练习：数列求和及数列的简单应用.doc

数列求和及数列的简单应用

1．已知正项数列{an}中，a1＝1，a2＝2，2a＝a＋a(n≥2)，则a6等于(　　)
A．16 B．8 C．2 D．4
2．已知数列{an}为等比数列，且a4·a6＝2a5，设等差数列{bn}的前n项和为Sn，若b5＝2a5，则S9＝(　　)
A．36 B．32 C．24 D．22
3．设等比数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn.若a1＝1，a3＝4，Sk＝63，则k＝________．
4．设直线nx＋(n＋1)y＝(n∈N*)与两坐标轴围成的三角形的面积为Sn，则S1＋S2＋…＋S2012＝________．

5．计算机是将信息转换成二进制数进行处理的．二进制即“逢二进一”，如(1101)2表示二进制的数，将它转化成十进制数的形式是1×23＋1×22＋0×21＋1×20＝13，那么将二进制数111…1(2)(共16位)转换成十进制数的值是(　　)
A．217－2 B．217－1 C．216－1 D．215－1
6．已知函数f(x)＝，点O为坐标原点，点An(n，f(n))(n∈N*)．若记直线OAn的倾斜角为θn，则tan θ1＋tan θ2＋…＋tan θn＝(　　)
A. B. C. D.
7．数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝，且对任意的正整数m，n，都有am＋n＝am·an，若Sn<t恒成立，则实数t的最小值为(　　)
A. B. C. D．4
8．在数列{an}中，若对任意的n∈N*均有an＋an＋1＋an＋2为定值，且a7＝2，a9＝3，a98＝4，则数列{an}的前100项的和S100＝(　　)
A．132 B．299 C．68 D．99
9．定义为n个正数p1，p2，…，pn的“均倒数”．若已知数列{an}的前n项的“均倒数”为，又bn＝，则＋＋…＋＝(　　)
A. B. C. D.
10．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(－1)n(an＋1)，记Sn为数列{an}的前n项和，则S2013＝________．
11．已知数列{an}的各项均为正整数，其前n项和为Sn.
若an＋1＝且S3＝29，则a1＝________；S3n＝________．
12．对于一切实数x，令[x]为不大于x的最大整数，则函数f(x)＝[x]称为高斯函数或取整函数．若an＝f，n∈N*，Sn为数列{an}的前n项和，则S3n＝________．
13．已知等差数列{an}满足a3＝10，a5－2a2＝6.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)数列{bn}满足bn＝Tn为数列{bn}的前n项和，求T2n.

14．等差数列{an}中，2a1＋3a2＝11，2a3＝a2＋a6－4，其前n项和为Sn.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}满足bn＝，其前n项和为Tn，求证：Tn<(n∈N*)．

15．环保刻不容缓，或许人类最后一滴水将是自己的泪水．某地水资源极为紧张，且受工业污染严重，预计20年后该地将无洁净的水可用．当地决定重新选址建设新城区，同时对旧城区进行拆除．已知旧城区的住房总面积为64a m2，每年拆除的数量相同；新城区计划第一年建设住房面积a m2，前四年每年以100%的增长率建设新住房，从第五年开始，每年都比上一年增加a m2.设第n(n≥1，且n∈N)年新城区的住房总面积为an m2，该地的住房总面积为bn m2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若每年拆除4a m2，比较an＋1与bn的大小．

