“三次函数的图象和性质”教学设计.doc

三次函数的性质
教学目标：让学生了解三次函数的概念、定义域、值域；用导数和二次函数等知识讨论三次函数的单调性，发现三次函数图象的对称性，进一步理解函数的单调性、对称性、极值，用图象来讨论三次方程实根的个数，体会分类讨论、数形结合、函数方程的数学思想方法。
教学重点：讨论三次函数的单调性和相应三次方程实根的个数，发现三次函数图象的对称性，
教学难点：其中发现并验证三次函数图象的对称性。
教学流程
一、三次函数概念
形如的函数叫做三次函数。定义域：；值域为
二、三次函数的图象和性质
1、单调性：
O
O

例1、已知在上是减函数，求的取值范围。
例2、试确定函数的单调区间，并在同一坐
标系中画出此函数与它的导函数图象。
（以上两题由同学们自己完成，然后交流。旨在复习导数、

极值二次不等式恒成立等相关知识，引导学生从特殊的简单
的情形出发，先从图象上直观感知三次函数的单调性，并能
结合导函数图象（如图1）分析，为接下来得出一般性结论
作铺垫）
2、对称性：

O

O

O

例3、试求函数图象的对称中心。
解：∵ ∴函数的图象关于点对称。
4、——讨论三次方程实根的个数
例4、讨论方程的实根的个数。
分析：的图象与轴有几个交点，方程有几个根。
1、当△=时，由于不等式恒成立，函数是单调递增的，所以原方程仅有一个实根。

O

O

2、当△=时，由于方程有两个不同的实根，不妨设，由图象可知，为函数的极大值点，为极小值点，且函数在和上单调递增，在上单调递减。此时：
1） 若，即函数极大值
点和极小值点在轴同侧，图象均
与轴只有一个交图4点，所以原
方程有且只有一个实根（图2、3）。

2） 若，即函数极大值点与

O

极小值点在轴异侧，图象与轴
必有三个交点，所以原方程有三个
不等实根（如图4）。

3） 若，即与
中有且只有一个值为0，所以，原方程有三个
实根，其中两个相等（如图5、6）。

O

O

图5 图6

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