第八章中档题目强化练.doc

中档题目强化练——立体几何
A组　专项基础训练
(时间：40分钟)
一、填空题
1.已知直线l1，l2与平面α，则下列结论中正确的是________.(填序号)
①若l1⊂α，l2∩α＝A，则l1，l2为异面直线；
②若l1∥l2，l1∥α，则l2∥α；
③若l1⊥l2，l1⊥α，则l2∥α；
④若l1⊥α，l2⊥α，则l1∥l2.
答案　④
解析　对于①，当A∈l1时，结论不成立；对于②③，当l2⊂α时，结论不成立.
2.设α、β、γ是三个互不重合的平面，m、n是两条不重合的直线，下列命题中正确的是________.(填序号)
①若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ；
②若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n；
③若α⊥β，m⊥α，则m∥β；
④若α∥β，m⊄β，m∥α，则m∥β.
答案　④
解析　对于①，若α⊥β，β⊥γ，α，γ可以平行，也可以相交，①错；对于②，若m∥α，n∥β，α⊥β，则m，n可以平行，可以相交，也可以异面，②错；对于③，若α⊥β，m⊥α，则m可以在平面β内，③错；易知④正确.
3.设α、β、γ为平面，l、m、n为直线，则下列是m⊥β的一个充分条件为________.(填序号)
①α⊥β，α∩β＝l，m⊥l；
②n⊥α，n⊥β，m⊥α；
③α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γ；
④α⊥γ，β⊥γ，m⊥α.
答案　②
解析　如图1知①错；如图2知②错；如图3在正方体中，两侧面α与β相交于l，都与底面γ垂直，γ内的直线m⊥α，但m与β不垂直，故④错；
由n⊥α，n⊥β，得α∥β.又m⊥α，则m⊥β，故②正确.

4.如图，在正四棱柱(底面是正方形的直四棱柱)ABCD－A1B1C1D1中，E、
F分别是AB1、BC1的中点，则下列结论不成立的是________.
①EF与BB1垂直；
②EF与BD垂直；
③EF与CD异面；
④EF与A1C1异面.
答案　④
解析　连结B1C，AC，则B1C交BC1于F，
且F为B1C的中点，
又E为AB1的中点，所以EF綊AC，
而B1B⊥平面ABCD，所以B1B⊥AC，
所以B1B⊥EF，①正确；
又AC⊥BD，所以EF⊥BD，②正确；
显然EF与CD异面，③正确；由EF綊AC，AC∥A1C1，
得EF∥A1C1.故不成立的为④.
5.底面直径和母线长相等的圆柱称为等边圆柱.已知一等边圆柱的底面半径为2，则其体积为________.
答案　16π
解析　由题意，圆柱的高为4，则V＝π·22·4＝16π.
6.三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P－ABC的体积等于________.
答案　
解析　∵PA⊥底面ABC，
∴PA为三棱锥P－ABC的高，且PA＝3.
∵底面ABC为正三角形且边长为2，∴底面面积为×22×sin 60°＝，∴VP－ABC＝××3＝.
7.已知四棱锥P—ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，点E、F分别是棱PC、PD的中点，则
①棱AB与PD所在直线垂直；
②平面PBC与平面ABCD垂直；
③△PCD的面积大于△PAB的面积；
④直线AE与直线BF是异面直线.
以上结论正确的是________.(写出所有正确结论的编号)
答案　①③
解析　由条件可得AB⊥平面PAD，
∴AB⊥PD，故①正确；
若平面PBC⊥平面ABCD，由PB⊥BC，
得PB⊥平面ABCD，从而PA∥PB，这是不可能的，故②错；
S△PCD＝CD·PD，S△PAB＝AB·PA，
由AB＝CD，PD>PA知③正确；
由E、F分别是棱PC、PD的中点，
可得EF∥CD，又AB∥CD，
∴EF∥AB，故AE与BF共面，④错.
8.三棱锥S－ABC中，∠SBA＝∠SCA＝90°，△ABC是斜边AB＝a的等腰直角三角形，则以下结论中：
①异面直线SB与AC所成的角为90°；
②直线SB⊥平面ABC；
③平面SBC⊥平面SAC；
④点C到平面SAB的距离是a.
其中正确结论的序号是________.
