卷)若曲线y＝kx＋ln x在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k＝________．

【点评】　　
曲线切线的相关问题的解决，抓住两个关键点：其一，切点是交点；其二，在切点处的导数是切线的斜率．因此，解决此类问题，一般要设出切点，建立关系——方程(组)．
注意：(1)当曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，由切线定义可知，切线方程为x＝x0；
(2)当切点坐标未知时，应首先设出切点坐标，再求解．
题组二　　利用导数研究函数的性质
1． (2013山东卷改编)已知函数f(x)＝ax2＋bx－ln x(a，b∈R)．设a≥0，求f(x)的单调区间．

2．【最高考p17】(2011北京卷)已知函数
（1）求函数的单调区间；（2）求函数在区间上的最小值。

【点评】　　利用导数研究函数单调性的一般步骤：
(1)确定函数的定义域；　　　　(2)求导数f′(x)；
(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数f(x)的定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.
②若已知f(x)的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题求解．
注意：当求出函数的单调区间(如单调增区间)有多个时，不能把这些区间取并集．

题组三　　利用导数研究函数的极值（最值）
(1)由函数的解析式求极值或最值；(2)利用极(最)值求参数的值或范围．常与函数的单调性、方程、不等式及实际应用问题综合，形成知识的交汇问题．
1．【最高考p20】(2013·高考福建卷)已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数)．
(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；
(2)求函数f(x)的极值；
(3)当a＝1时，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)没有公共点，求k的最大值．

2． (2012·江西卷)已知函数f(x)＝(ax2＋bx＋c)ex在[0,1]上单调递减且满足f(0)＝1，f(1)＝0.
(1)求a的取值范围；
(2)设g(x)＝f(x)－f′(x)，求g(x)在[0,1]上的最大值和最小值．

【点评】(1)求函数y＝f(x)在某个区间上的极值的步骤：
第一步：求导数f′(x)；　　　　第二步：求方程f′(x)＝0的根x0；
第三步：检查f′(x)在x＝x0左、右的符号：
①左正右负⇔f(x)在x＝x0处取极大值；②左负右正⇔f(x)在x＝x0处取极小值．
(2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤：
第一步：求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值(极大值或极小值)；
第二步：将y＝f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
注意：(1)利用导数研究函数的极值和最值时，应首先考虑函数的定义域．
(2)导数值为0的点不一定是函数的极值点，它是函数在该点取得极值的必要而不充分条件．
题组三　　利用导数解决与方程、不等式有关的问题
例3　(2013·陕西卷改编)已知函数f(x)＝ex，x∈R.
(1)设x>0，讨论曲线y＝f(x)与曲线y＝mx2(m>0)公共点的个数；
(2)设a<b，比较与的大小，并说明理由．

导数及其应用
1． 已知直线y＝kx是y＝ln x的切线，则k的值是
2．若曲线f(x)＝xsin x＋1在x＝处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a等于
3．曲线的切线中,斜率最小的切线方程为___________
4．函数的单调减区间为__________
5．已知函数在定义域内是增函数，则实数的取值范围为_________
6． 已知函数f(x) (x∈R)满足f(1)＝1，且f(x)的导函数f′(x)<，则f(x)<＋的解集为__________．
7． 设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则a的取值范围为________．
8．已知函数f(x)＝－x2＋4x－3ln x在[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是____________．
9． 已知函数f(x)＝x－，g(x)＝x2－2ax＋4，若任意x1∈[0,1]，存在x2∈[1,2]，使f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是__________．
10．已知函数，且函数在区间（0，1）内取得极大值，在区间（1，2）内取得极小值，则的取值范围为
11． 设函数f(x)＝x2＋ax－ln x　　(a∈R)．
(1)当a＝1时，求函数f(x)的极值；　　 (2)当a≥2时，讨论函数f(x)的单调性；
(3)若对任意a∈(2,3)及任意x1，x2∈[1,2]，恒有ma＋ln 2>|f(x1)－f(x2)|成立，求实数m的取值范围．

12．设函数f(x)＝ax＋2，g(x)＝a2x2－ln x＋2，其中a∈R，x>0.
(1)若a＝2，求曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程；
(2)是否存在负数a，使f(x)≤g(x)对一切正数x都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

13．某工厂生产某种儿童玩具，每件玩具的成本为30元，并且每件玩具的加工费为t元(其中t为常数，且2≤t≤5)，设该工厂每件玩具的出厂价为x元(35≤x≤41)，根据市场调查，日销售量与ex (e为自然数对数的底数)成反比例，当每件玩具的出厂价为40元时，日销售量为10件．
(1)求该工厂的日利润y(元)与每件玩具的出厂价x元的函数关系式；
(2)当每件玩具的日销售价为多少元时，该工厂的利润y最大，并求y的最大值．

14．已知函数f(x)＝(x＋a)2－7bln x＋1，其中a，b是常数且a≠0.
(1)若b＝1时，f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，求a的取值范围；
(2)当b＝a2时，讨论f(x)的单调性．
扬中市第二高级中学高三数学备课组