专题限时集训
1．D　[解析] 根据2a＝a＋a知，数列{a}为等差数列，首项为1，公差为3，所以a＝1＋(n－1)×3＝3n－2，又an>0，所以an＝，所以a6＝＝4.
2．A　[解析] 由a4·a6＝2a5，得a＝2a5，即a5＝2，所以b5＝4，S9＝＝9b5＝36.
3．6　[解析] 设公比为q，因为an>0，所以q>0，则a3＝4＝a1q2＝q2，所以q＝2，又Sk＝63＝，即2k＝64，所以k＝6.
4.　[解析] 直线与两坐标轴的交点坐标分别为，，故Sn＝＝－，所以S1＋S2＋…＋S2012＝1－＝.
5．C　[解析] 即215＋214＋…＋2＋1＝216－1.
6．C　[解析] An，tan θn＝＝－，所以tan θ1＋tan θ2＋…＋tan θn＝1－＝.
7．A　[解析] 令m＝1可得an＋1＝an，所以{an}为首项为，公比为的等比数列，所以Sn＝＝<，故实数t的最小值为.
8．B　[解析] 设an＋an＋1＋an＋2＝M，则an＋1＋an＋2＋an＋3＝M，后式减去前式得an＋3＝an，即数列{an}是以3为周期的周期数列，a7＝a1＝2，a9＝a3＝3，a98＝a2＝4，所以在一个周期内的三项之和为9，所以S100＝33×9＋2＝299.
9．C　[解析] 由已知得＝，
∴a1＋a2＋…＋an＝n(2n＋1)＝Sn.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－1，当n＝1时也成立，
∴an＝4n－1，
∴bn＝＝n，∴＝－，
∴＋＋…＋＝＋＋…＋＝.
10．－1005　[解析] a1＝1，a2＝－2，a3＝－1，a4＝0，a5＝1，…，由此可得该数列的周期为4，一个周期内四项之和为－2，2013＝503×4＋1，a2013＝a1，所以S2013＝503×(－2)＋1＝－1005.
11．5　7n＋22　[解析] 若a1＝4k，则a2＝2k，a3＝k，此时S3＝7k＝29，由于k为整数，此时无解；
若a1＝4k＋1，则a2＝12k＋4，a3＝6k＋2，此时S3＝22k＋7＝29，解得k＝1，即a1＝5；
若a1＝4k＋2，则a2＝2k＋1，a3＝6k＋4，此时S3＝12k＋7＝29，由于k为整数，此时无解；
若a1＝4k＋3，则a2＝12k＋10，a3＝6k＋5，此时S3＝22k＋18＝29，由于k为整数，此时无解．
综上可知a1＝5.由于a1＝5，则a2＝16，a3＝8，a4＝4，a5＝2，a6＝1，a7＝4，a8＝2，a9＝1，a10＝4，a11＝2，a12＝1.
a1＝4＋1，a2＝2＋14，a3＝1＋7，
则a1＋a2＋a3＝22＋7，其余每连续三项之和为7，故S3n＝22＋7n.
12.n2－n　[解析] 当n＝3k，n＝3k＋1，n＝3k＋2时均有an＝f＝＝k，所以
S3n＝0＋0＋1＋1＋1,\s\do4(3个))＋2＋2＋2,\s\do4(3个))＋…＋(n－1)＋(n－1)＋(n－1),\s\do4(3个))＋n＝3××(n－1)＋n＝n2－n.
13．解：(1)设数列{an}的公差为d，则a1＋2d＝10，a1＋4d－2(a1＋d)＝6，解得a1＝2，d＝4，所以an＝a1＋(n－1)d＝4n－2.
(2)数列{bn}的前2n项和中，奇数项和偶数项各有n项．奇数项是首项为1，公比为4的等比数列，其和为＝；偶数项是首项为1，公差为4的等差数列，其和为n＋×4＝2n2－n.
所以T2n＝＋2n2－n.
14．解：(1)设数列{an}的公差为d，则2a1＋3a2＝2a1＋3(a1＋d)＝5a1＋3d＝11，
2a3＝a2＋a6－4，即2(a1＋2d)＝a1＋d＋a1＋5d－4，得d＝2，a1＝1，所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
(2)证明：Sn＝na1＋n(n－1)d＝n×1＋n(n－1)×2＝n2，
bn＝＝＝＝＝－，
所以Tn＝－＋－＋－＋…＋－＋－
＝＋－－<(n∈N*)．
15．解：(1)设第n年新城区的住房建设面积为λnm2，则当1≤n≤4时，λn＝2n－1a；
当n≥5时，λn＝(n＋4)a.
所以，当1≤n≤4时，an＝(2n－1)a，
当n≥5时，an＝a＋2a＋4a＋8a＋9a＋…＋(n＋4)a＝a，
故an＝
(2)当1≤n≤3时，an＋1＝(2n＋1－1)a，bn＝(2n－1)a＋64a－4na，显然有an＋1<bn，
当n＝4时，an＋1＝a5＝24a，bn＝b4＝63a，此时an＋1<bn.
当5≤n≤16时，an＋1＝a，bn＝a＋64a－4na.
an＋1－bn＝(5n－59)a.
所以，当5≤n≤11时，an＋1<bn；当12≤n≤16时，an＋1>bn.当n≥17时，显然an＋1>bn，
故当1≤n≤11时，an＋1<bn；当n≥12时，an＋1>bn.