答案　①②③④
解析　由题意知AC⊥平面SBC，故AC⊥SB，SB⊥平面ABC，平面SBC⊥平面SAC，①②③
正确；取AB的中点E，连结CE，(如图)可证得CE⊥平面SAB，故
CE的长度即为C到平面SAB的距离a，④正确.
二、解答题
9.如图，已知在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD⊥DC，AB∥DC，DC＝DD1＝2AD＝2AB
＝2.
(1)求证：DB⊥平面B1BCC1；
(2)设E是DC上一点，试确定E的位置，使得D1E∥平面A1BD，
并说明理由.
(1)证明　在Rt△ABD中，AB＝AD＝1，BD＝，
又∵BC＝，CD＝2，
∴∠DBC＝90°，即BD⊥BC.
又BD⊥BB1，B1B∩BC＝B，
∴BD⊥平面B1BCC1.
(2)解　DC的中点即为E点，
连结D1E，BE，∵DE∥AB，DE＝AB，
∴四边形ABED是平行四边形.
∴AD綊BE.
又AD綊A1D1，∴BE綊A1D1，
∴四边形A1D1EB是平行四边形.
∴D1E∥A1B.
∵D1E⊄平面A1BD，A1B⊂平面A1BD，
∴D1E∥平面A1BD.
10.在正方体ABCD－A′B′C′D′中，棱AB，BB′，B′C′，C′D′的中点分别是E，
F，G，H，如图所示.
(1)求证：AD′∥平面EFG；
(2)求证：A′C⊥平面EFG；
(3)判断点A，D′，H，F是否共面？并说明理由.
(1)证明　连结BC′.
在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝C′D′，
AB∥C′D′，
所以四边形ABC′D′是平行四边形，
所以AD′∥BC′.
因为F，G分别是BB′，B′C′的中点，
所以FG∥BC′，所以FG∥AD′.
因为EF，AD′是异面直线，
所以AD′⊄平面EFG.
因为FG⊂平面EFG，所以AD′∥平面EFG.
(2)证明　连结B′C.
在正方体ABCD－A′B′C′D′中，A′B′⊥平面BCC′B′，
BC′⊂平面BCC′B′，
所以A′B′⊥BC′.
在正方形BCC′B中，B′C⊥BC′，
因为A′B′⊂平面A′B′C，B′C⊂平面A′B′C，A′B′∩B′C＝B′，
所以BC′⊥平面A′B′C.
因为A′C⊂平面A′B′C，所以BC′⊥A′C.
因为FG∥BC′，所以A′C⊥FG，同理可证A′C⊥EF.
因为EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EF∩FG＝F，
所以A′C⊥平面EFG.
(3)解　点A，D′，H，F不共面.理由如下：
假设A，D′，H，F共面，连结C′F，AF，HF.
由(1)知，AD′∥BC′，
因为BC′⊂平面BCC′B′，AD′⊄平面BCC′B′.
所以AD′∥平面BCC′B′.
因为C′∈D′H，
所以平面AD′HF∩平面BCC′B′＝C′F.
因为AD′⊂平面AD′HF，所以AD′∥C′F.
所以C′F∥BC′，而C′F与BC′相交，矛盾.
所以点A，D′，H，F不共面.
B组　专项能力提升
(时间：40分钟)
1.已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有下面四个命题：
①α∥β⇒l⊥m；　②α⊥β⇒l∥m；
③l∥m⇒α⊥β；　④l⊥m⇒α∥β.
其中正确的命题有________.
答案　①③
解析　①中，⇒⇒l⊥m，故①正确；
②中，l与m相交、平行、异面均有可能，故②错；
③中，⇒⇒α⊥β，故③正确；
④中，α与β也有可能相交，故④错误.
2.如图所示，是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E、F
分别为PA、PD的中点.在此几何体中，给出下面四个结论：
①直线BE与直线CF异面；
②直线BE与直线AF异面；
③直线EF∥平面PBC；
④平面BCE⊥平面PAD.
其中正确的有________.
答案　②③
解析　对于①，因为E、F分别是PA、PD的中点，
所以EF∥AD.又因为AD∥BC，
所以EF∥BC.所以BE与CF共面.故①不正确.
对于②，因为BE是平面APD的斜线，AF是平面APD内与BE不相交的直线，所以BE与AF不共面.故②正确.
对于③，由①，知EF∥BC，所以EF∥平面PBC.故③正确.
对于④，条件不足，无法判断两平面垂直.
