专题二 三大函数.doc

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专题二 高中数学（必修一）三大函数精讲
一 引入
为何要学习这三大函数（幂函数、指数函数、对数函数），为何这三大函数在高中数学所处地位是如此之高，而又为何在高中数学学习的开始就引入这三个函数，相信这是许多学生所关心、所疑问的。为此，笔者首先给出几个这三大函数在现实中应用的例子。
1.幂函数的现实应用的例子
产品的数量与价格构成一次函数，炮弹的运动轨迹可以近似看作是二次函数，利润的分配与人数构成反比例函数。
2.指数函数的现实应用的例子
某国在2012年人口为a万人，根据监测，预计未来十年人口的年平均增长率为b，则十年后该国的人口有多少人？
某国今年初的GDP为m，预计未来5年的年平均增长率为n，求五年后该国的GDP为多少？
3.对数函数的现实应用的例子
某国在2012年人口为a万人，十年后该国的人口为b，那么人口的每年平均增速为多少？
某国今年初的GDP为m，五年后该国的GDP为n，为了保证达到该目标，那么该国每年平均的增率至少为多少？
总结：
细心的读者可以看到，指数函数与对数函数仿佛有种对应的关系，就像乘除一样。是的，他们之间的确存在这种关系，数学上称这为反函数。
从上面的几个例子可以看出，这三大函数在现实社会中有广泛的应用，这可以说是直接回答了引入中的问题。可见，这三大函数是多么的重要。接下来，我们将具体讲解这三大函数。
二 幂函数
1.定义
一般地，形如（R）的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数。如等都是幂函数。
2.图像

3.特性
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义。
必过定点（1，1）即=1，=1 ！！！
（2）α＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数
（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.
4 .经典例题
（1）设函数与的图象的交点为，则所在的区间是（ ）
A. （0，1） B. （1，2） C. （2，3） D. （3，4）
三 指数函数
1.定义：
形如的函数称为指数函数。
2.图像

3.定义域：R
必过定点（0，1），即当=0，=1 ！！！
4.值域：（0，+∞）
5.奇偶性：非奇非偶
6.单调性
（1）若a>1，则f（x）在R上是增函数；
（2）若0<a<1，则f（x）在R是上减函数。
7.周期性：不具备
8.指数运算法则
（1）aman＝am+n； （2）(am)n＝amn； （3）(ab)m＝ambm； （4）a-m＝1/am； （5）an/m＝m√an； （6）a0＝1；
（7）am/an＝am-n
9.经典例题
(1) 设0≤x≤2，求函数y=-2x-1 的值域。
解：设既
当t=2时，y取最小值-2；当t=4时，y取最大值0
∴函数的值域为[-2，0]
(2) 若点在函数的图像上，则下列哪一点一定在函数的图像上 （ D ）
A. B. C. D.
(3)设则 （ C ）
A、 B、 C、 D、
（4）已知函数，则的值是
A． B． C． D．

四 对数函数
1.定义
一般地，我们把函数（＞0且≠1）叫做对数函数，其中是自变量。
2.图像

3.定义域：（0，+∞）
必过定点（1，0），即当=1，=0 ！！！
4.值域：R
5.奇偶性：非奇非偶（定义域不关于原点对称）
6.单调性:
（1）若a>1，则f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（2）若0<a<1，则f（x）在（0，+∞）是上减函数。
7.周期性：不具备
8.对数运算法则
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
(7) ————换底公式
9.经典例题
(1) 一片森林面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时。所用时间是10年，为保护生态环境．森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的，求：
(1)到今年为止：．该森林已砍伐了多少年？
(2)今后最多还能砍伐多少年?

解：（1）设每年降低的百分比为x（0〈x〈1）。
设经过M年剩余面积为原来的，则
又
∴到今年为止，已砍伐了5年(6分)
（2）设从今天开始，以后砍了N年，则N年后剩余面积为由题意，
有即，
由（1）知
，化成
故今后最多还能砍伐15年
(2)方程log2(x+4)= x＋3的根的情况是 （ C ）
A．仅一个正根 B．有两正根 C．有两负根 D．有一正根和一负根
(3)= 1
五 课后反思
1.幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数。
2.指数函数与对数函数互为反函数，切记！！！
3.仔细研读三大函数的图像，做到烂熟于心、随手能画。
4.函数零点：我们把函数y=f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点，即方程的根。
六 高考真题
一、选择题
1.【2012高考安徽文3】（）·（4）=
（A） （B） （C）2 （D）4
【答案】D
2.【2012高考新课标文11】当0<x≤时，4x<logax，则a的取值范围是
（A）(0，) （B）(，1) （C）(1，) （D）(，2)
【答案】B
3.【2012高考山东文3】函数的定义域为
(A) (B) (C) (D)
【答案】B
6.【2012高考重庆文7】已知，，则a,b,c的大小关系是
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
7.【2012高考全国文11】已知，，，则
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
8.【2012高考全国文2】函数的反函数为
（A） （B）
（C） （D）
【答案】B
9.【2012高考四川文4】函数的图象可能是（ ）

【答案】Ｃ
15.【2012高考湖北文6】已知定义在区间[0,2]上的函数y=f(x)的图像如图所示，则y=-f(2-x)的图像为

【答案】B
18.【2102高考北京文5】函数的零点个数为
（A）0 （B）1（C）2 （D）3
【答案】B
19.【2012高考天津文科4】已知a=21.2，b=-0.2，c=2log52，则a，b，c的大小关系为
（A）c<b<a （B）c<a<b C）b<a<c （D）b<c<a
【答案】A

二、填空题
31.【2102高考北京文12】已知函数，若，则_____________。
【答案】2

34.【2012高考江苏5】（5分）函数的定义域为 ▲ ．
【答案】。
三、解答题
36.【2012高考上海文20】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分
已知
（1）若，求的取值范围
（2）若是以2为周期的偶函数，且当时，，求函数（）的反函数
【答案】
37.【2012高考江苏17】（14分）如图，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
（1）求炮的最大射程；
（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．

【答案】解：（1）在中，令，得。
由实际意义和题设条件知。
∴，当且仅当时取等号。
∴炮的最大射程是10千米。
（2）∵，∴炮弹可以击中目标等价于存在，使成立，
即关于的方程有正根。
由得。
此时，（不考虑另一根）。
∴当不超过6千米时，炮弹可以击中目标。
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专题二 高中数学（必修一）三大函数精讲