浙江省杭州市重点高中高考数学4月命题比赛参赛试题1-(2).doc

浙江省杭州市重点高中2013届高考数学4月命题比赛参赛试题1

本试卷分第I卷和第II卷两部分．考试时间120分钟，满分150分．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．
参考公式：
如果事件A, B互斥, 那么 棱柱的体积公式
P(A+B)=P(A)+P(B) V=Sh
如果事件A, B相互独立, 那么 其中S表示棱柱的底面积, h表示棱柱的高
P(A·B)=P(A)·P(B) 棱锥的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是p, 那么n V=Sh
次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中S表示棱锥的底面积, h表示棱锥的高
Pn(k)=Cpk (1－p)n-k (k = 0,1,2,…, n) 球的表面积公式
棱台的体积公式 S = 4πR2
球的体积公式
其中S1, S2分别表示棱台的上、下底面积, V=πR3
h表示棱台的高 其中R表示球的半径

第I卷（共50分）

？

输出
开始
结束
是
否
（第5题）
一、选择题: 本大题共10小题, 每小题5分,共50分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的．
（1）已知集合，，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
（2）已知且，则是的（ ）
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
（3）若复数(是虚数单位)，则（ ）
（A） （B）
（C） （D）
（4）（引用）在的展开式中，的幂指数是整数的项共有（ ）
（A）3项 （B）4项 （C）5项 （D）6项
（5）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是（ ）
（A） （B） （C） （D）
（6）（根据宁波市2013届高三上期末测试4题改编）函数则该函数为（ ）
（A）单调递增函数，奇函数 （B）单调递增函数，偶函数
（C）单调递减函数，奇函数 （D）单调递减函数，偶函数
（7）（根据2010浙江省高考参考试卷第7题改编）已知中，，．若圆的圆心在边上，且与和所在的直线都相切，则圆的半径为（ ）
（第8题）
（A） （B） （C） （D）
（8）（引用）某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为的等腰
三角形俯视图是半径为的半圆，则该几何体的表面积是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
（9）（根据2013萧山中学3月月考10题改编）已知点是双曲线的左焦点，过且平行于双曲线渐近线的直线与圆交于点，且点在抛物线上，则该双曲线的离心率是（ ）
（A） （B） （C） （D）

（第10题）
（10）（根据2013届杭州一模17题改编）如图，在扇形中，，为弧上且与不重合的一个动点，，若存在最大值，则的取值范围为（ ）
（A） （B） （C） （D）
第II 卷(共100分)
二、 填空题: 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分．
（11）（引用）在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是，那么实数 的值为_______▲_____．
（12）（引用）记数列的前项和为，且，则_______▲______．
（13）将7人分成3组，要求每组至多3人，则不同的分组方法种数是__▲____．
（14）已知为直线上一动点，若在上存在一点使成立，则点的横坐标取值范围为_____▲____．
（15）函数，在区间上单调递增，则实数的取值范围是_____▲____．
（16）（根据09年全国数学联赛题改编）若方程没有实数根，那么实数的取值范围是___▲___．
（17）（根据2013浙江六校联盟10题改编）棱长为2的正四面体在空间直角坐标系中移动，但保持点分别在轴、轴上移动，则原点到直线的最近距离为____▲____
三、解答题: 本大题共5小题, 共72分．解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤．
（18）（根据北京市东城区08届模拟考改编）（本小题满分14分）在中，角的对边分别为，且．
（I）求的值；
（II）若，且，求和的值．

（19）（本小题满分14分）袋中有大小相同的个编号为、、的球，号球有个，号球有个，号球有个．从袋中依次摸出个球，已知在第一次摸出号球的前提下，再摸出一个号球的概率是．
（Ⅰ）求、的值；
（Ⅱ）从袋中任意摸出个球，记得到小球的编号数之和为，求随机变量的分布列和数学期望．

（20）（引用）（本小题满分14分）如图，在各棱长均为的三棱柱中，侧面底面，．
（Ⅰ）求侧棱与平面所成角的正弦值的大小；
（第20题）
（Ⅱ）已知点满足，在直线上是否存在点，使？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由．

（21）（根据09年清华大学自主招生试题改编）（本小题满分15分）已知椭圆的左顶点，过右焦点且垂直于长轴的弦长为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若过点的直线与椭圆交于点，与轴交于点，过原点与平行的直线与椭圆交于点，求证：为定值．

（22）（本小题满分14分）已知函数.（）
（Ⅰ）若在区间上单调递增，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若在区间上，函数的图象恒在曲线下方，求的取值范围．

2013年高考模拟试卷 数学（理科）答卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
题目
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
选项

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

11、 12 、 13、

14、 15、 16、

17、

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18、（本题14分）

19、（本题14分）

（第20题）
20、（本题14分）

21、（本题15分）

22、（本题15分）

2013年高考模拟试卷 数学（理科）参考答案与评分标准
一、选择题: 本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，共50分．
（1）B （2）A （3）D （4）C （5）C
（6）A （7）B （8）B （9）D （10）C
二、填空题: 本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，共28分．
（11）1 （12） （13） （14）
（15） （16） （17）
（1）B．本题考查集合运算．易得，故．
（2）A．本题考查充分必要条件． 或，故成立，为充分条件；而或，若，则无意义，则为不必要条件．
（3）D．本题考查复数的运算．由于，故，整理可得．
（4）C．本题考查二项式定理．第项，故当时，的幂指数是整数，共5项．
（5）C．本题考查算法程序运算．由题意可知即求时，的最小值，故．
（6）A．，且时，单调递增；时，单调递增。所以单调递增。

