山西省山大附中2012-2013学年高二数学暑假考试题.doc

山西大学附中2012新高二暑假考试
数学试题
（考查时间：120分钟）（考查内容：高一全部）
一、选择题（每题3分共42分
1、集合，，则（ ）
A B C D
2、设，是两个非零向量( )
A若，则
B若，则
C若，则存在实数，使得
D若存在实数，使得，则
3、有两枚质地均匀的骰子，一枚红色骰子有两个面是1，其余面是2，3，4，5，另一枚蓝色骰子有两面是2，其余面是3，4，5，6，则两个骰子向上点数相同的概率为（ ）

4、等差数列则数列的前9项的和等于（）
A. B C D 198
5、使得函数有零点的一个区间是 ( )
　 A (0，1)　　 B (1，2)　 C (2，3)　 D (3，4)
6、定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{an}，{f（an）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”。现有定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=x²；②f（x）=2x；③；④f（x）=ln|x |。
则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为( )
A.①② B.③④ C.①③ D.②④
7、设函数，则下列结论错误的是（ ）
A．的值域为 B．是偶函数
C．不是周期函数 D．不是单调函数
8、 右图是用模拟方法估计圆周率的程序框图，表示估计结果，则图中空白框内应填入（ ）
A、
B、
C、
D

9、若是方程的解，是 的解，则的值为（）
A． B． C． D．
10、在这三个函数中，当时，
使恒成立的函数的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
11、设函数的最小正周期为π，且，则( )
A. 在单调递减 B. 在单调递减
C．在单调递增 D．在单调递增
12、设，，，是平面直角坐标系中两两不同的四点，若 (λ∈R)，(μ∈R)，且,则称，调和分割， ,已知点C(c，o),D(d，O) (c，d∈R)调和分割点A(0，0)，B(1，0)，则下面说法正确的是( )
A. C可能是线段AB的中点 B. D可能是线段AB的中点
C. C，D可能同时在线段AB上 D. C，D不可能同时在线段AB的延长线上
13、设，. 在中，正数的个数是 （ ）
（A）25. （B）50. （C）75. （D）100.
14、设函数f(x)满足f()=f(x)，f(x)=f(2x)，且当时，f(x)=x3.又函数g(x)=|xcos|，则函数h(x)=g(x)-f(x)在上的零点个数为( )
(A)5 (B)6 (C)7 (D)8
二、填空题(每题4分共20分)
15、若两个等差数列、的前项和分别为、，对任意的都有，则=
16、已知函数的定义域为，且函数的定义域存在，则实数的取值范围是 。
17、 已知，求的最小值为
18、已知函数（a为常数）.若在区间[1,+¥)上是增函数，则a的取值范围是 .
19、在平行四边形ABCD中，∠A=, 边AB、AD的长分别为2、1. 若M、N分别
是边BC、CD上的点，且满足，则的取值范围是
三.解答题：（本大题共5小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
20、(本小题满分10分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别是a，b，c．
（1）若sin C + sin（B－A）= sin 2A，试判断△ABC的形状；
（2）若△ABC的面积S = 3，且c =，C =，求a，b的值．

21. (本小题满分12分)
设平面内的向量，，，点是直线上的一个动点，且，求的坐标及的余弦值.

22、(本小题满分12分)
函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，、为图象与轴的交点，且为正三角形。
（Ⅰ）求的值及函数的值域；
（Ⅱ）若，且，求的值。

23、(本小题满分12分)
设定义在上的函数满足：对任意，都有，且当时，.
⑴求的值；
⑵判断并证明函数的单调性；
⑶如果，解不等式.

24、(本小题满分12分)
已知数列的前项和为，且对一切正整数都成立。
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）设，数列的前项和为，当为何值时，最大？并求出 的最大值。

山西大学附中2012新高二暑假考试
数学 试 题 答 案
一、选择题（每题3分共42分）
1、 C 2、 C 3、 B 4、B 5、C
6 、C 7、 C 8、 D 9、C 10、D
11、A 12、D 13、 D 14、B
二、填空题（每题4分共20分）
15、 16 、 17、
18、(-¥, 1] 19 、 [2, 5]
三、解答题（本题共5小题，共58分）
20、解（1）由题意得 sin（B + A）+ sin（B－A）= sin 2A，
sin B cos A = sin A cos A，即 cos A（sin B－sin A）= 0，
cosA = 0 或 sin B = sin A． …… 3分
因A，B为三角形中的角，于是或B = A．
所以△ABC为直角三角形或等腰三角形． …… 5分
（2）因为△ABC的面积等于 3，所以 ，得 ab = 12．
由余弦定理及已知条件，得 a2 + b2－ab = 13．
联立方程组 解得或 …………… 10分
21.解：设.
∵点在直线上，
∴与共线，而，
∴，即，有. ……………… 4分
∵，，
∴，
即. 又， ∴，
所以，，此时. ……………………8分
.
于是.
∴………………12分
22、解：（I）由已知可得，
又正三角形的高为，从而
所以函数的周期，即
函数的值域为………………………………………..6分
（II）因为，由（I）有
，即
由，知
所以 故………………………9分

………………………………………12分
23、 解 ⑴∵对于任意的，都有
∴时∴………………………4分
⑵设且∵
∴∵∴∵当时∴
∴∴∴函数在上为增函数．………8分
⑶∵ ∵∴
∴∴
∴∴∴
解得 所以不等式的解集为………………………12分
24、解：
（I）取，得 ①
取，得 ②
由②①，得 ③
（1）若，由①知
（2）若，由③知 ④
由①、④解得，；或
综上可得，；或；或 ……………………………5分
（II）当时，由（I）知
当时，有，
所以，即，
所以
令，则
所以数列是单调递减的等差数列（公差为），从而

当时，，
故时，取得最大值，且的最大值为
………………………….12分

用心 爱心 专心