行列式的基本概念与性质docx.docx

行列式的概念
1. 二元線性方程組a11x1+a12x2=b1 a21x1+a22x2=b2
消元得（a11a22-a12a21）x1=b1a22-b2a12
(a11a22-a12a21) x2= a11b2-a21b1
當a11a22-a12a21≠0時，方程組有唯一解
x1=b1a22-b2a12a11a22-a12a21
x2=a11b2-a21b1a11a22-a12a21
l 用記號a11a12a21a22表示a11a22-a12a21，這樣的方表稱為二階行列式。
而a11a12a21a22稱為這個方程組的係數行列式；當a11a12a21a22≠0時，方程組的唯一解可用行列式來表示
D= a11a12a21a22= a11a22-a12a21
D1=b1a12b2a22= b1a22-b2a12
D2=a11b1a21b2= a11b2-a21b1
則方程組的解為x1=D1D, x2=D2D

Ex1. 用行列式來解線性方程組x+2y=13x+5y=2

2. 類似的，我們定義三階行列式：由9個元素排成三行三列的數表
a11a12a13a21a22a23a31a32a33= a11 a22 a33+ a12 a23 a31+ a13 a21 a32- a13 a22 a31- a23 a32 a11
- a12 a21 a33
l 三階行列式是六個項的代數和。
l 展開式符合對角線法則
l 二階行列式的展開式有2=2！ 個項，三階行列式的展開式有6=3！個項，以此類推，n階行列式的展開式有n！個項。

Ex2. 用對角線法則求行列式D=1-23-45-67-89

3. 逆序數
排列1 5 4 3 2 中構成逆序的數對有32,42,52,43,53,54共6對
或寫0 0 1 2 3，則該排列的逆序數表示為τ1,5,4,3,2=6
l 定義，由i1,i2,…ij…ik…in這n個項組成的n階行列式中j<k,若ij>ik, 則稱數對ij， ik構成一個逆序
l 一個排列的逆序總數稱為這個排列的逆序數，記為τ=i1,i2…in
l 逆序數為偶數的排列稱為偶排列逆序數為奇數的排列稱為奇排列
4. 對換
l 將一個排列中的兩個數位置互換，而其餘的數不動，就得到另一個排列，這樣的變換叫對換
如：經過1,3兩個數的對換，排列1 5 4 3 2變成3 5 4 1 2，τ1 5 4 3 2=6為偶排列，τ3 5 4 1 2=7為奇排列，經過一對數的對換后偶排列變成了奇排列
l 任意排列經過一次對換后必改變其奇偶性
5. n階行列式：由n2個數組成的n×n的數表，其展開式有N!個項
D=a11a12⋯a21a22⋯⋮⋮⋱a1na2n⋮an1⋯⋯ann表示n!個项的代數和
（-1）τj1,j2…jna1j1a2j2…anjn
其中（-1）τj1,j2…jna1j1a2j2…annjn表示不同行不同列的n個數的乘積，并冠以符號（-1）τj1,j2…jn來決定該項的正負。

