近世代数部分定理证明.docx

定理5.1 在群中左消去律和右消去律成立，即，如果，则必有；如果，则必有。

定理5.2 在群中，方程与有唯一解。

定理5.3 在群中单位元和逆元是唯一的。

定理5.4 在群中，，则有
1. ；2.。

定理5.5 设是群，，如果，则。

定理5.6设是群，，如果，则，且互不相同。

定理5.7设是群，，如果，则，其中表示的最大公约数，表示的最小公倍数。

定理5.8设是群，，如果，，且，，则。

定理5.9设是群，，则。

定理5.10 设是群，，则。

定理5.11 设是群，，，则，类似地有。

定理5.12 设，，则
1. ； 2. 。

定理5.13 (Lagrange 定理)设是有限群，， 则。

定理5.14 设是群，是的有限子群， 则。

定理5.15设是群，则下列事项等价：
1. ；2. ，；3. , ；4. , 。
证明：
① 1⇔3：假设N是不变子群，那么对于G的任何a来说，
aN=Na，这样aNa-1=（aN）a-1=Naa-1=Naa-1=Ne=N
假如对于G的任何a来说，aNa-1=N，
那么
Na=（aNa-1）a=aNa-1a=aNe=aN，
所以N是不变子群，证完。
② 2⇔4：
⇒：现任取c∈Na，则存在b∈a，使得c=aba-1,则c∈N,因此Na∈N.
⇐:设任意a∈G, Na⊆N,则任意b∈N，aba-1∈Na，因此，aba-1⊆N，综上任意a∈G，b∈N，有aba-1⊆N。
③ 1⇔2：这个条件是必要的，是定理的直接结果，我们证明他也是充分的。假设这个条件成立，那么对于G的任何一个元a来说，
(1) ana-1∈N，这样，因为a-1也是G的元，我们有
a-1Na∈N，a（a-1Na）a-1∈aNa-1
(2) N⊂aNa-1,由(1)和(2)因而由1⇔3，N是不变子群。
定理5.16 循环群的任一子群必是循环群。循环群必是交换群。

定理5.17 任意的一个轮换都可以写成若干个不相交的对换的乘积。

定理5.18 在环中，0和1分别是零元和乘法单位元。对于中元素，有
1.；2.，特别地，；
3. ，特别地，；

定理5.19 域是整环。

定理5.20 设是从到的群同态映射，则
1. 是群的正规子群；2.为单射当且仅当。

定理 5.21 设是从到的群同态映射，则。

定理5.22 循环群要么与同构，要么与同构。

定理5.23任意一个群都与一个置换群同构。

定理5.24 设是从到的环同态，和分别是和的零元，则
1. ；2.若，则；3.若为可逆元，则为的可逆元。

定理 5.25 设是从到的环同态映射，则是的理想，且。