3.有一个内接于球的四棱锥P－ABCD，若PA⊥底面ABCD，∠BCD＝，∠ABC≠，BC＝3，CD＝4，PA＝5，则该球的表面积为________.
答案　50π
解析　由∠BCD＝90°知BD为底面ABCD外接圆的直径，则2r＝＝5.
又∠DAB＝90°⇒PA⊥AB，PA⊥AD，BA⊥AD.
从而把PA，AB，AD看作长方体的三条棱，设外接球半径为R，则(2R)2＝52＋(2r)2＝52＋52，
∴4R2＝50，∴S球＝4πR2＝50π.
4.将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”.给出下列四个命题：
①垂直于同一平面的两直线平行；
②垂直于同一平面的两平面平行；
③平行于同一直线的两直线平行；
④平行于同一平面的两直线平行.
其中是“可换命题”的是________.(填命题的序号)
答案　①③
解析　由线面垂直的性质定理可知①是真命题，且垂直于同一直线的两平面平行也是真命题，故①是“可换命题”；因为垂直于同一平面的两平面可能平行或相交，所以②是假命题，不是“可换命题”；由公理4可知③是真命题，且平行于同一平面的两平面平行也是真命题，故③是“可换命题”；因为平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，故④是假命题，故④不是“可换命题”.
5.如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝90°，BC＝CD＝，
AD＝BD，EC⊥底面ABCD，FD⊥底面ABCD，且有EC＝FD＝2.
(1)求证：AD⊥BF；
(2)若线段EC上一点M在平面BDF上的射影恰好是BF的中点N，
试求二面角B－MF－C的余弦值.
(1)证明　∵BC⊥DC，且BC＝CD＝，
∴BD＝2且∠CBD＝∠BDC＝45°.
又AB∥DC，可知∠DBA＝∠CDB＝45°.
∵AD＝BD，
∴△ADB是等腰三角形，且∠DAB＝∠DBA＝45°.
∴∠ADB＝90°，即AD⊥DB.
∵FD⊥底面ABCD于D，AD⊂平面ABCD，
∴AD⊥DF.
又DF∩DB＝D1，∴AD⊥平面BDF，
∵BF⊂平面DBF，∴AD⊥BF.
(2)解　以点C为原点，直线CD、CB、CE方向为x，y，z轴建系.
则D(，0,0)，B(0，，0)，F(，0,2)，A(2，，0)，
∵N恰好为BF的中点，
∴N(，，1).
设M(0,0，z0)，∴＝(，，1－z0).
由解得z0＝1.
故M为线段CE的中点.
设平面BMF的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
且＝(，－，2)，＝(0，－，1)，
由可得取x1＝－1，
则得n1＝(－1,1，).
∵平面MFC的一个法向量为n2＝(0,1,0)，
∴cos〈n1，n2〉＝＝.
故所求二面角B－MF－C的余弦值为.
6.(2013·辽宁)如图，直三棱柱ABC－A′B′C，∠BAC＝90°，AB＝AC
＝，AA′＝1，点M，N分别为A′B和B′C′的中点.
(1)证明：MN∥平面A′ACC′；
(2)求三棱锥A′－MNC的体积.
(锥体体积公式V＝Sh，其中S为底面面积，h为高)
(1)证明　方法一　连结AB′，AC′，如图，
由已知∠BAC＝90°，AB＝AC，
三棱柱ABC－A′B′C为直三棱柱，
所以M为AB′的中点.
又因为N为B′C′的中点，所以MN∥AC′.
又MN⊄平面A′ACC′，AC′⊂平面A′ACC′，所以MN∥平面A′ACC′.
方法二　取A′B′的中点P，连结MP，NP，AB′，如图，
因为M，N分别为AB′与B′C′的中点，
所以MP∥AA′，PN∥A′C′.
所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′.
又MP∩NP＝P，所以平面MPN∥平面A′ACC′.
而MN⊂平面MPN，所以MN∥平面A′ACC′.
(2)解　方法一　连结BN，如图所示，
由题意知A′N⊥B′C′，
平面A′B′C′∩平面B′BCC′＝B′C′，
所以A′N⊥平面NBC.
又A′N＝B′C′＝1，
故VA′－MNC＝VN－A′MC＝VN－A′BC＝VA′－NBC＝.
方法二　VA′－MNC＝VA′－NBC－VM－NBC＝VA′－NBC＝.