給出下列常用行列式
⑴ 主對角線行列式a11000a2200a33⋯0 ⋯0⋯0⋮⋮⋮000 ⋮⋮0ann=a11a22…ann
⑵ 上三角形行列式a11a12a130a2200a33⋯a1n ⋯a2n⋯a3n⋮⋮⋮000 ⋮⋮0ann=a11a22…ann
⑶ 下三角形行列式a1100a21a22a31a32a33⋯0 ⋯0⋯0⋮⋮⋮an1an2an3 ⋮⋮⋯ann=a11a22…ann
⑷ 副對角線行列式0⋯0⋮ a2⋮⋰⋮ a10⋮an⋯ ⋯0=(-1)n(n-1)2 a1 a2⋯an
試證明⑵⑷
做例1，練1，練2
行列式的基本性質（重點）
1.轉置行列式DT
D=a11a12⋯a21a22⋯⋮⋮⋱a1na2n⋮an1⋯⋯ann，DT= a11a21⋯a12a22⋯⋮⋮⋱an1an2⋮a1n⋯⋯ann
DT=（-1）τi1,i2…inai11ai22…ainn=（-1）τj1,j2…jna1j1a1j2…a1jn=D
故D=DT
l 性質1：行列式D與它的轉置行列式相等
l 由此性質表明，行列式中行與列的地位是對等的，因此行列式中行列互換，行列式不變（行列互換指行全部變成列，列全部變成行）
2.性質2：互換行列式中的兩行或者兩列，行列式反號
單獨取出行列式中的每一行（或者每一列），兩列（行）互換后，該排列的奇偶性改變，那麼行列式D的展開項的每一項都變號，也就D變成了-D。
l 以ri表示行列式D的第i行，以cj表示其第j列，交換D的i,j兩行記作ri↔rj，交換D的i,j兩列記作ci↔cj
l 推論一：若行列式D中有兩行或者有兩列相同，那麼D=0
3.性質3：行列式中某行（列）乘以一個數等於行列式乘以這個數即a11a12⋯⋮ kai1kai2⋯ a1n⋮kain⋮⋮ an1an2⋯ ⋮ann=ka11a12⋯⋮ ai1ai2⋯ a1n⋮ain⋮⋮ an1an2⋯ ⋮ann=a11⋯ka1ja21⋯ka2j⋮ ⋮ ⋯a1n⋯a2n ⋮ an1⋯kanj ⋯ann
表達 ： 第i行乘以k,這種運算記作ri×k第j列乘以k,這種運算記作cj×k
推論2： 行列式的某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符號外面。
如：第i行（或列）提出公因子k，這種運算記作ri÷k（ci÷k）
4.性質4：行列式中的某一行或列乘以一個不為零的數，加到另一行或列上，行列式不變。
a11a12⋯⋮⋮ ai1+kaj1ai2+kaj2⋯ ⋯a1n ⋮⋯ain+kajn⋮ ⋮aj1 aj2⋮ ⋮ ⋯ ⋮⋯ajn ⋮an1 ann2 ⋯ ⋯ann=a11a12⋯⋮ ⋮ ai1ai2⋯ a1n⋮ain⋮⋮ aj1aj2⋯⋮⋮ ⋮ajn⋮an1an2 ⋯ann(其中i≠j)
以數k乘以第j行加到第i行上，這種運算記作ri+k rj
5.性質5：行列式的某兩行或者某兩列成比例，則行列式為0
性質6：行列式的某一列或者某一行可以看成兩列或者兩行的和時，行列式可拆另兩個行列式的和
利用性質5,6試圖證明性質4
练习3：計算行列式
⑴ D=ab+c1ba+c1ca+b1
⑵ D=a2(a+1)2b2(b+1)2 (a+2)2(a+3)2(b+2)2(b+3)2c2(c+1)2d2(d+1)2 (c+2)2(c+3)2(d+2)2(d+3)2
⑶ D=1213 01500112 5634
⑷ D= 1 a1 0-1 1-a1 a20 -1 1-a2 0 00 0a3 00 0 -10 0 0 1-a3 a4-1 1-a4
⑸ 设D=a11⋯a1k⋮ ⋮ak1⋯akk 0 c11⋯c1k⋮ ⋮ck1⋯ckk b11⋯b1k⋮ ⋮bk1⋯bkk，D1=a11⋯a1k⋮ ⋮ak1⋯akk，D2= b11⋯b1k⋮ ⋮bk1⋯bkk, 证明D=D1+D2
⑹ D=a1-b a2 a3 a1 a2-ba3-b ⋮⋮⋮ ⋯ an ⋯ an ⋮ a1 a2 a3 ⋯ an-b

