广东省汕头四中2014届高三数学第一次月考试题-理-新人教A版.doc

汕头四中2014届高三第一次月考数学理试题

本试卷满分150分. 考试用时120分钟.
注意事项：
1、答卷前，考生务必用2B铅笔在答题卡“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己姓名、考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.
2、选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.
3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上. 如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案. 不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.
4、考生必须保持答题卡的整洁. 考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交.
5、不可以使用计算器.
参考公式：回归直线，其中.
锥体的体积公式：,其中S表示底面积，h表示高．
一．选择题（共8小题，每小题5分）
1．在复平面内，复数对应的点位于
(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限

2．已知集合，，那么
(A) 或 (B) (C) 或 (D)

3．已知平面向量，的夹角为60°，，，则
(A) 2 　　　　　　 (B) 　　　　(C) 　　　　　　 (D)

4．设等差数列的公差≠0，．若是与的等比中项，则
(A) 3或 -1 　　　　　 (B) 3或1 　　　 (C) 3 　　　　　　　 (D) 1

5．的展开式中常数项是
(A) -160 　　　　　 (B) -20 　　　 (C) 20 　　　　　　(D) 160
6．已知函数 若f(2-x2)>f(x)，则实数x的取值范围是
x
y
O
A
C

(1,1)
B
(A) (B) (C) (D)

7．从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点，则点M取自阴影部分的概率为
(A) 　(B) (C) 　　 (D)

8．已知函数，(a>0)，若，，使得f(x1)= g(x2)，则实数a的取值范围是
(A) (B) (C) (D)
A
A
x
y
O
二．填空题（共6小题，每小题5分）
（一）必做题：
9．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cosα= 　　　　　 ．
侧视图
正视图
1
俯视图
10.已知某个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形，侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形则此三棱锥的体积等于 。

11．双曲线的焦点在x轴上，实轴长为4，离心率为3，则该双曲线的标准方程为 　 ，渐近线方程为 　 ．
40 50 60 70 80 90 体重(kg)

0.005
0.010
0.020
0.030
0.035
0.015
0.025

12．从某地高中男生中随机抽取100名同学，将他们的体重（单位：kg）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知体重的平均值为　　　kg；
若要从体重在[ 60 , 70），[70 ，80) , [80 , 90]三组内的男生中，用分层抽样的方法选取12人参加一项活动，再从这12人选两人当正负队长，则这两人身高不在同一组内的概率为 ．

13．将全体正奇数排成一个三角形数阵：
1
3 5
7 9 11
13 15 17 19
……
按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3个数为 　　　　 ．
（二）选做题：
C
D
MB
N
O
B
A
P
14．已知圆M：x2+y2-2x-4y+1=0，则圆心M到直线（t为参数）的距离为 　　　　 ．

15．如图所示，过⊙O外一点A作一条直线与⊙O交于C，D两点，AB切⊙O于B，弦MN过CD的中点P．已知AC=4，AB=6，则MP·NP= 　　　 ．

三、解答题（共6小题，满分80分）
16．(本题满分12分)
在中，角、、所对的边分别为，．
（1）求角的大小；
（2）若，求函数的最小正周期和单调递增区间．

17. （本小题满分12分）
乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制(即先胜4局者获胜，比赛结束)，假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同．
(1)求甲以4比1获胜的概率；
(2)求乙获胜且比赛局数多于5局的概率；
(3)求比赛局数的分布列．

19．（本题满分14分）
设数列{an}的前n项和为Sn，且，n=1，2，3…
（1）求a1，a2；
（2）求Sn与Sn﹣1（n≥2）的关系式，并证明数列{}是等差数列；
（3）求S1•S2•S3…S2011•S2012的值．

20. （本题满分14分）
在平面直角坐标系中，动点到两点，的距离之和等于，设点的轨迹为曲线，直线过点且与曲线交于，两点．
（1）求曲线的轨迹方程；
（2）是否存在△面积的最大值，若存在，求出△的面积；若不存在，说明理由.

