二维平面圆形区域内狄氏问题的解.doc

二维平面圆形区域内狄氏问题的解

班号：06111004
学号：1120101594
姓名：高兴
时间：2012年6月

二维平面圆形区域内狄氏问题的解

摘要：
根据二维格林函数的形式并利用圆形区域的特殊性求解二维平面上圆形区域内的狄氏定解问题。
关键词：
二维圆形区域 狄氏问题 格林函数
引言：
我们已经知道二维的格林函数具有如下的形式：

其中：

在圆形区域上可以求出V的具体形式，进而解得格林函数，再根据：

解出二维平面圆形区域内狄氏问题的解。
正文：
半径为R的圆域：

圆内一点：
圆外一点：
满足：，则称 为的镜像点。
设P是圆周上任意一点，则：
由：

记 ，则

所以当P在5圆周上时，有：

由于已知二维拉普拉斯方程的基本解为：
所以求得的格林函数为：

它在圆周上满足齐次边界条件。
下一步是解出：

由于在圆域中

其中是和的夹角。
所以可以求得

这是圆域狄氏问题的泊松公式。
参考文献：
1、《数学物理方程与特殊函数》（第三版） 王元明编 2004年；
2、北京理工大学教师课件 陈晔愍 2012年；
3、《二维拉普拉斯方程的格林函数法教学研究》 梁勇 吴自库 2007年；