分式及其基本性质六大病因.doc

分式及其基本性质山东 高怀全 分式是在整式运算、多项式因式分解、一次方程的解法的基础上学习的分式的运算与整式的运算相比，运算步骤明显增多，符号更加复杂，解法更是灵活多样；因而同学们在具体运算时更容易出现这样或那样的错误，为了使同学们在学习时就能引起注意，现将有关分式概念与性质中常的错误归类剖析如下：一、概念不清例1在下列的有理式中，属于分式的是（ ）A B C D3a2b病因：显然A式和D式中分母不含有字母，所以是整式；对于C式虽然是象分式的形式，但通过化简结果为3m，显然3m是整式，所以也是整式，即C式是整式；而B式可化为分式的形式，即，且分母B中含有字母，故应选 B诊断：病根只有一个，即没有能正确理解分式的概念一般地，用A、B表示两个整式，AB就可以表示成的形式，A既可含字母，也可以不含字母，但分式的分母B中必须含有字母，即式子中，B中必须含有字母，这就是区别整式与分式的关键因此判断A、D是整式是不错的，问题是对于B中分母虽然含字母，但是一个常数，所以化成形式后，仍然是一个整式，只有C式中的是一个分式，虽然可以化成3m的整式形式，但在化简的过程中正是运用了分式的基本性质化简的，另外与3m中的字母的取值也不同正解：显然A式和D式中分母不含有字母，所以是整式；而B式中虽然分母中含有字母，但是一个常数，所以仍然是一个整式，只有C式，虽然可以化成3m的整式形式，但在化简的过程中正是运用了分式的基本性质化简的，且字母的取值也发生了变化，因此是一个分式，故应选C二、对分式有意义、无意义、值为0认识模糊例2当x为何值时，分式的值为0错解：当，即时，分式的值是0。诊断：由于当x=1时，分母x-1=0，此时原分式无意义，所以应该舍去x=1解决此类问题是忽略了分母不为0这一条件所致。正解：要使分式的值为0，必须，解得 ，既x=-1时，分式的值为0三、混淆“且”与“或”的运用例3、x为什么值时，下列分式有意义。（1）；（2）病因：（1）由分母x2-40，解得x2或x-2。所以当x2或x-2时，分式有意义；诊断：“且”与“或”在数学上是表示不同意义的，“且”与“和”相同，表示相连的关系，而“或”表示选择关系，两者不能混淆正解：分母不等于零时有意义。（1） 由分母x2-40，解得x2且x-2。所以当x2且x-2时，分式有意义；（2） 因为分母x2+1不论x为什么值 ，它都大于零，所以x为全体实数时，分式有意义四、运用分式的基本性质有问题例4不改变分式的值，把分式的分子、分母中的各项系数都化为整数错解：诊断：分式的基本性质告诉我们：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变而本题的分子、分母所乘的不是同一个数，而是两个不同的数，虽然把各项系数化成了整数，但分式的值改变了正解：五、符号频繁出错例5不改变分式的值，使分子、分母的第一项系数是正号错解：因为同时改变分子、分母的a项的负号，分式的值不变，所以诊断：根据分式的基本性质可知，同时改变分式的分子、分母的符号，分式的值不变；而错解只改变了第一项符号，显然改变了分式的值正解：六、通分时通常去掉分母例6通分 ：错解：x3 3(x+1) 诊断：本题开始是出现符号的错误，到后来则错把分式的化简与解方程去分母混同一体，分式化简的每一步变形的依据都是依靠分式的基本性质，通分要保留分母，而不是去分母正解：