探究与发现利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质.doc

三角函数线的应用(学案)
红河州蒙自市第一高级中学 张桂华
一．课题：三角函数线的应用探究

二．学习目标：理解单位圆中三角函数线的概念和意义，会应用三角函数线推导出关键的几个诱导公式，掌握三角函数在画正弦、余弦、正切函数图象时所起的作用，进一步掌握利用三角函数线来比较函数值的大小、给值求角、解简单的三角方程和不等式，证明一些三角关系式及利用它来进一步多角度研究三角函数的性质等的应用.

三．学习重点：三角函数性质用三角函数线来呈现的形式，活用数形结合的方法．

四．学习过程：
（一）主要知识：
1．三角函数线：正弦线、余弦线、正切线；
2．函数等的图象与性质．

（二）主要过程：
利用单位圆中的三角函数线自主解决以下问题：
（1） 运用三角函数线进一步理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。
①请在图中画出角X的各三角函数线

② 结合三角函数定义填写:

(2)利用三角函数线用几何法画三角函数的图像。
要求①对于任意角，作正弦线，并画出正弦函数图象上的点；
②在平面直角坐标系中，分别画出正弦函数、余弦函数和正切函数的图象。

（3）运用三角函数线记忆特殊角的三角函数值。
要求:①通过想象，弄清楚三个变化过程：当从0逐渐增大到2时，正弦线、余弦线、正切线的变化过程，并填写下表:
角

正弦线MP

sin
( ) ( 减小 ) ( )

角

余弦线MP

cos
( ) ( 增大 )

角

正切线MP

tan
( ) ( ) ( )
②通过这三个变化过程，记住这七个特殊角的正弦值、余弦值、正切值:

（4）运用三角函数线理解三角函数的基本性质。
通过想象三角函数线的变化过程得到三角函数的定义域、值域、最小值、最大值、周期性、奇偶性、单调性和单调区间等基本性质:
例如 : ① 值域
因为正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以
｜sinx｜≤1，｜cosx｜≤1，即－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1
也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］
②周期性: 自变量每增加(即角旋转一周)，正弦函数值(MP)、余弦函数值(OM)重复出现；
完成 ③ 奇偶性:
④ 定义域
⑤最值
⑥单调性 。
（5）运用三角函数线理解和记忆诱导公式。
学习诱导公式的难点在于准确记忆公式和灵活运用公式。阅读并回答下列列问题:
①当角为锐角时，、、、 的终边与角的终边有何种位置关系？
答：
② 若为任意角，以上对称关系还成立吗？
答：
③ 请在平面直角坐标系内作出角与，再画出它们的正弦线、余弦线、正切线?
答：
这时可以发现角与的正弦线的长度 ，余弦线的长度 ，正切线 ；又角与的正弦线方向 ，余弦线方向也 。
由此可得，公式 sin()= ，
cos()= ，
tan()= 。
请证明上述公式……
证明:

学习探究：通过亲自动手画三角函数线，再观察发现，总结公式。由于有了“三角函数线”这个几何图形的支撑，公式通过直观形象自然而然地引入. 另外，你还可以利用三角函数线证明sin2+cos2=1和等公式和关系吗?
（6）利用三角函数线解简单的三角方程
例1: 已知sin=, 求角.
解: 已知角的正弦值，可知MP=，则P点的纵
坐标为.所以在y轴上取点(0，)，过这点作x轴
的平行线，交单位圆于两点，则是
角的终边， 因而角a的取值集合为
｛｜=2kπ+,或=2kπ+π,k∈Z｝.如图.
（7）利用三角函数线解简单的三角不等式，进一步用于求函数的定义域。
例2: 求出使sin＞成立的角的集合。
解: 这是一个三角不等式，所求的不是一个确定的角，
而是适合条件的角的范围.如图，作出正弦值
等于的角的终边，正弦值大于的角的
终边与单位圆的交点在劣弧上，所以所
求角的范围如图7中的阴影部分，的
取值集合是｛｜2kπ+＜＜2kπ+π,k∈Z}

[自我检测]

5. 利用三角函数单调性比较下列各组数的大小：
(1)sin 1和sin； (2)cosπ和cosπ；
(3)tanπ和tanπ； (4)sin和tan.

6. 根据下列三角函数值，在单位圆中求作角a的终边，然后写出相应角的取值集合.
(1)cos=； (2)tan=－1 .