21．(本题满分14分)
已知函数，为函数的导函数．
（1）设函数f(x)的图象与x轴交点为A，曲线y=f(x)在A点处的切线方程是，求的值；
（2）若函数，求函数的单调区间．

汕头四中2013—2014学年度高三级第一次月考试卷
数学(理科)试题 参考答案

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9． 10. 11．， 12．
13． n2-n+5 14．2 15
注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．
二、解答题：
16、解：（Ⅰ） ……………………………2分
由 得 ,
又A为钝角，故B为锐角（没指出B范围扣1分） ………………5分
（Ⅱ） ……………………………7分

所以，所求函数的最小正周期为
由
得
所以所求函数的单调递增区间为 （没写区间及指出K为整数扣1分）………12分
17解：(1)由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是.………1分

记“甲以4比1获胜”为事件A，
则P(A)＝()3·()4－3·＝.………3分
(2)记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B.
因为乙以4比2获胜的概率为P1＝··＝，
乙以4比3获胜的概率为P2＝··＝，
所以P(B)＝P1＋P2＝.………7分

18、解：证明：（Ⅰ）连接AC，交BQ于N，连接MN． ……………………1分
∵BC∥AD且BC=AD，即BCAQ．
∴四边形BCQA为平行四边形，且N为AC中点，
又∵点M是棱PC的中点，
∴ MN // PA ……………………2分
∵ MN平面MQB，PA平面MQB，…………………3分
∴ PA // 平面MBQ． ……………………4分
（Ⅱ）∵AD // BC，BC=AD，Q为AD的中点，
∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD // BQ ． ……………………6分
∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即QB⊥AD．
又∵平面PAD⊥平面ABCD
且平面PAD∩平面ABCD=AD， ……………………7分
∴BQ⊥平面PAD． ……………………8分
∵BQ平面PQB，
∴平面PQB⊥平面PAD． …………………9分
另证：AD // BC，BC=AD，Q为AD的中点∴ BC // DQ 且BC= DQ，
∴ 四边形BCDQ为平行四边形，∴CD // BQ ．
∵ ∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即QB⊥AD． …………………6分
P
A
B
C
D
Q
M
N
x
y
z
∵ PA=PD， ∴PQ⊥AD． ……………………7分
∵ PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ． …………………8分
∵ AD平面PAD，
∴平面PQB⊥平面PAD． ……………………9分
（Ⅲ）∵PA=PD，Q为AD的中点， ∴PQ⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PQ⊥平面ABCD．……………10分
（不证明PQ⊥平面ABCD直接建系扣1分）
如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．
则平面BQC的法向量为；
，，，．………11分
设，
则，，∵，
∴ ， ∴ ……………………12分
在平面MBQ中，，，
∴ 平面MBQ法向量为． ……………………13分
∵二面角M-BQ-C为30°， ，∴ ．……14分

19. （1）解：当n=1时，由已知得，解得
同理，可解得 ……………………（4分）
（2）证明：由题设
当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1
代入上式，得SnSn﹣1﹣2Sn+1=0
∴，……………………（7分）

∴=﹣1+
∴{}是首项为=﹣2，公差为﹣1的等差数列 …………………（10分）
∴=﹣2+（n﹣1）•（﹣1）=﹣n﹣1
∴Sn= …（12分）
（3）解：S1•S2•S3…S2011•S2012=••…••= （14分）

则
整理得 ．…………………………………8分
由．
设．
解得 ， ．
则 ．
因为
． ………………………11分
设，，．
则在区间上为增函数．
所以．
所以，当且仅当时取等号，即．
所以的最大值为．………………………………………………………………14分

21解：（Ⅰ）∵，
∴． ……………………1分
∵在处切线方程为，
∴， ……………………3分
∴，． （各1分） …………………5分
（Ⅱ）．
． ………………7分
①当时，，

0

-
0
+

极小值

的单调递增区间为，单调递减区间为． ………………9分
②当时，令，得或 ……………10分
（ⅰ）当，即时，

0

-
0
+
0
-

极小值

极大值

的单调递增区间为，单调递减区间为，；……11分
（ⅱ）当，即时，，
故在单调递减； ……12分
（ⅲ）当，即时，

0

-
0
+
0
-

极小值

极大值

在上单调递增，在，上单调递减 ………13分
综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；

9