⑺ (2008/2009学年澳大入学考题)因式分解行列式aa2bcbb2accc2ab
行列式按行列展开
1. 余子式和代数余子式
　在一个n级行列式det(aij)中,把元素(i,j=1,2,.....n)所在的行与列划去后，剩下的(n-1)2个元素按照原来的次序组成的一个n-1阶行列式Mij,称为元素aij的余子式，Mij带上符号(-1)i+j称为aij的代数余子式Aij
例如
l 定理一：n行列式det（aij）等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。
即D= ai1 Ai1 + ai2 Ai2 +…+ ain Ain(i=1,2,.....n)
或 D=a1j A1j+a2j A2j+…+anj Anj(j=1,2,.....n)
证明：首先讨论D的第一行元素除a11外其他元素均为零的情况，即
由于a12a13a14⋯⋯均为0，
行列式D按照第一行展开应该D=a11M11 由于M11=A11
所以 D= a11A11

讨论D的第i行元素除aij外其他元素均为0的情况，即
D= a11⋯a1j⋮ ⋮0⋯aij ⋯a1n ⋮⋯0⋮ ⋮an1⋯anj ⋮⋯ann

将D的第i行依次与第i-1, ⋯第2 ，第1行做i-1次相互交换，调到第1 行，再将第j列依次与第j-1，⋯第2，第1列作j-1 次相互交换，调到第一列。一共i+j-2次交换，
同上题得 D=（-1）i+j aij Mij = aij Aij
最后讨论一般情况：
D= a11 a12 ⋮⋮ai1+0+⋯+00+ai2+0⋯+0 ⋯ a1n ⋮⋯0+⋯+0+ain ⋮ ⋮ an1 an2 ⋮ ⋯ann
=a11a12⋮⋮ai10 ⋯a1n ⋮⋯0⋮⋮an1an2 ⋮⋯ann+a11a12⋮⋮0ai2 ⋯a1n ⋮⋯0⋮⋮an1an2 ⋮⋯ann+⋯+a11a12⋮⋮00 ⋯a1n ⋮⋯ain⋮⋮an1an2 ⋮⋯ann
= ai1 Ai1 + ai2 Ai2 +…+ ain Ain (i=1,2,.....n)
类似的若按列证明，可得：
D=a1j A1j+a2j A2j+…+anj Anj (j=1,2,.....n)
这个定理叫做行列式按行（列）展开法(或者叫降阶法)则

l 定理2 ：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
ai1 Aj1 + ai2 Aj2 +…+ ain Ajn=0 (i≠j)
或a1i A1j+a2i A2j+…+ani Anj=0 (i≠j)
证明： 把行列式D=det（aij）按第j行展开，有
aj1 Aj1 + aj2 Aj2 +…+ ajn Ajn=a11⋯a1n⋮ ⋮ai1⋯ain⋮ ⋮aj1⋯ajn⋮ ⋮an1⋯ann
在上式的两端将D的第j行换成第i行的元素，即令ajk=aik
可得ai1 Aj1 + ai2 Aj2 +…+ ain Ajn=a11⋯a1n⋮ ⋮ai1⋯ain⋮ ⋮ai1⋯ain⋮ ⋮an1⋯ann
当i≠j时，由于有两行元素对应相同，故行列式等于0，即得
ai1 Aj1 + ai2 Aj2 +…+ ain Ajn=0 (i≠j)
上述证明如按列证明可得： a1i A1j+a2i A2j+…+ani Anj=0 (i≠j)
l 综合上述两个定理，得到有关于代数余子式的重要性质：
ai1 Aj1 + ai2 Aj2 +…+ ain Ajn=0，(i≠j)D , (i=j)
a1i A1j+a2i A2j+…+ani Anj=0，(i≠j)D , (i=j)

练习5，设4阶行列式D= 1001 -3721-341-2 032-1
求：① D的代数余子式A14
②A11 -2 A12+3 A13- A14;
③A11 + A21+2A31+2A41

练习6 设D=3-511 2 10-5-132-4 13-1-3，求A11+A12+A13+ A14及M11+M21+M31+M41