，，所以为奇函数。故选A。
（7）B．本题考查解三角形。如图，易得，由于为等腰三角形，故应为中点，即求中点到距离，由面积法可得．
（8）B．本题考查三视图．根据三视图可知，几何体为如图所示的半圆锥，则
．

（9）D．本题考查圆锥曲线几何性质．如图，设抛物线的准线为，作于，
双曲线的右焦点为，由题意可知为圆的直径，
所以，且，，所以，
。由抛物线性质可知，且与
相似，所以，即，解得。

（10）C。本题考查平面向量运算与基本定理的运用。设射线上存在为，使， 交于，，
设，，
由三点共线可知=1，
所以，
则存在最大值，即在弧（不包括端点）上存在与
平行的切线，所以。

（11）1．本题考查线性规划基本知识的应用．如图阴影部分为可行域，
为等腰直角三角形，所以，解得．
（12）．本题考查数列基本知识．当时，，由，即，所以，．
（13）.本题考查排列组合的应用．共可分为两类：每组分别为人，则有人；每组分别为人，则有人；所以共有人．
（14）．本题考查直线与圆的位置关系．设，则圆心到直线的距离，由于直线与圆相交，故，即，所以，解得．
（15）。本题考查三角函数图像与性质的运用。当函数递增时，，即，所以，解得。
（16）．本题考查函数性质与方程思想及数形结合思想。解法一：由题意可知，可设，函数图象(图1)与直线没有交点，则．
解法二：如图(2)，在同一坐标系中画出和的图象．显然当是直线与抛物线相切，所以当时，没有交点．故．

图1

图2

（17）。本题考查立体几何。解：如图，若固定正四面体的位置，则原点
在以为直径的球面上运动，设中点为，则原点到直线的
最近距离等于点到直线的距离减去球的半径，即。

三、解答题: 大题共5小题，满分72分．
（18）本题主要考查正弦、余弦定理, 三角公式变换, 三角形面积公式及向量运算等基础知识,同时考查运算求解能力。满分14分。
解：（I）由正弦定理得，
则， …………2分
故，
可得，
即，可得， …………4分
又，因此． …………6分
（II）解：由，可得，
又，故． …………9分
又，
可得， …………11分
所以，即．
所以． …………14分
（19）本题主要考查排列组合, 随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念, 同时考查抽象概括能力。满分14分。
解：（1）记“第一次摸出号球”为事件，“第二次摸出号球”为事件， …………2分
则， …………4分
解得； …………6分
（2）随机变量的取值为，的分布列为

3
4
5
6

…………10分

所以，数学期望． …………14分
（20）本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系, 空间向量的概念与运算等基础知识,同时考查空间想象能力和推理运算能力。满分14分。
解：（Ⅰ)∵侧面底面，作于点，∴平面.
又，且各棱长都相等，∴，，.…2分

故以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则
，，，，
∴，，．……4分
设平面的法向量为，
则 解得. ………6分
由．
而侧棱与平面所成角，即是向量与平面的法向量所成锐角的余角，
∴侧棱与平面所成角的正弦值的大小为． …………8分
（Ⅱ）∵，而 ∴
又∵，∴点的坐标为． …………10分
假设存在点符合题意，则点的坐标可设为，∴．
∵，为平面的法向量，
∴由，得． …………12分
又平面，故存在点，使，其坐标为，即恰好为点．
…………14分
（21）本题主要考椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分。
解：（1），设过右焦点且垂直于长轴的弦为，将代入椭圆方程，解得， …………2分
故，可得． …………4分
所以，椭圆方程为． …………6分
（2）由题意知，直线斜率存在，故设为，则直线的方程为，直线的方程为．可得，则． …………8分
设，，联立方程组，
消去得：，
，，
则． …………11分
设与椭圆交另一点为，，联立方程组，
消去得，，
所以． …………13分
故．
所以等于定值． …………15分
（22）本题主要考查函数的基本性质、导数的概念、导数的应用等基础知识，同时考查逻辑推理能力和创新意识。满分15分。
解：（Ⅰ）在区间上单调递增，
则在区间上恒成立． …………3分
即，而当时，，故． …………5分
所以． …………6分
（Ⅱ）令，定义域为.
在区间上，函数的图象恒在曲线下方等价于在区间上恒成立. …………8分
∵ …………9分
① 若，令，得极值点，，
当，即时，在（，+∞)上有，此时在区间上是增函数，并且在该区间上有，不合题意；
当，即时，同理可知，在区间上，
有，也不合题意； …………12分
② 若，则有，此时在区间上恒有，从而在区间上是减函数；
要使在此区间上恒成立，只须满足，
由此求得的范围是． …………14分
综合①②可知，当时，函数的图象恒在直线下方. …………15分

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